第十三章(因子分析)

2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心1第十三章因子分析

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§13.1因子分析的基本思想§13.2因子載荷的求解§13.3因子分析的步驟與邏輯框圖§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心2第十三章因子分析

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因子分析（factoranalysis）模型是主成分分析的推廣。它也是利用降維的思想，由研究原始變量相關(guān)矩陣內(nèi)部的依賴關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的變量歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)綜合因子的一種多變量統(tǒng)計(jì)分析方法。相對(duì)于主成分分析，因子分析更傾向于描述原始變量之間的相關(guān)關(guān)系；因此，因子分析的出發(fā)點(diǎn)是原始變量的相關(guān)矩陣。因子分析的思想始于1904年CharlesSpearman對(duì)學(xué)生考試成績的研究。近年來，隨著電子計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，人們將因子分析的理論成功地應(yīng)用于心理學(xué)、醫(yī)學(xué)、氣象、地質(zhì)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，也使得因子分析的理論和方法更加豐富。本章主要介紹因子分析的基本理論及方法，運(yùn)用因子分析方法分析實(shí)際問題的主要步驟及因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)等內(nèi)容。2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3§13.1因子分析的基本思想

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一、因子分析的基本思想

因子分析的基本思想是根據(jù)相關(guān)性大小把原始變量分組，使得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，而不同組的變量間的相關(guān)性則較低。每組變量代表一個(gè)基本結(jié)構(gòu)，并用一個(gè)不可觀測(cè)的綜合變量表示，這個(gè)基本結(jié)構(gòu)就稱為公共因子。對(duì)于所研究的某一具體問題，原始變量就可以分解成兩部分之和的形式，一部分是少數(shù)幾個(gè)不可測(cè)的所謂公共因子的線性函數(shù)，另一部分是與公共因子無關(guān)的特殊因子。在經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中，描述一種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)可以有很多，比如要反映物價(jià)的變動(dòng)情況，對(duì)各種商品的價(jià)格做全面調(diào)查固然可以達(dá)到目的，但這樣做顯然耗時(shí)耗力，為實(shí)際工作者所不取。2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4§13.1因子分析的基本思想

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實(shí)際上，某一類商品中很多商品的價(jià)格之間存在明顯的相關(guān)性或相互依賴性，只要選擇幾種主要商品的價(jià)格或進(jìn)而對(duì)這幾種主要商品的價(jià)格進(jìn)行綜合，得到某一種假想的“綜合商品”的價(jià)格，就足以反映某一類物價(jià)的變動(dòng)情況，這里，“綜合商品”的價(jià)格就是提取出來的因子。這樣，對(duì)各類商品物價(jià)或僅對(duì)主要類別商品的物價(jià)進(jìn)行類似分析然后加以綜合，就可以反映出物價(jià)的整體變動(dòng)情況。這一過程也就是從一些有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中找出少數(shù)幾個(gè)主要因子，每一個(gè)主要因子就代表經(jīng)濟(jì)變量間相互依賴的一種經(jīng)濟(jì)作用。抓住這些主要因子就可以幫助我們對(duì)復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行分析和解釋。2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心5§13.1因子分析的基本思想

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心6§13.1因子分析的基本思想

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（一）CharlesSpearman提出因子分析時(shí)用到的例子為了對(duì)因子分析的基本理論有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)，我們先給出CharlesSpearman1904年用到的例子。在該例中Spearman研究了33名學(xué)生在古典語（C）、法語（F）、英語（E）、數(shù)學(xué)（M）、判別（D）和音樂（Mu）六門考試成績之間的相關(guān)性并得到如下相關(guān)陣：二、因子分析的基本理論及模型2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心7§13.1因子分析的基本思想

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心8§13.1因子分析的基本思想

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9§13.1因子分析的基本思想

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心10§13.1因子分析的基本思想

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心11§13.1因子分析的基本思想

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心12§13.1因子分析的基本思想

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心13§13.1因子分析的基本思想

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心14§13.1因子分析的基本思想

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心15§13.1因子分析的基本思想

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心16§13.1因子分析的基本思想

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心17§13.1因子分析的基本思想

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心18§13.2因子載荷的求解

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因子分析可以分為確定因子載荷，因子旋轉(zhuǎn)及計(jì)算因子得分三個(gè)步驟。首要的步驟即為確定因子載荷或是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定出因子載荷矩陣。有很多方法可以完成這項(xiàng)工作，如主成分法，主軸因子法，最小二乘法，極大似然法，因子提取法等。這些方法求解因子載荷的出發(fā)點(diǎn)不同，所得的結(jié)果也不完全相同。下面我們著重介紹比較常用的主成分法、主軸因子法與極大似然法。2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心19§13.2因子載荷的求解

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心20§13.2因子載荷的求解

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心21§13.2因子載荷的求解

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心22§13.2因子載荷的求解

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心23§13.2因子載荷的求解

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那么如何確定公因子的數(shù)目m呢？一般而言，這取決于問題的研究者本人，對(duì)于同一問題進(jìn)行因子分析時(shí)，不同的研究者可能會(huì)給出不同的公因子數(shù)；當(dāng)然，有時(shí)候由數(shù)據(jù)本身的特征可以很明確地確定出因子數(shù)目。當(dāng)用主成分法進(jìn)行因子分析時(shí)，也可以借鑒確定主成分個(gè)數(shù)的準(zhǔn)則，如所選取的公因子的信息量的和達(dá)到總體信息量的一個(gè)合適比例為止。但對(duì)這些準(zhǔn)則不應(yīng)生搬硬套，應(yīng)按具體問題具體分析，總之要使所選取的公因子能夠合理地描述原始變量相關(guān)陣的結(jié)構(gòu)，同時(shí)要有利于因子模型的解釋。2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心24§13.2因子載荷的求解

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二、主軸因子法2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心25§13.2因子載荷的求解

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心26§13.2因子載荷的求解

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三、極大似然法2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心27§13.2因子載荷的求解

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四、因子旋轉(zhuǎn)2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心28§13.2因子載荷的求解

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心29§13.2因子載荷的求解

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心30§13.2因子載荷的求解

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五、因子得分2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心31§13.2因子載荷的求解

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心32§13.2因子載荷的求解

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心33§13.2因子載荷的求解

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六、主成分分析與因子分析的區(qū)別1、因子分析把展示在我們面前的諸多變量看成由對(duì)每一個(gè)變量都有作用的一些公共因子和一些僅對(duì)某一個(gè)變量有作用的特殊因子線性組合而成。因此，我們的目的就是要從數(shù)據(jù)中探查能對(duì)變量起解釋作用的公共因子和特殊特殊因子，以及公共因子和特殊因子組合系數(shù)。主成分分析則簡單一些，它只是從空間生成的角度尋找能解釋諸多變量變異絕大部分的幾組彼此不相關(guān)的新變量（主成分）。2、因子分析中是把變量表示成各因子的線性組合，而主成分分析中則是把主成分表示成各變量的線性組合。2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心34§13.2因子載荷的求解

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3、主成分分析中不需要有假設(shè)，因子分析則需要一些假設(shè)。因子分析的假設(shè)包括：各個(gè)公共因子之間不相關(guān)，特殊因子（specificfactor）之間也不相關(guān)，公共因子和特殊因子之間也不相關(guān)。4、抽取主因子的方法不僅僅有主成分法，還有極大似然法等，基于這些不同算法得到的結(jié)果一般也不同。而主成分只能用主成分法抽取。5、主成分分析中，當(dāng)給定的協(xié)方差矩陣或者相關(guān)矩陣的特征值是唯一的時(shí)候，主成分一般是固定的；而因子分析中因子不是固定的，可以旋轉(zhuǎn)得到不同的因子。

2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心35§13.2因子載荷的求解

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6、在因子分析中，因子個(gè)數(shù)需要分析者指定（spss根據(jù)一定的條件自動(dòng)設(shè)定，只要是特征值大于1的因子進(jìn)入分析），指定的因子數(shù)量不同而結(jié)果不同。在主成分分析中，成分的數(shù)量是一定的，一般有幾個(gè)變量就有幾個(gè)主成分。

7、和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋轉(zhuǎn)技術(shù)幫助解釋因子，在解釋方面更加有優(yōu)勢(shì)。而如果想把現(xiàn)有的變量變成少數(shù)幾個(gè)新的變量（新的變量幾乎帶有原來所有變量的信息）來進(jìn)入后續(xù)的分析，則可以使用主成分分析。當(dāng)然，這中情況也可以使用因子得分做到。所以這種區(qū)分不是絕對(duì)的。2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心36§13.3因子分析的步驟與邏輯框圖

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上面我們介紹了因子分析的基本思想及基本的理論方法，下面我們把因子分析的步驟及邏輯框圖總結(jié)如下，以幫助讀者能更加清楚因子分析各步之間的脈絡(luò)關(guān)系及更好的運(yùn)用因子分析方法解決實(shí)際問題。2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心37§13.3因子分析的步驟與邏輯框圖

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一、因子分析的步驟進(jìn)行因子分析應(yīng)包括如下幾步：1.根據(jù)研究問題選取原始變量；2.對(duì)原始變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化并求其相關(guān)陣，分析變量之間的相關(guān)性；3.求解初始公共因子及因子載荷矩陣；4.因子旋轉(zhuǎn)；5.因子得分；6.根據(jù)因子得分值進(jìn)行進(jìn)一步分析。2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心38§13.3因子分析的步驟與邏輯框圖

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二、因子分析的邏輯框圖2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心39§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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在上一章中，我們用SPSS的FactorAnalysis模塊實(shí)現(xiàn)了主成分分析，實(shí)際上，F(xiàn)actorAnalysis主要是SPSS軟件進(jìn)行因子分析的模塊，由于主成分分析與因子分析（特別是因子分析中的主成分法）之間有密切的關(guān)系，SPSS軟件將這兩種分析方法放到同一模塊中。例13.1（數(shù)據(jù)見表12-6）對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)體系的八項(xiàng)指標(biāo)建立因子分析模型。（詳細(xì)因子分析上機(jī)實(shí)現(xiàn)見例13.2）

由spss輸出方差解釋表及碎石圖可看出，前三個(gè)特征值較大，其余五個(gè)特征值均較小。前三個(gè)公共因子對(duì)樣本方差的貢獻(xiàn)和為87.085%，于是我們選取3個(gè)公共因子。2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心40§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心41§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心42§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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因子載荷的估計(jì)如下：2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心43§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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上表可得出企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)體系的因子分析模型（特殊因子忽略不計(jì)）：（13.24）

2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心44§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心45§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心46§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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例13.2中心城市的綜合發(fā)展是帶動(dòng)周邊地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要?jiǎng)恿ΑＴ谖覈?jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)程中，各個(gè)中心城市一直是該地區(qū)經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展的“引路者”。因而，分析評(píng)價(jià)全國35個(gè)中心城市的綜合發(fā)展水平，無論是對(duì)城市自身的發(fā)展，還是對(duì)周邊地區(qū)的進(jìn)步，都具有十分重要的意義。下面應(yīng)用因子分析模型，選取反映城市綜合發(fā)展水平的12個(gè)指標(biāo)作為原始變量，運(yùn)用spss軟件，對(duì)全國35個(gè)中心城市的綜合發(fā)展水平作分析評(píng)價(jià)。2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心47§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心48§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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指標(biāo)的選取參考了《中國城市統(tǒng)計(jì)年鑒》中指標(biāo)的設(shè)置。數(shù)據(jù)來源于《中國城市統(tǒng)計(jì)年鑒（2004）》。數(shù)據(jù)見表13-1。2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心49§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心50§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心51§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心52§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2.計(jì)算運(yùn)行結(jié)果將標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)導(dǎo)入到spss軟件，依次點(diǎn)選Analyze-DataReduction-Factor進(jìn)入FactorAnalysis對(duì)話框。把12個(gè)指標(biāo)變量選入variables中，點(diǎn)擊extraction按鈕，在method選項(xiàng)中選擇principalcomponents(這時(shí)，因子分析等同于主成分分析，如果是主成分分析，則只能選擇此項(xiàng))，點(diǎn)擊continue按鈕，回到主對(duì)話框點(diǎn)擊ok。2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心53§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心54§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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按照特征根大于1的原則，選入3個(gè)公共因子，其累計(jì)方差貢獻(xiàn)率為87.1%，特征根及累計(jì)貢獻(xiàn)率、碎石圖、因子載荷矩陣如下：2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心55§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心56§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心57§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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此時(shí)得到的未旋轉(zhuǎn)的公共因子的實(shí)際意義不好解釋，因此，對(duì)公共因子進(jìn)行方差最大化正交旋轉(zhuǎn)。在factorAnalysis對(duì)話框中，點(diǎn)擊rotation按鈕，進(jìn)入rotation對(duì)話框，選中varimax進(jìn)行方差最大化正交旋轉(zhuǎn)。（若是主成分分析就選擇none）2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心58§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心59§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心60§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心61§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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結(jié)果如下：2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心62§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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最后，計(jì)算因子得分，以各因子的方差貢獻(xiàn)率占三個(gè)因子總方差貢獻(xiàn)率的比重作為權(quán)重進(jìn)行加權(quán)匯總，得出各城市的綜合得分F，即在factoranalysis主對(duì)話框中點(diǎn)擊按鈕scores進(jìn)入factorscores對(duì)話框，選中saveasvariables，在method中選擇regression計(jì)算因子得分，如圖所示：2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心63§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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得到運(yùn)行結(jié)果并計(jì)算綜合得分，結(jié)果如下表：2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心64§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心65§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心66§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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其操作步驟如下：在spss中點(diǎn)選graphs,在出來的下拉菜單中點(diǎn)擊scatter，進(jìn)入scatterplot對(duì)話框，選擇simple，點(diǎn)擊define按鈕，如圖：在彈出的simplescatterplot對(duì)話框中，分別選擇fac1_1,fac2_1作為x軸與y軸，點(diǎn)擊ok，即可得到如上因子得分圖。操作圖如下：2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心67§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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2023/2/2中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心68§13.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

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