第6章混沌與分岔

混沌與分岔

第六章Content混沌與分岔的起源與發(fā)展混沌的概念混沌的特點(diǎn)混沌現(xiàn)象舉例分岔的概念分岔現(xiàn)象舉例混沌的研究方法分岔的研究方法混沌在現(xiàn)代科技領(lǐng)域的應(yīng)用混沌與分岔的起源與發(fā)展公認(rèn)的最早發(fā)現(xiàn)混沌的是偉大的法國數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家—龐加萊，他是在研究天體力學(xué)，特別是在研究三體問題時(shí)發(fā)現(xiàn)混沌的。他發(fā)現(xiàn)三體引力相互作用能產(chǎn)生驚人的復(fù)雜行為，確定性動(dòng)力學(xué)方程的某些解有不可預(yù)見性。直到20世紀(jì)六十年代后，混沌現(xiàn)象才引起學(xué)術(shù)界的廣泛注意，到七十年代才誕生了還不大成熟的“混沌學(xué)”。其后，“混沌學(xué)”得到了迅速發(fā)展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌現(xiàn)象研究的熱潮?；煦缗c分岔的起源與發(fā)展分岔現(xiàn)象最早來源于1729年Musschenbrock對(duì)壓桿失穩(wěn)實(shí)驗(yàn)的觀察，這種分岔現(xiàn)象在固體力學(xué)中稱屈曲。1834年雅可比首次提出分岔這個(gè)術(shù)語。1885年，龐卡萊提出旋轉(zhuǎn)液體星平衡圖形的演化過程的分岔理論。固體力學(xué)的屈曲和流體力學(xué)的轉(zhuǎn)捩一直是分岔研究的重要?jiǎng)恿Α?0世紀(jì)30年代，范德波、安德羅諾夫等在非線性振動(dòng)研究中發(fā)現(xiàn)大量的分岔現(xiàn)象。以后在很長時(shí)間內(nèi)，分岔的研究主要集中在應(yīng)用領(lǐng)域，直到20世紀(jì)60年代，微分動(dòng)力系統(tǒng)、突變、奇異性、非線性分析等方面逐漸形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論?；煦缗c分岔的起源與發(fā)展混沌現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)以后，關(guān)于分岔與混沌之間聯(lián)系的研究得到迅速發(fā)展，如Rulle和Takens發(fā)現(xiàn)環(huán)面分岔通向混沌；Feigenbaum發(fā)現(xiàn)倍周期分岔通向混沌；Pomeou等發(fā)現(xiàn)伴隨鞍結(jié)分岔的陣發(fā)性通向混沌?；煦绲母拍罨煦?，英文為chaos，意思是混亂，紊亂?；煦缡侵赴l(fā)生在確定系統(tǒng)中貌似隨機(jī)的無規(guī)則或不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。然而混沌作為一門科學(xué)發(fā)展至今，仍沒有一個(gè)準(zhǔn)確、完整、科學(xué)的定義，不同領(lǐng)域的科學(xué)家往往對(duì)其有不同的理解?；煦缫辉~由李天巖（Tian-yanLi）和約克（Yorke）于1975年首先提出?；煦绲亩ㄐ悦枋?，“混沌是確定性非線性系統(tǒng)的有界的敏感初始條件的非周期行為”?；煦绲母拍頽周期點(diǎn)的定義：如果對(duì)于某x0，有f(n)(x0)=x0，但對(duì)于小于n的自然數(shù)k，有f(k)(x0)≠x0，則稱x0為f的一個(gè)n周期點(diǎn)。n周期軌道的定義：當(dāng)x0為f的一個(gè)n周期點(diǎn)時(shí)，稱{x0,f(1)(x0),f(2)(x0),…,f(n-1)(x0)}為f的n周期軌道。Li-Yorke定理：設(shè)連續(xù)自映射，I是R的一個(gè)閉區(qū)間，如果：①存在一切周期的周期點(diǎn)；②存在不可數(shù)子集S，S不含周期點(diǎn)，使得則稱f在S上是混沌的。混沌的概念Li-Yorke定理給出了混沌數(shù)學(xué)上的定義，它說明混沌系統(tǒng)應(yīng)該具有三種性質(zhì)：存在所有周期的周期軌道；存在一個(gè)不可數(shù)集，此集只含有混沌軌道，任意兩個(gè)軌道既不趨向遠(yuǎn)離也不趨向接近，兩種狀態(tài)交替出現(xiàn)；任一混沌軌道不趨于任一周期軌道。混沌的特點(diǎn)對(duì)初值的敏感性

混沌對(duì)初值具有敏感依賴性，初值的微小差別會(huì)導(dǎo)致未來的混沌軌道的巨大差別,正是所謂“失之毫厘，謬以千里”。1963年，荷蘭科學(xué)家洛倫茲(Hendrik

AntoonLorenz)在《大氣科學(xué)》雜志上發(fā)表了“決定性的非周期流”的著名論文。該論文以一個(gè)底部加熱、頂部冷卻的兩維運(yùn)動(dòng)流體塊中的對(duì)流為模型，提出了著名的Lorenz方程。Lorenz用數(shù)值方法揭示了該模型中存在混沌運(yùn)動(dòng)，并發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)初值的微小變化會(huì)導(dǎo)致軌道在長時(shí)間以后完全不同，即解對(duì)初值的極端敏感性，就是著名的蝴蝶效應(yīng)?；煦绲奶攸c(diǎn)內(nèi)在隨機(jī)性

確定性行為一定產(chǎn)生于確定性方程，而隨機(jī)行為卻產(chǎn)生于兩類方程：一類是隨機(jī)微分方程，一類是確定性方程。隨機(jī)微分方程表現(xiàn)出來的隨機(jī)性是由隨機(jī)參數(shù)、隨機(jī)初始條件或隨機(jī)外界強(qiáng)迫所產(chǎn)生，常稱為外在隨機(jī)性。確定性方程本身不包含任何隨機(jī)因素，但在一定的參數(shù)范圍卻能產(chǎn)生出看起來很混亂的結(jié)果，把這種由確定性方程產(chǎn)生的隨機(jī)性稱之為內(nèi)在隨機(jī)性。混沌是確定性非線性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性，這是混沌的重要特征之一?；煦绲奶攸c(diǎn)長期不可預(yù)測(cè)性由于初始條件僅限于某個(gè)有限精度，而初始條件的微小差異可能對(duì)以后的時(shí)間演化產(chǎn)生巨大的影響，因此不可能長期預(yù)測(cè)將來某一時(shí)刻之外的動(dòng)力學(xué)特性，即混沌系統(tǒng)的長期演化行為是不可預(yù)測(cè)的。

混沌的特點(diǎn)分形性分形(Fractal)這個(gè)詞是由曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)在70年代創(chuàng)立分形幾何學(xué)時(shí)所使用的一個(gè)新詞。所謂分形是指n維空間一個(gè)點(diǎn)集的一種幾何性質(zhì)，它們具有無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)，在任何尺度下都有自相似部分和整體相似性質(zhì)，具有小于所在空間維數(shù)的非整數(shù)維數(shù)，這種點(diǎn)集叫分形體。分維就是用非整數(shù)維-分?jǐn)?shù)維來定量地描述分形的基本特性。混沌的特點(diǎn)普適性普適性包括兩種，即結(jié)構(gòu)的普適性和測(cè)度的普適性。當(dāng)系統(tǒng)趨于混沌時(shí)，所表現(xiàn)出的特征具有普適意義，其特征不因具體系統(tǒng)的不同和系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的差異而變化。

混沌的特點(diǎn)遍歷性

遍歷性也稱為混雜性，混沌運(yùn)動(dòng)在有限時(shí)間內(nèi)能夠到達(dá)混沌區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)。

混沌的特點(diǎn)奇怪吸引子相對(duì)于簡(jiǎn)單吸引子（不動(dòng)點(diǎn)、極限環(huán)、環(huán)面）又稱混沌吸引子。由無限層的條帶經(jīng)過伸長和折疊的幾何圖像。它表示系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間呈無規(guī)則的非周期變化;具有混沌的一切特征，對(duì)初始條件的敏感性，具有非整數(shù)的維數(shù)，即使原來的微分方程連續(xù)的依賴于參數(shù)，奇怪吸引子的結(jié)構(gòu)也不是連續(xù)隨參數(shù)變化，而往往是在參數(shù)變化的過程中其整體結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生突變，奇怪吸引子具有無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)?；煦绲奶攸c(diǎn)幾種典型的混沌吸引子Chen’s吸引子

Lorenz吸引子

Rossler吸引子

混沌現(xiàn)象舉例

機(jī)床切削金屬時(shí)或打印機(jī)機(jī)頭因沖擊而引起的混沌振動(dòng)正常的腦電波則近乎隨機(jī)訊號(hào)，其腦電圖曲線代表的就是典型的混沌現(xiàn)象單擺是我們熟知的確定性運(yùn)動(dòng)的典型，但當(dāng)角度大到一定程度并有驅(qū)動(dòng)力和阻力時(shí)也居然能夠進(jìn)入混沌狀態(tài)湍流、三體問題、蝴蝶效應(yīng)、昆蟲繁衍混沌現(xiàn)象舉例--蝴蝶效應(yīng)

1961年美國氣象學(xué)家洛倫茲利用他的一臺(tái)老爺計(jì)算機(jī)，根據(jù)他導(dǎo)出的描述氣象演變的非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行長期氣象預(yù)報(bào)的模擬數(shù)值計(jì)算，探討準(zhǔn)確進(jìn)行長期天氣預(yù)報(bào)的可能性。有一次，洛倫茲為了檢驗(yàn)上一次的計(jì)算結(jié)果，決定再算一遍。但他不是從上一次計(jì)算時(shí)的最初輸入的數(shù)據(jù)開始驗(yàn)算，而是以一個(gè)中間結(jié)果作為驗(yàn)算的輸入數(shù)據(jù)。他發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過一段重復(fù)過程后，計(jì)算開始偏離上次的結(jié)果，甚至大相徑庭。就好比一個(gè)計(jì)算結(jié)果預(yù)報(bào)幾個(gè)月后的某天是晴空萬里，另一個(gè)計(jì)算結(jié)果則告訴你這一天將電閃雷鳴！后來洛倫茲發(fā)現(xiàn)兩次計(jì)算的差別只是第二次輸入中間數(shù)據(jù)時(shí)將原來的0.506127省略為0.506。洛倫茲意識(shí)到，因?yàn)樗姆匠淌欠蔷€性的，非線性方程不同于線性方程，線性方程對(duì)初值的依賴不敏感，而非線性方程對(duì)初值的依賴極其敏感。正是初始條件的微小誤差導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果的巨大偏離。由此洛倫茲斷言：準(zhǔn)確地作出長期天氣預(yù)報(bào)是不可能的。對(duì)此，洛倫茲作了個(gè)形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)一下翅膀會(huì)在美國的得克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)，這就是蝴蝶效應(yīng)?；煦绗F(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍

假定有某種昆蟲，在不存在世代交疊的情況下，即每年夏天成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個(gè)蟲卵孵化為蟲。很顯然，若產(chǎn)卵數(shù)大于1，則蟲口就會(huì)迅速增加，“蟲滿為患”。但在蟲口數(shù)目增大的同時(shí)又由于爭(zhēng)奪有限的食物和生存空間而不斷發(fā)生咬斗事件，也可能因接觸感染而導(dǎo)致疾病蔓延，這些又會(huì)使蟲口減少。綜合考慮正增長和負(fù)增長，即鼓勵(lì)和抑制這兩種因素的作用，經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)抽象和變換后，在1976年生物學(xué)家羅伯特.梅最終得到蟲口方程如下：Xn+1=λXn(1—Xn)式中各量的取值范圍為n：1，2，3，···∞；Xn：[0，1]；λ：[0，4]混沌現(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍

假定蟲口環(huán)境所能支撐和供應(yīng)的最大蟲口限額為N0，且N0>>1。第n代蟲口數(shù)為Nn，則Xn=Nn/N0，是為第n代的相對(duì)蟲口數(shù)。顯然，1就是最大蟲口數(shù)目，故Xn的值不能超過1。λ是控制參量，蟲口模型要求λ取值[0，4]，這是因?yàn)樵讦?gt;4時(shí)會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，方程就將失去意義。如對(duì)Xn+1=5Xn(1—Xn)，當(dāng)代入Xn=0.5后會(huì)得到Xn+1=1.25，而最大相對(duì)蟲口數(shù)只能為1，Xn+1=1.25顯然沒有意義。混沌現(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍下面取λ為不同值對(duì)蟲口方程進(jìn)行迭代求解：取λ：0—1迭代容易驗(yàn)證，λ在0—1之間時(shí)，無認(rèn)初始值取多少，對(duì)方程Xn+1=λXn(1—Xn)迭代歸宿均為確定值零。這是一個(gè)最平凡的1周期解，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定態(tài)。取λ：1—3迭代迭代也是收斂的，迭代結(jié)果總是趨向于一個(gè)穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，這是一個(gè)非零的1周期解，同樣對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)方程Xn+1=2Xn(1—Xn)作迭代，取X1=0.1則有X2=0.18，X3=0.2952，X4=0.416111392，X5=0.485924299，X6=0.4999604721，X7=0.499999687，X8=0.499999999······可見很快收斂于X*=0.5。又對(duì)方程Xn+1=2.5Xn(1—Xn)作迭代，取X1=0.1也只須十幾次迭代就收斂于X*=0.6了。不過與上一迭代趨近方式有所不同，幾次迭代后結(jié)果就在X*值上下產(chǎn)生小幅振蕩，并最終收斂于X*=0.6?；煦绗F(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍取λ：3—3.569迭代迭代結(jié)果開始出現(xiàn)跳躍情況，倍周期分岔開始。其中在3—3.449之間為2周期，在3.449—3.544間為4周期······隨著λ的增加，分岔越來越密，混沌程度越來越高，直至λ=3.569時(shí)分岔周期變?yōu)椤蓿詈蟆皻w宿”可取無窮多的不同值，表現(xiàn)出極大的隨機(jī)性。而周期無窮大就等于沒有周期，此時(shí)系統(tǒng)開始進(jìn)入完全的混沌狀態(tài)?；煦鐓^(qū)對(duì)應(yīng)λ取值3.569—4。分岔的概念

分岔(bifurcation)是非線性領(lǐng)域的重要理論。分岔是指動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，控制參量改變時(shí)，其各自的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生突然變化。分岔現(xiàn)象是非線性問題中所特有現(xiàn)象，失穩(wěn)是其發(fā)生的前提。分岔之后，系統(tǒng)不同狀態(tài)間便發(fā)生不連續(xù)的過渡，這就是突變。然后經(jīng)過不斷地分岔，最后達(dá)到的終態(tài)即混沌。由此可見分岔在許多非線性現(xiàn)象中起著橋梁作用。分岔問題可以分成靜態(tài)分岔和動(dòng)態(tài)分岔。靜態(tài)分岔指系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性在分岔值附近發(fā)生變化，如鞍結(jié)分岔、跨臨界分岔、叉形分岔等；動(dòng)態(tài)分岔是相軌跡的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也發(fā)生變化，如Hopf分岔、環(huán)面分岔、同宿或異宿分岔等。叉形分岔、Hopf分岔和鞍結(jié)分岔為三種分岔原型。分岔的概念叉形分岔其典型方程為：方程的平衡點(diǎn)有三個(gè)：x=0和平衡態(tài)的穩(wěn)定性由雅可比矩陣的特征值決定：對(duì)于平衡點(diǎn)x=0，雅可比矩陣的特征值為μ。當(dāng)μ<0時(shí)，平衡點(diǎn)x=0是穩(wěn)定的；當(dāng)μ>0時(shí)，它是不穩(wěn)定的。對(duì)于平衡點(diǎn)，雅可比矩陣的特征值為-2μ。此時(shí)μ取正值，這兩個(gè)平衡點(diǎn)都是穩(wěn)定的。這就是叉形分岔，又稱為倍周期分岔。

分岔的概念Hopf分岔在動(dòng)態(tài)分岔中，比較重要的是由于平衡點(diǎn)穩(wěn)定性突然變化而出現(xiàn)極限環(huán)的霍普分岔。Hopf分岔是指從平衡點(diǎn)的失穩(wěn)分岔出極限環(huán)，即產(chǎn)生周期性振蕩的現(xiàn)象。其典型的方程為引入極坐標(biāo)(r,θ)，其中分岔的概念代入典型方程并化簡(jiǎn)得方程組的第二式，說明了軌線以一常角速度旋轉(zhuǎn)，而第一式，則說明了極坐標(biāo)系在μ>0時(shí)還存在另一平衡點(diǎn)由此看到，與叉形分岔非常相似。由分析得知，當(dāng)μ<0時(shí)，r=0為穩(wěn)定的，而當(dāng)μ>0時(shí)，r=0就變的不穩(wěn)定了，從而分岔出半徑為的極限環(huán)，這種由于失穩(wěn)后出現(xiàn)極限環(huán)的分岔通常稱為Hopf分岔，此時(shí)的分岔點(diǎn)為x=0，y=0，μ=0。分岔的概念鞍結(jié)分岔又稱折疊分岔。試考察單變量非線性方程很明顯，當(dāng)μ>0時(shí)則存在兩平衡點(diǎn)：根據(jù)雅可比矩陣計(jì)算得知，x1是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，x2是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。μ=0是分岔點(diǎn)，此分岔稱為鞍結(jié)分岔。

分岔現(xiàn)象舉例

Euler桿在軸向壓力作用下的彎曲問題這是Euler在1744年研究的一個(gè)問題，它是一個(gè)最簡(jiǎn)單的分岔現(xiàn)象?？紤]一端固定，另一端為自由的均勻直桿。Euler桿受到軸向壓力μ（即問題的控制參數(shù)）。例子中，采用θ表示桿的切線與實(shí)軸之間的夾角。Euler直桿彎曲滿足下列非線性微分方程及邊值當(dāng)θ<<1時(shí)，其對(duì)應(yīng)的線性方程是

分岔現(xiàn)象舉例其解的一般表示是當(dāng)時(shí)，θ≡0，表示Euler桿不彎曲狀態(tài)當(dāng)時(shí)，這時(shí)μ=π2，原來的平衡狀態(tài)即失去了穩(wěn)定性，于是桿發(fā)生了彎曲。這時(shí)，θ≠0?；煦绲难芯糠椒?/p>

針對(duì)混沌現(xiàn)象目前主要采用的方法有：定性分析法和定量分析法。定性分析法有龐加萊截面法，功率譜法等；定量分析法有飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法和李亞普諾夫指數(shù)法等。龐加萊截面法：在多維相空間中適當(dāng)（要有利于觀察系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征和變化，如截面不能與軌線相切，更不能包含軌線面）選取一個(gè)截面，這個(gè)截面可以是平面也可以是曲面，然后考慮連續(xù)的動(dòng)力學(xué)軌道與此截面相交的一系列點(diǎn)的變化規(guī)律，這樣就可以拋開相空間的軌道，借助計(jì)算機(jī)畫出龐加萊截面上的截點(diǎn)，由此得到關(guān)于運(yùn)動(dòng)特征的信息。不同的運(yùn)動(dòng)形式通過截面時(shí)，與截面的交點(diǎn)有不同的分布特征：①周期運(yùn)動(dòng)在此截面上留下有限個(gè)離散的點(diǎn)；②準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)在截面上留下一條閉合曲線；③混沌運(yùn)動(dòng)在龐加萊截面上是沿一條線段或一曲線弧分布的點(diǎn)集，而且具有自相似的分形結(jié)構(gòu)?；煦绲难芯糠椒üβ首V法：譜分析是識(shí)別混沌的一個(gè)重要手段。根據(jù)傅立葉變換分析得到周期運(yùn)動(dòng)的頻譜是離散的譜線，而對(duì)非周期運(yùn)動(dòng)，其不能展開成傅立葉級(jí)數(shù)只能展開成傅立葉積分，故非周期運(yùn)動(dòng)的頻譜是連續(xù)的。也就是說，若譜圖具有單峰或幾個(gè)峰，則對(duì)應(yīng)于周期序列，若無明顯的峰值且頻譜是連續(xù)的，則可確定該系統(tǒng)可能存在混沌解。飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法：根據(jù)傳統(tǒng)的定義，維數(shù)是整數(shù)的，而混沌軌道在相空間內(nèi)由于無限次的拉伸、壓縮和折疊，構(gòu)成了無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)，形成混沌奇怪吸引子。這奇怪吸引子的形狀極為復(fù)雜，既像線又像面，在維數(shù)上表現(xiàn)為非整數(shù)維數(shù)，即分?jǐn)?shù)維?；煦绲难芯糠椒ɡ顏喥罩Z夫指數(shù)法：李亞譜諾夫指數(shù)是用來刻畫混沌行為對(duì)初始條件的高度敏感性，是用來度量從兩個(gè)相鄰初始點(diǎn)出發(fā)的兩條軌道，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，他們之間的距離隨時(shí)間按指數(shù)形式吸引或分離的程度?？梢詤^(qū)分奇怪吸引子和其他的吸引子。1983年，格里波基證明只要最大李指大于0，就可以肯定混沌性的存在?；煦绲难芯糠椒ㄏ嗫臻g重構(gòu)相空間重構(gòu)是分?jǐn)?shù)維計(jì)算，李雅普諾夫指數(shù)計(jì)算關(guān)鍵。一般來說，非線性系統(tǒng)的相空間可能維數(shù)很高，甚至無窮，但在大多數(shù)情況下維數(shù)并不知道。在實(shí)際問題中，對(duì)于給定的時(shí)間序列x1,x2,…,xn，我們通常是將其擴(kuò)展到三維甚至更高維的空間中去，以便把時(shí)間序列中蘊(yùn)藏的信息充分地顯露出來，這就是延遲坐標(biāo)狀態(tài)空間重構(gòu)法。Takens嵌入定理：只要嵌入維數(shù)足夠大，也就是延遲坐標(biāo)的維數(shù)M≥2D+1（D是動(dòng)力系統(tǒng)的維數(shù)），在該嵌入維空間里可把有規(guī)律的軌道（吸引子）恢復(fù)出來，即在重構(gòu)的空間中的軌道上與原動(dòng)力系統(tǒng)保持微分同胚，與原吸引子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全相同。

混沌的研究方法對(duì)于混沌時(shí)間序列x1,x2,…,xn，若嵌入維數(shù)為m，延遲時(shí)間為τ，則相空間重構(gòu)為：上式中任一相點(diǎn)都包含有m個(gè)分量（或狀態(tài)點(diǎn)），對(duì)N個(gè)相點(diǎn)在m維的相空間中構(gòu)成一個(gè)相型，相點(diǎn)間的連線是描述系統(tǒng)在維相空間中的演化軌跡。重構(gòu)后的樣本個(gè)數(shù)為N。在重構(gòu)相空間中，時(shí)間延遲和嵌入維數(shù)的選取具有十分重要的意義，同時(shí)這種選取也是很困難的。兩者的恰當(dāng)選取直接影響到相空間重構(gòu)的質(zhì)量，進(jìn)而影響到預(yù)測(cè)的精度。嵌入維數(shù)太低，會(huì)出現(xiàn)吸引子的自交性；太高使點(diǎn)與點(diǎn)之間距離太遠(yuǎn)。時(shí)間延遲太低，重構(gòu)空間中各點(diǎn)坐標(biāo)的相關(guān)性太強(qiáng)，相空間軌跡沿同一方向擠壓，信息不容易泄漏；太大，本來較近的向量也會(huì)拉遠(yuǎn)，而導(dǎo)致不確定的系統(tǒng)性態(tài)。兩者的選取可以獨(dú)立也可以不獨(dú)立。

混沌的研究方法時(shí)間延遲的選取方法：時(shí)間序列相關(guān)法：讓相空間中各元素的相關(guān)性減弱，同時(shí)各元素所包含的原動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的信息不丟失。自相關(guān)函數(shù)法：適用于低維；延遲時(shí)間τ取為自相關(guān)函數(shù)下降到初始值的1-1/e時(shí)的值?；煦绲难芯糠椒ɑバ畔⒘糠ǎ夯バ畔⒃酱?，表明相關(guān)性越強(qiáng)。此時(shí)間延遲取為互信息函數(shù)第一次達(dá)到極小值時(shí)刻的點(diǎn)。其中Q，S分別為兩個(gè)離散變量，I(Q,S)表示互信息，H(*)表示信息熵，信息熵越大，不確定性越強(qiáng)，H(Q,S)是聯(lián)合信息熵，H(Q|S)是條件熵，表示已知S的情況下Q的不確定性，P(qi)為Q在qi狀態(tài)出現(xiàn)的概率，P(sj)為S在sj狀態(tài)出現(xiàn)的概率，P(qi,sj)為Q在qi狀態(tài)出現(xiàn)同時(shí)S在sj狀態(tài)出現(xiàn)的聯(lián)合概率。此公式能夠說明：S和Q的相關(guān)程度越大，已知S確定Q的不確定性越小，即H(Q|S)越小，則互信息I(Q,S)越大，反之，S和Q的相關(guān)程度越小，互信息I(Q,S)越小?；煦绲难芯糠椒〞r(shí)間延遲的選取方法：相空間擴(kuò)展法：重構(gòu)相空間軌跡應(yīng)從相空間的主對(duì)角線盡可能的擴(kuò)展，但又不出現(xiàn)折疊——平均位移法，擺動(dòng)量法，填充引子法；復(fù)自相關(guān)法和去偏復(fù)自相關(guān)法是時(shí)間序列相關(guān)法和相空間擴(kuò)展法的綜合。具有很強(qiáng)的理論依據(jù)，計(jì)算復(fù)雜度不大，對(duì)數(shù)據(jù)長度依賴性不強(qiáng)，具有很強(qiáng)的抗噪能力。混沌的研究方法嵌入維數(shù)的選取方法：關(guān)聯(lián)維數(shù)飽和法，虛假最小臨近法，奇異值分解法——與延遲時(shí)間的選取不相關(guān)的方法；Cao方法——與時(shí)間延遲有關(guān)的方法。對(duì)于時(shí)間序列x1,x2,…,xn，若嵌入維數(shù)為m，延遲時(shí)間為τ，則相空間重構(gòu)為：定義：混沌的研究方法其中Ym+1(n(i,m))是Ym+1(i)的最鄰近的點(diǎn)，Ym(n(i,m))是Ym(i)的最鄰近的點(diǎn)。如果嵌入維數(shù)滿足嵌入式定理，那么在m維空間中離得近的兩個(gè)點(diǎn)在m+1維空間中也離得最近。當(dāng)m大于某個(gè)值的時(shí)候，E1(m)不再變化，這時(shí)的m就是飽和嵌入維數(shù)。

混沌的研究方法關(guān)聯(lián)維數(shù)的求取：先給一個(gè)較小的嵌入維數(shù)值m0，對(duì)應(yīng)一個(gè)重構(gòu)的相空間；計(jì)算累積分布函數(shù)其中：|Y(i)-Y(j)|表示重構(gòu)的相空間中兩個(gè)相點(diǎn)之間的距離；θ是Heaviside函數(shù)：C(r)是一個(gè)累積分布函數(shù)，表示相空間中吸引子上兩點(diǎn)之間的距離小于r的概率?；煦绲难芯糠椒P(guān)聯(lián)維數(shù)的求取：對(duì)于r的某個(gè)適當(dāng)范圍，吸引子的維數(shù)D與累積分布函數(shù)C(r)應(yīng)滿足對(duì)數(shù)線性關(guān)系，即lnr-lnC(r)在r的適當(dāng)范圍內(nèi)是一條直線，直線的斜率即為吸引子的維數(shù)即關(guān)聯(lián)維數(shù)。從而由擬合求出對(duì)應(yīng)于m0的關(guān)聯(lián)維數(shù)估計(jì)值D(m0)。增加嵌入維數(shù)的值，重復(fù)計(jì)算步驟2和3，直到相應(yīng)的維數(shù)估計(jì)值不隨m的增長在一定誤差范圍內(nèi)不變?yōu)橹?。此時(shí)得到的D即為吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)。如果D隨著m的增長而增長，并不收斂于一個(gè)穩(wěn)定的值，則表明所考慮的系統(tǒng)是一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列?；煦绲难芯糠椒╓olf法計(jì)算最大李亞普諾夫指數(shù)：先求取延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)，進(jìn)行相空間重構(gòu)；選取相空間中相距比較近的兩個(gè)點(diǎn)，在一個(gè)固定的時(shí)間間隔之后，此兩點(diǎn)演化成新的兩點(diǎn)。計(jì)算新得到的兩點(diǎn)之間的距離，用此距離與新開始時(shí)兩點(diǎn)之間的距離的比值代表軌道的發(fā)散程度；混沌的研究方法Wolf法計(jì)算最大李亞普諾夫指數(shù)：要保證每次演化之后要找到新的替代點(diǎn)，使得替代點(diǎn)與另外一點(diǎn)的連線和原來的點(diǎn)與另外一點(diǎn)的連線的夾角盡可能的小。再求出經(jīng)過下一步時(shí)間的演化得到的兩點(diǎn)之間的距離與剛才兩點(diǎn)之間距離的比值，又得到了發(fā)散程度的一個(gè)新的描述值；如此繼續(xù)下去，直至到達(dá)時(shí)間序列的終點(diǎn)，把每一個(gè)求出的值取對(duì)數(shù)再平均就得到了時(shí)間序列的最大李亞普諾夫指數(shù)。最大李亞普諾夫指數(shù)為：

分岔的研究方法

目前在研究分岔時(shí)主要用到的方法有：狀態(tài)空間平均法、頻閃映射法和采樣數(shù)據(jù)法。狀態(tài)空間平均法：狀態(tài)空間平均法就是先分別寫出各系統(tǒng)工作在各模態(tài)的狀態(tài)空間模型，然后進(jìn)行平均。頻閃映射法：頻閃映射的主要思路是確定一個(gè)初值，以此初值為變量求解下一周期的解，如此不斷的反復(fù)，最終得到所需精度解Xn+1。只要求得Xn+1和Xn之間的關(guān)系，就能采用連續(xù)代入的方法求出Xn+1。分岔的研究方法采樣數(shù)據(jù)法：通過列寫出系統(tǒng)在不同工作階段的微分方程得出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)迭代方程，這就是采樣數(shù)據(jù)法。以上3種建模方法各有特點(diǎn)：狀態(tài)空間平均法計(jì)算簡(jiǎn)便，但只能分析低頻性能；頻閃映射法適用于數(shù)值求解；采樣數(shù)據(jù)法能夠得到解析解，是一種系統(tǒng)