第1章 連續(xù)時間信號分析

第1章

連續(xù)時間信號分析本章主要內(nèi)容

連續(xù)時間信號的時域分析周期信號的頻率分解非周期信號的頻譜連續(xù)時間信號的復(fù)頻域分析連續(xù)信號的相關(guān)分析與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)連續(xù)信號的時域描述

連續(xù)時間信號的定義

所謂連續(xù)時間信號，簡稱為連續(xù)信號，就是指在所討論的時間內(nèi)，對于除了若干個不連續(xù)點以外的任意時刻值都有定義的信號，一般用數(shù)學(xué)函數(shù)x(t)表示。

x(t)t0連續(xù)信號的時域描述

基本的連續(xù)信號

正弦信號兩個振幅和初相位均不同的同頻率正弦信號相加后，其結(jié)果仍是原頻率的正弦信號若一個正弦信號的頻率是另一個正弦信號頻率的整數(shù)倍時，則它們的合成信號是一個非正弦周期信號，其周期就等于基波的周期正弦信號對時間的微分或積分仍然是同頻率的正弦信號

t0Asin(Ωt+)A連續(xù)信號的時域描述

抽樣信號Sa(t)是關(guān)于t的偶函數(shù)Sa(t)是一個以2π為周期，且具有1/t的單調(diào)衰減幅值的振蕩信號除t=0外有確定的值，當(dāng)t=±π，±2π，±3π，…時，Sa(t)=0，且有

-3π-2π-π3ππ2π1t0Sa(t)連續(xù)信號的時域描述

單位階躍信號在躍變點t=0處，函數(shù)值未定義若單位階躍信號的躍變點在t=t0處，則稱其為延時單位階躍信號，其數(shù)學(xué)表達式為

0u(t)1t0u(t-t0)1tt0連續(xù)信號的時域描述

單位沖激信號抽樣特性（篩選特性）加權(quán)特性單位沖激信號為偶函數(shù)尺度變換特性單位沖激信號的導(dǎo)數(shù)t0(1)δ(t)連續(xù)信號的時域描述

復(fù)指數(shù)信號可見，復(fù)指數(shù)信號的波形隨復(fù)頻率s的不同取值而變化。t0eσt1σ=0σ<0σ>0t0Re[e

jΩt]1t0Re[est]1σ<0tRe[est]01σ>0連續(xù)信號的基本運算

信號的相加與相乘

信號的相加（或相乘）是指兩個信號在任意時刻函數(shù)值之和（或積）。

信號的微分與積分信號x(t)的微分（導(dǎo)數(shù)）是指信號x(t)的函數(shù)值隨時間變化的變化率。當(dāng)信號x(t)中含有不連續(xù)點時，則x(t)在這些不連續(xù)點上出現(xiàn)沖激，其強度為原函數(shù)在該點處的跳變量。信號x(t)的積分是指在-∞到t區(qū)間內(nèi)的任意時刻處，信號x(t)與時間軸所包圍的面積。連續(xù)信號的基本運算

信號的時移與翻褶信號x(t)時移±t0（t0>0），就是將x(t)表達式及其定義域中所有自變量t替換為t±t0，從而使x(t)表達式變?yōu)閤(t±t0)。從信號波形上看，x(t+t0)的波形是將x(t)的波形向左移動t0時間；x(t-t0)的波形是將x(t)的波形向右移動t0時間。信號x(t)的翻褶就是將x(t)表達式以及定義域中的所有自變量t替換為-t，從而使x(t)表達式變?yōu)閤(-t)。從信號波形上看，x(-t)的波形與x(t)的波形關(guān)于縱軸t=0呈鏡像對稱。翻褶信號x(-t)的時移規(guī)律與信號x(t)恰好相反。連續(xù)信號的基本運算

信號的尺度變換信號的尺度變換就是將信號x(t)表達式中以及定義域中的所有自變量t替換為at，從而使x(t)表達式變?yōu)閤(at)。當(dāng)a>1時，則x(at)是將x(t)的波形沿時間軸壓縮至原來的1/a當(dāng)0<a<1時，則x(at)是將x(t)的波形沿時間軸擴展至原來的1/a當(dāng)a<0時，則x(at)是將x(t)的波形沿時間軸壓縮或擴展至1/|a|t210x(t)1t420x(-t/2)1t-1/2-10x(-2t)1t1/210x(-2t+2)1t420x(t/2)1t1/210x(2t)1連續(xù)信號的時域分解x(t)x(0)t0…連續(xù)信號的時域分解連續(xù)信號的卷積

卷積的定義

卷積的圖解10tx1(t)=u(t)(a)單位階躍信號x2(t)=e-atu(t)t01(b)單邊指數(shù)信號x2(-τ)τ01(c)翻褶y(t)t01/a(f)卷積值(e)相乘并積分x1(τ)x2(t-τ)01tτ(d)時移x2(t-τ)tτ01連續(xù)信號的卷積

卷積的性質(zhì)交換律結(jié)合律分配律微積分性質(zhì)連續(xù)信號的卷積

任意信號與沖激信號的卷積上式表明，x(t)與δ(t-t0)的卷積，相當(dāng)于將信號x(t)延時t0。

任意信號與階躍信號的卷積上式表明，單位階躍信號u(t)相當(dāng)于積分器。

任意信號與沖激偶信號的卷積上式表明，沖激偶信號δ’(t)相當(dāng)于微分器。本章內(nèi)容提要

連續(xù)時間信號的時域分析

周期信號的頻率分解非周期信號的頻譜連續(xù)時間信號的復(fù)頻域分析連續(xù)信號的相關(guān)分析與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)周期信號的描述(a)鋸齒波-T03T02T0x(t)tT00……(b)半波整流-T03T02T0x(t)tT00……若連續(xù)時間信號x(t)在（-∞，∞）區(qū)間，以T0為周期，周而復(fù)始地重復(fù)再現(xiàn)，則稱信號x(t)為周期信號，其表達式是周期分別為T1和T2的兩個(或多個)周期信號線性疊加后，是否仍是周期信號，這主要取決于在這兩個周期T1，T2之間是否有最小公倍數(shù)，即存在一個最小數(shù)T0能同時被T1和T2所整除。若存在最小公倍數(shù)則有傅里葉級數(shù)

狄里赫利（Dirichlet）條件

數(shù)學(xué)已經(jīng)證明，周期為T0的任一周期信號分解成傅里葉級數(shù)形式，就必須在任一區(qū)間[t，t+T0]內(nèi)，滿足狄里赫利（Dirichlet）條件：在一個周期內(nèi)信號是絕對可積的，即在一個周期內(nèi)只有有限個不連續(xù)點，且在這些點處的函數(shù)值必須是有限值在一個周期內(nèi)只有有限個最大值和最小值上述條件中，條件（1）是充分條件但不一定是必要的，且任一有界的周期信號都能滿足這一條件；條件（2）、（3）是必要條件但不是充分的。傅里葉級數(shù)

傅里葉級數(shù)的主要形式

三角型傅里葉級數(shù)指數(shù)型傅里葉級數(shù)舉例通過以下變換對可以看出時域的連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù),而頻域的離散頻譜就與時域的周期時間函數(shù)對應(yīng).(頻域采樣，時域周期延拓)周期（時域）離散（頻域）連續(xù)（時域）非周期（頻率）周期信號的頻域分析

頻域分析的概念由于任意波形的周期信號x(t)都可以用反映信號頻率特性的頻譜X(nΩ0)來描述，而X(nΩ0)是離散頻率nΩ0的復(fù)函數(shù)，則x(t)與X(nΩ0)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，即這種用頻率函數(shù)來描述或表征任意周期信號的方法就稱為周期信號的頻域分析。信號的頻譜與時域波形的關(guān)系頻率的高低相當(dāng)于波形變化的快慢，即時域波形變化越慢，則頻譜中高頻成分越少；時域波形變化越劇烈，則頻譜中高頻分量越多諧波幅度的大小反映了時域波形取值的大小相位的變化關(guān)系到波形在時域出現(xiàn)的不同時刻周期信號的頻域分析

連續(xù)周期信號頻譜的特點頻譜是由頻率離散的非周期性譜線組成，每根譜線代表一個諧波分量，即離散性

頻譜中的譜線只在基波頻率的整數(shù)倍處出現(xiàn)，即諧波性

頻譜中各譜線的幅度隨著諧波次數(shù)的增加而逐漸衰減，即收斂性

(b)相頻特性…Ω0-Ω00-2Ω0-3Ω0…2Ω03Ω0(nΩ0)nΩ0(a)幅頻特性…Ω0-Ω00-2Ω0-3Ω02Ω03Ω0|X(nΩ0)|nΩ0…周期鋸齒波信號離散頻譜傅里葉級數(shù)的性質(zhì)

線性性質(zhì)時移性質(zhì)尺度變換性質(zhì)傅里葉級數(shù)的性質(zhì)

對稱性質(zhì)信號為實函數(shù)實周期信號的幅度頻譜關(guān)于nΩ0偶對稱，相位譜關(guān)于nΩ0奇對稱，即

信號為實偶函數(shù)（偶對稱）實偶周期信號的傅里葉級數(shù)展開式只含有直流分量和余弦項，但不存在正弦項，即信號為實奇函數(shù)（奇對稱）

實奇周期信號的傅里葉級數(shù)展開式只含有正弦項，而沒有直流分量和余弦項，即傅里葉級數(shù)的性質(zhì)

對稱性質(zhì)半周期對稱半周期偶對稱（半周期重疊）

半周期偶對稱信號的傅里葉級數(shù)展開式除了直流分量外，只有余弦偶次諧波分量半周期奇對稱（半周期鏡像）半周期奇對稱信號的傅里葉級數(shù)展開式只有正弦奇次諧波分量雙重對稱

若信號除了具有半周期鏡像對稱外，同時還是時間的偶函數(shù)或奇函數(shù)，則前者的傅里葉級數(shù)展開式只有余弦奇次諧波分量；后者只有正弦奇次諧波分量。傅里葉級數(shù)的性質(zhì)

時域微積分性質(zhì)本章內(nèi)容提要

連續(xù)時間信號的時域分析

周期信號的頻率分解

非周期信號的頻譜連續(xù)時間信號的復(fù)頻域分析連續(xù)信號的相關(guān)分析與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換t0x(t)At0xT(t)AT周期信號與非周期信號的關(guān)系：傅里葉變換對非周期（時域）連續(xù)（頻域）連續(xù)（時域）非周期（頻率）例題：例1.3.1傅里葉變換的性質(zhì)

奇偶性偶信號的頻譜為偶函數(shù)，奇信號的頻譜為奇函數(shù)實信號的頻譜是共軛對稱函數(shù)，即其幅度頻譜和實部為偶函數(shù)，相位頻譜和虛部為奇函數(shù)線性對偶性（互易性）尺度變換特性傅里葉變換的性質(zhì)

時移特性頻移特性（調(diào)制特性）

時域卷積定理

頻域卷積定理傅里葉變換的性質(zhì)

微分特性積分特性本章內(nèi)容提要

連續(xù)時間信號的時域分析周期信號的頻率分解非周期信號的頻譜

連續(xù)時間信號的復(fù)頻域分析連續(xù)信號的相關(guān)分析與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)拉普拉斯變換

從傅里葉變換到拉普拉斯變換對于多數(shù)實際因果信號，即t<0時x(t)=0，則有單邊拉氏變換拉氏變換對拉普拉斯變換已知信號x(t)=u(t)-u(t-2)，試用MATLAB繪制該信號拉普拉斯變換的曲面圖和傅里葉變換的頻譜。信號x(t)的拉普拉斯變換和傅里葉變換分別為

M文件如下：

%繪制拉普拉斯變換曲面圖

clf;a=0.001:0.1:5;b=-20:0.1:20;[a,b]=meshgrid(a,b);s=a+i*b;xs=(1-exp(-2*s))./s;xs=abs(xs);mesh(a,b,xs);surf(a,b,xs);view(-60,20);axis([-0,5,-20,20,0,2]);title('信號的拉普拉斯變換');colormap(hsv);%繪制傅里葉變換頻譜圖figure(2)w=-20:0.1:20;xw=2*sinc(w/pi).*exp(-i*w);plot(w,abs(xw));title('信號的傅里葉變換');信號拉普拉斯變換的曲面圖在截面Re[s]=0上的曲線就是該信號傅里葉變換的頻譜拉普拉斯變換

拉普拉斯變換的收斂域收斂域的概念使拉普拉斯變換式積分收斂，即滿足絕對可積條件

的σ取值范圍，稱為拉普拉斯變換的收斂域。收斂域的基本特點因果信號x(t)u(t)以及右邊信號x(t)u(t+t0)的收斂域常位于右半s平面Re[s]>σ0

左邊信號x(t)u(-t)以及x(t)u(-t+t0)的收斂域常位于左半s平面Re[s]<σ0

雙邊信號x(t)或e-a|t|的收斂域常位于左半s平面σ1<Re[s]<σ2

對于有些函數(shù)，如等，不滿足上述絕對可積的條件，其拉氏變換不存在，但這些函數(shù)在實際工程中很少遇到，因此，并不影響拉氏變換的實際意義。拉普拉斯變換反變換拉普拉斯變換的性質(zhì)

系統(tǒng)函數(shù)的定義

連續(xù)信號的系統(tǒng)函數(shù)H(s)，又稱轉(zhuǎn)移函數(shù)或傳遞函數(shù)，可定義為在零狀態(tài)條件下系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的單邊拉氏變換Y(s)與系統(tǒng)輸入的單邊拉氏變換X(s)之比，即

說明系統(tǒng)函數(shù)描述了連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域特性，它僅取決于系統(tǒng)本身的特性，而與系統(tǒng)的輸入無關(guān)

系統(tǒng)函數(shù)H(s)與單位沖激響應(yīng)h(t)是一對單邊拉氏變換對，即系統(tǒng)函數(shù)H(s)與頻率特性H(jΩ)的關(guān)系系統(tǒng)函數(shù)本章內(nèi)容提要

連續(xù)時間信號的時域分析周期信號的頻率分解非周期信號的頻譜連續(xù)時間信號的復(fù)頻域分析

連續(xù)信號的相關(guān)分析與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)相關(guān)函數(shù)

相關(guān)函數(shù)的概念

定義

上述定義式中，x與y的次序不能顛倒，即，且說明相關(guān)函數(shù)是兩個信號之間時移τ的函數(shù)若x(t)和y(t)不是同一信號，則Rxy(τ)和Ryx(τ)為互相關(guān)函數(shù)若x(t)和y(t)是同一信號，即x(t)=y(t)，則Rxx(τ)為自相關(guān)函數(shù)，且實信號x(t)的自相關(guān)函數(shù)是時移τ的偶函數(shù)，即相關(guān)函數(shù)

說明若x(t)和y(t)是實信號，則若x(t)和y(t)是功率有限信號，則

若x(t)和y(t)是實信號，則將上述公式中的共軛符號*去掉相關(guān)與卷積的關(guān)系

說明卷積需要進行翻褶運算，而相關(guān)則不需要若x(t)或y(t)是實偶函數(shù)，則相關(guān)和卷積完全相同相關(guān)定理

證明

說明若y(t)是實偶函數(shù)，則相關(guān)定理和卷積定理完全相同

相關(guān)定理

證明

說明若y(t)是實偶函數(shù)，則相關(guān)定理和卷積定理完全相同

本章內(nèi)容提要

連續(xù)時間信號的時域分析周期信號的頻率分解非周期信號的頻譜連續(xù)時間信號的復(fù)頻域分析連續(xù)信號的相關(guān)分析

與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)連續(xù)信號分析中常用MATLAB函數(shù)squaresawtooth連續(xù)信號分析中常用MATLAB函數(shù)sinc

單位沖激信號diric

單位階躍信號

某些函數(shù)在MATLAB函數(shù)庫中沒有定義，如階躍函數(shù)、沖激函數(shù)等，需要用戶自行創(chuàng)建函數(shù)文件來實現(xiàn)。連續(xù)信號分析中常用