第五章 材料力學(xué)彎曲內(nèi)力

第五章

彎曲內(nèi)力

Shear

ForcesandBendingMoments1

1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖一、彎曲的概念1.彎曲:桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時,軸線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。2.梁：以彎曲變形為主的構(gòu)件通常稱為梁。23.平面彎曲：桿發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一平面內(nèi)。對稱彎曲（如下圖）——平面彎曲的特例?？v向?qū)ΨQ面MP1P2q3非對稱彎曲——若梁不具有縱對稱面，或者，梁雖具有縱對稱面但外力并不作用在對稱面內(nèi)，這種彎曲則統(tǒng)稱為非對稱彎曲。下面幾章中，將以對稱彎曲為主，討論梁的應(yīng)力和變形計算。4二、梁的計算簡圖梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡化，抽象出計算簡圖。1.構(gòu)件本身的簡化通常取梁的軸線來代替梁。2.載荷簡化作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。3.支座簡化5①固定鉸支座2個約束，1個自由度。如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。②可動鉸支座1個約束，2個自由度。如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。6③固定端3個約束，0個自由度。如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。XAYAMA4.梁的三種基本形式①簡支梁M—集中力偶q(x)—分布力②懸臂梁7③外伸梁—集中力Pq—均布力5.靜定梁與超靜定梁靜定梁：由靜力學(xué)方程可求出支反力，如上述三種基本形式的靜定梁。超靜定梁：由靜力學(xué)方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。82梁的剪力和彎矩一、彎曲內(nèi)力：[舉例]已知：如圖，P，a，l。

求：距A端x處截面上內(nèi)力。PaPlYAXARBAABB解：①求外力9ABPYAXARBmmx②求內(nèi)力——截面法AYAQMRBPMQ∴彎曲構(gòu)件內(nèi)力剪力彎矩1.彎矩：M

構(gòu)件受彎時，橫截面上其作用面垂直于截面的內(nèi)力偶矩。CC102.剪力：Q

構(gòu)件受彎時，橫截面上其作用線平行于截面的內(nèi)力。3.內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定:①剪力Q:繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正剪力；反之為負(fù)。②彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形的為負(fù)彎矩。Q(+)Q(–)Q(–)Q(+)M(+)M(+)M(–)M(–)11[例2]：求圖（a）所示梁1--1、2--2截面處的內(nèi)力。xy解：截面法求內(nèi)力。

1--1截面處截取的分離體

如圖（b）示。圖（a）二、例題qqLab1122qLQ1AM1圖（b）x1122--2截面處截取的分離體如圖（c）xy圖（a）qqLab1122qLQ2BM2x2圖（c）131.內(nèi)力方程：內(nèi)力與截面位置坐標(biāo)（x）間的函數(shù)關(guān)系式。2.剪力圖和彎矩圖：)(xQQ=剪力方程)(xMM=彎矩方程)(xQQ=剪力圖的圖線表示)(xMM=彎矩圖的圖線表示3剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖14[例3]求下列各圖示梁的內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。解：①求支反力②寫出內(nèi)力方程PYOL③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖M(x)xQ(x)Q(x)M(x)xxP–PLMO15解：①寫出內(nèi)力方程②根據(jù)方程畫內(nèi)力圖LqM(x)xQ(x)Q(x)x–qLM(x)x16解：①求支反力②內(nèi)力方程q0RA③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖RBLQ(x)xxM(x)+17一、剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系對dx

段進(jìn)行平衡分析，有：4剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)Q(x)M(x)dxAy剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。18q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)Q(x)M(x)dxAy彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。彎矩與荷載集度的關(guān)系是：19二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系外力無外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Q圖特征M圖特征CPCm水平直線xQQ>0QQ<0x斜直線增函數(shù)xQxQ降函數(shù)xQCQ1Q2Q1–Q2=P自左向右突變xQC無變化斜直線xM增函數(shù)xM降函數(shù)曲線M墳狀xMx盆狀自左向右折角

自左向右突變與m反xM折向與P反向MxM1M220簡易作圖法:利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來作圖的方法。[例4]

用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。解:利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來作圖。特殊點(diǎn):端點(diǎn)、分區(qū)點(diǎn)（外力變化點(diǎn)）和駐點(diǎn)等。aaqaqA21aaqaqA左端點(diǎn)：線形：根據(jù)；；及集中載荷點(diǎn)的規(guī)律確定。分區(qū)點(diǎn)A：M的駐點(diǎn)：右端點(diǎn)：Qxqa–qa2–xM22[例6]用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。解：求支反力左端點(diǎn)A：B點(diǎn)左：B點(diǎn)右：C點(diǎn)左：M的駐點(diǎn)：C點(diǎn)右：右端點(diǎn)D：qqa2qaRARDQxqa/2qa/2qa/2––+ABCDMxqa2/2qa2/23qa2/8qa2/2–+235按疊加原理作彎矩圖一、疊加原理：

多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力的代數(shù)和。適用條件：所求參數(shù)（內(nèi)力、應(yīng)力、位移）必然與荷載滿足線性關(guān)系。即在彈性限度內(nèi)滿足虎克定律。24二、材料力學(xué)構(gòu)件小變形、線性范圍內(nèi)必遵守此原理——疊加方法步驟：①分別作出各項(xiàng)荷載單獨(dú)作用下梁的彎矩圖；②將其相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加即可（注意：不是圖形的簡單拼湊）。25[例7]按疊加原理作彎矩圖(AB=2a，力P作用在梁AB的中點(diǎn)處）。qqPP=+AAABBBxM1+xM+xM2

+=+26[例7]作下列圖示梁的內(nèi)力圖。PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0QxQ1xQ2x–0.5P0.5P0.5P–+–P27PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0M2x0.5PL0.5PL–+M1x+0.5PLMxPL+28[例8]改內(nèi)力圖之錯。a2aaqqa2ABQxxM––++qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/429[例9]已知Q圖，求外載及M圖（梁上無集中力偶）。Q(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+–+M(kN·m)x+111.25–306平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖一、平面剛架1.平面剛架：同一平面內(nèi)，不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連接而組成的結(jié)構(gòu)。特點(diǎn)：剛架各桿的內(nèi)力有：Q、M、N。2.內(nèi)力圖規(guī)定：彎矩圖：畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號。

剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫在剛架的外側(cè)），但須注明正、負(fù)號。31[例10]試作圖示剛架的內(nèi)力圖。P1P2alABC–N圖P2+Q圖P1+P1P1aM圖P1aP1a+P2l32二、曲桿：軸線為曲線的桿件。

內(nèi)力情況及繪制方法與平面剛架相同。[例11]已知：如圖所示，P及R

。試?yán)L制Q、M、N圖。OPRqmmx解：建立極坐標(biāo)，O為極點(diǎn)，OB

極軸，q表示截面m–m的位置。AB33OPRqmmxABABOM圖OO+Q圖N圖2PRPP–+34一、內(nèi)力的直接求法：

求任意截面A上的內(nèi)力時，以

A

點(diǎn)左側(cè)部分為研究對象，內(nèi)力計算式如下，其中Pi、Pj均為A

點(diǎn)左側(cè)的所有向上和向下的外力。剪力圖和彎矩圖彎曲內(nèi)力習(xí)題課35剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系：q(x)二、簡易作圖法:

利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來作圖的方法。36三、疊加原理：

多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力的代數(shù)和。37[例12]繪制下列圖示梁的彎矩圖。2PaaP=2PP+xM1=+–2PaxM2+2PaxM+Pa(1)38(2)aa