第五章相似矩陣及二次型

§5.1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性本章主要討論方陣的特征值與特征向量、方陣的相似對(duì)角化和二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題其中涉及向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交等知識(shí)本節(jié)先介紹這些知識(shí)

上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)向量的內(nèi)積設(shè)有n維向量x(x1

x2

xn)T

y(y1

y2

yn)T

令[x

y]x1y1x2y2

xnyn[x

y]稱為向量x與y的內(nèi)積

說(shuō)明內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)用矩陣記號(hào)表示當(dāng)x與y都是列向量時(shí)有[x

y]xTy下頁(yè)向量的內(nèi)積設(shè)有n維向量x(x1

x2

xn)T

y(y1

y2

yn)T

令[x

y]x1y1x2y2

xnyn[x

y]稱為向量x與y的內(nèi)積

內(nèi)積的性質(zhì)設(shè)x

y

z為n維向量

為實(shí)數(shù)則(1)[x

y][y

x]

(2)[x

y][x

y]

(3)[xy

z][x

z][y

z]

(4)當(dāng)x0時(shí)[x

x]0

當(dāng)x0時(shí)[x

x]0

(5)[x

y]2[x

x][y

y]——施瓦茨不等式

下頁(yè)向量的長(zhǎng)度

令||x||稱為n維向量x的長(zhǎng)度(或范數(shù))

向量的長(zhǎng)度的性質(zhì)設(shè)x

y為n維向量

為實(shí)數(shù)則(1)非負(fù)性當(dāng)x0時(shí)||x||0

當(dāng)x0時(shí)||x||0

(2)齊次性||x||||x||

(3)三角不等式||xy||||x||||y||

>>>

下頁(yè)向量間的夾角稱為n維向量x與y的夾角

當(dāng)x0

y0時(shí)

當(dāng)[x

y]0時(shí)稱向量x與y正交顯然若x0則x與任何向量都正交

定理1

若n維向量a1

a2

ar是一組兩兩正交的非零向量

則a1

a2

ar線性無(wú)關(guān)

>>>

下頁(yè)

例1已知3維向量空間R3中兩個(gè)向量a1(111)T

a2(1

21)T正交試求一個(gè)非零向量a3使a1

a2

a3兩兩正交

解

設(shè)a3(x1

x2

x3)T則a3應(yīng)滿足a1Ta30

a2Ta30即a3應(yīng)滿足齊次線性方程組取a3(101)T即合所求得基礎(chǔ)解系(101)T下頁(yè)注

當(dāng)||x||1時(shí)稱x為單位向量

規(guī)范正交基

設(shè)n維向量e1

e2

er是向量空間V(VRn)的一個(gè)基如果e1

e2

er兩兩正交且都是單位向量則稱e1

e2

er是V的一個(gè)規(guī)范正交基

例如向量組是R4的一個(gè)規(guī)范正交基

下頁(yè)規(guī)范正交基

設(shè)n維向量e1

e2

er是向量空間V(VRn)的一個(gè)基如果e1

e2

er兩兩正交且都是單位向量則稱e1

e2

er是V的一個(gè)規(guī)范正交基

向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo)若e1

e2

er是V的一個(gè)規(guī)范正交基那么V中任一向量a應(yīng)能由e1

e2

er線性表示并且a[a

e1]e1[a

e2]e2

[a

er]er

事實(shí)上設(shè)a1e12e2

rer

則eiTaieiTeii即ieiTa

[a

ei]

下頁(yè)說(shuō)明

要找一組兩兩正交的單位向量e1

e2

er使e1

e2

er與a1

a2

ar等價(jià)這樣一個(gè)問(wèn)題稱為把a(bǔ)1

a2

ar這個(gè)基規(guī)范正交化

施密特正交化方法設(shè)a1

a2

ar是向量空間V中的一個(gè)基取向量組下頁(yè)施密特正交化方法設(shè)a1

a2

ar是向量空間V中的一個(gè)基取向量組容易驗(yàn)證b1

b2

br兩兩正交且b1

b2

br與a1

a2

ar等價(jià)

把b1

b2

br單位化即得V的一個(gè)規(guī)范正交基下頁(yè)

例2設(shè)a1(12

1)T

a2(131)T

a3(4

10)T試用施密特正交化過(guò)程把這組向量規(guī)范正交化

解

令b1a1再令e1

e2

e3即為所求

下頁(yè)

例3已知a1(111)T求一組非零向量a2

a3使a1

a2

a3兩兩正交

a2

a3應(yīng)滿足方程a1Tx0即x1x2x30

它的基礎(chǔ)解系為1(10

1)T

2(01

1)T把基礎(chǔ)解系正交化即得所求亦即取

解

下頁(yè)正交陣如果n階矩陣A滿足ATAE(即A1AT)

那么稱A為正交矩陣簡(jiǎn)稱正交陣

方陣A為正交陣的充分必要條件是A的列(行)向量都是單位向量且兩兩正交

n階正交陣A的n個(gè)列(行)向量構(gòu)成向量空間Rn的一個(gè)規(guī)范正交基

正交矩陣舉例

下頁(yè)正交陣如果n階矩陣A滿足ATAE(即A1AT)

那么稱A為正交矩陣簡(jiǎn)稱正交陣

正交矩陣的性質(zhì)(1)若A為正交陣則A1AT也是正交陣且|A|1

(2)若A和B都是正交陣則AB也正交陣

正交變換若P為正交矩陣則線性變換yPx稱為正交變換

設(shè)yPx為正交變換則有這說(shuō)明經(jīng)正交變換線段的長(zhǎng)度保持不變(從而三角形的形狀保持不變)這是正交變換的優(yōu)良特性

結(jié)束§5.2方陣的特征值與特征向量上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)工程技術(shù)中的一些問(wèn)題如振動(dòng)問(wèn)題和穩(wěn)定性問(wèn)題常可歸結(jié)為求一個(gè)方陣的特征值和特征向量的問(wèn)題數(shù)學(xué)中諸如方陣的對(duì)角化及解微分方程組的問(wèn)題也都要用到特征值的理論

提示

特征值與特征向量設(shè)A是n階矩陣如果數(shù)和n維非零向量x使關(guān)系式Axx成立那么這樣的數(shù)稱為方陣A的特征值非零向量x稱為A

的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量

Axx(AE)x0齊次方程(AE)x0有非零解|AE|0特征多項(xiàng)式與特征方程設(shè)A為n階方陣則稱的n次多項(xiàng)式f()|AE|為方陣A的特征多項(xiàng)式稱|AE|0為方陣A的特征方程

下頁(yè)提示

特征值與特征向量設(shè)A是n階矩陣如果數(shù)和n維非零向量x使關(guān)系式Axx成立那么這樣的數(shù)稱為方陣A的特征值非零向量x稱為A

的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量

特征方程|AE|0的根就是矩陣A的特征值齊次方程(AE)x0的非零解x就是A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量特征多項(xiàng)式與特征方程設(shè)A為n階方陣則稱的n次多項(xiàng)式f()|AE|為方陣A的特征多項(xiàng)式稱|AE|0為方陣A的特征方程

下頁(yè)特征值與特征向量設(shè)A是n階矩陣如果數(shù)和n維非零向量x使關(guān)系式Axx成立那么這樣的數(shù)稱為方陣A的特征值非零向量x稱為A

的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量

特征多項(xiàng)式與特征方程設(shè)A為n階方陣則稱的n次多項(xiàng)式f()|AE|為方陣A的特征多項(xiàng)式稱|AE|0為方陣A的特征方程

特征值的性質(zhì)設(shè)n階矩陣A(aij)的特征值為1

2

n

則(1)12

na11a22

ann

(2)12

n|A|

下頁(yè)得基礎(chǔ)解系(11)T

得基礎(chǔ)解系(11)T

方程|AE|0的根就是矩陣A的特征值

方程(AE)x0的非零解就是A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量

例1求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征多項(xiàng)式為所以A的特征值為12

24

對(duì)于特征值12解方程(A2E)x0p1(11)T是矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值12的特征向量對(duì)于特征值24解方程(A4E)x0p2(11)T是矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值24的特征向量>>>>>>下頁(yè)

例2求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征多項(xiàng)式為所以A的特征值為12

231

得基礎(chǔ)解系p2(121)T

得基礎(chǔ)解系p1(001)T

對(duì)于12解方程(A2E)x0所以kp1(k0)是對(duì)應(yīng)于12的全部特征向量對(duì)于231解方程(AE)x0所以kp2(k0)是對(duì)應(yīng)于231的全部特征向量>>>>>>下頁(yè)

例3求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征多項(xiàng)式為所以A的特征值為11

232

得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系p1(101)T

對(duì)于11解方程(AE)x0所以對(duì)應(yīng)于11的全部特征向量為kp1(k0)對(duì)于232解方程(A2E)x0所以對(duì)應(yīng)于232的全部特征向量為k2p2k3p3(k2k30)>>>>>>p2(01

1)T

p3(104)T

下頁(yè)

例4設(shè)是方陣A的特征值證明(1)2是A2的特征值

證明

因?yàn)槭茿的特征值故有p0使App于是(1)A2p2p(Ap)A(p)A(Ap)所以2是A2的特征值

因?yàn)閜0知0有pA1p由App(2)當(dāng)A可逆時(shí)按此例類推不難證明若是A的特征值則k是Ak的特征值

()是(A)的特征值(其中()a0a1

ann是的多項(xiàng)式

(A)a0Ea1A

anAn是矩陣A的多項(xiàng)式)

下頁(yè)

例5設(shè)3階矩陣A的特征值為1

12求|A*3A2E|

因?yàn)锳的特征值全不為0知A可逆故A*|A|A1

而|A|1232所以

解2A13A2E

A*3A2E把上式記作(A)故(A)的特征值為有()2132(1)1

(1)3

(2)3

9(1)(3)3于是|A*3A2E|若是A的特征值則k是Ak的特征值

()是(A)的特征值(其中()是的多項(xiàng)式

(A)是矩陣A的多項(xiàng)式)

下頁(yè)定理2

設(shè)1

2

m是方陣A的m個(gè)不同特征值

p1

p2

pm依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量則p1

p2

pm線性無(wú)關(guān)

Ak(x1p1x2p2

xmpm)0(k12

m1)即1kx1p12kx2p2

mkxmpm0(k12

m1)

證明

把上列各式合寫成矩陣形式得設(shè)有常數(shù)x1

x2

xm使x1p1x2p2

xmpm0則下頁(yè)定理2

設(shè)1

2

m是方陣A的m個(gè)不同特征值

p1

p2

pm依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量則p1

p2

pm線性無(wú)關(guān)

證明

設(shè)有常數(shù)x1

x2

xm使x1p1x2p2

xmpm0則上式等號(hào)左端等二個(gè)矩陣的行列式為范德蒙行列式當(dāng)pi各不相等時(shí)該行列式不等于0從而該矩陣可逆所以向量組p1p2pm線性無(wú)關(guān)即xjpj0(j12m)但pi0故xj0(j12m)(x1p1

x2p2

xmpm)(0

0

0)于是有下頁(yè)§5.3相似矩陣相似矩陣與相似變換設(shè)A

B都是n階矩陣若有可逆矩陣P

使P1APB則稱B是A的相似矩陣或說(shuō)矩陣A與B相似對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算P1AP稱為對(duì)A進(jìn)行相似變換可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣

上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)定理3

若n階矩陣A與B相似則A與B的特征多項(xiàng)式相同從而A與B的特征值也相同

因此|BE||P1APE|

|P1APP1(E)P|

|P1(AE)P|

|P1||AE||P|

|AE|

即A與B有相同的特征多項(xiàng)式

證明

因?yàn)锳與B相似所以有可逆矩陣P使P1APB下頁(yè)定理1

若n階矩陣A與B相似則A與B的特征多項(xiàng)式相同從而A與B的特征值也相同

推論若n階矩陣A與對(duì)角矩陣diag(1

2

n)相似則1

2

n即是A的n個(gè)特征值

因?yàn)?

2

n是的n個(gè)特征值由定理1知1

2

n也是A的n個(gè)特征值

證明

下頁(yè)相似矩陣的作用若APBP1

則AkPBkP1

A的多項(xiàng)式(A)P(B)P1

特別或有可逆矩陣P使P1AP為對(duì)角陣則AkPkP1

(A)P()P1其中kdiag(1k

2k

nk)()diag((1)

(2)

(n))

定理1

若n階矩陣A與B相似則A與B的特征多項(xiàng)式相同從而A與B的特征值也相同

推論若n階矩陣A與對(duì)角矩陣diag(1

2

n)相似則1

2

n即是A的n個(gè)特征值

下頁(yè)矩陣的對(duì)角化一個(gè)n階矩陣A能否對(duì)角化？如何尋求相似變換矩陣P

使P1AP為對(duì)角陣？設(shè)P1AP其中P(p1

p2

pn)

diag(12n)則APP即A(p1

p2

pn)(p1

p2

pn)diag(12n)(1p1

2p2

npn)

于是有Apiipi(i12

n)

可見(jiàn)i是A的特征值而P的列向量pi就是A的對(duì)應(yīng)于特征值i的特征向量

反之由上節(jié)知A恰好有n個(gè)特征值并可對(duì)應(yīng)地求得n個(gè)特向量這n個(gè)特征向量即可構(gòu)成矩陣P使APP

下頁(yè)定理4

n階矩陣A與對(duì)角陣相似(即A能對(duì)角化)的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

推論如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等則A與對(duì)角陣相似

矩陣的對(duì)角化一個(gè)n階矩陣A能否對(duì)角化？如何尋求相似變換矩陣P

使P1AP為對(duì)角陣？下頁(yè)

例1設(shè)問(wèn)x為何值時(shí)矩陣A能對(duì)角化？

解

得11

231

矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是對(duì)應(yīng)重根231有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量即方程(AE)x0有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解亦即系數(shù)矩陣AE的秩R(AE)1

所以當(dāng)x1時(shí)

R(AE)1此時(shí)矩陣A能對(duì)角化

因?yàn)榻Y(jié)束

例6設(shè)1和2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量依次為p1和p2證明p1p2不是A的特征向量

用反證法假設(shè)p1p2是A的特征向量則應(yīng)存在數(shù)使A(p1p2)(p1p2)于是

證明

按題設(shè)有Ap11p1

Ap22p2故A(p1p2)1p12p2即(1)p1(2)p20(p1p2)1p12p2因此p1p2不是A的特征向量與題設(shè)矛盾即12

120故由上式得按定理2知p1

p2線性無(wú)關(guān)因?yàn)?2結(jié)束§5.4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化一個(gè)n階方陣可以對(duì)角化的充分必要條件是具有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量而并非所有n階方陣都能對(duì)角化但實(shí)對(duì)稱矩陣都是可以對(duì)角化的

上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)定理1

對(duì)稱陣的特征值為實(shí)數(shù)

設(shè)復(fù)數(shù)為對(duì)稱陣A的特征值復(fù)向量x為對(duì)應(yīng)的特征向量即Axx

x0

證明

顯然有于是有兩式相減得但因x0所以下頁(yè)定理1

對(duì)稱陣的特征值為實(shí)數(shù)

顯然當(dāng)特征值i為實(shí)數(shù)時(shí)齊次線性方程組(AiE)x0是實(shí)系數(shù)方程組由|AiE|0知必有實(shí)的基礎(chǔ)解系所以對(duì)應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量

下頁(yè)定理1

對(duì)稱陣的特征值為實(shí)數(shù)

定理2設(shè)1

2是對(duì)稱陣A的兩個(gè)特征值

p1

p2是對(duì)應(yīng)的特征向量若12是則p1與p2正交

證明

已知Ap11p1

Ap22p2

12

因?yàn)锳對(duì)稱故p1TAp1TAT(Ap1)T(1p1)T

1p1T于是1p1Tp2p1TAp2p1T(2p2)2p1Tp2

即(12)p1Tp20但12即p1與p2正交故p1Tp20下頁(yè)定理1

對(duì)稱陣的特征值為實(shí)數(shù)

定理2設(shè)1

2是對(duì)稱陣A的兩個(gè)特征值

p1

p2是對(duì)應(yīng)的特征向量若12是則p1與p2正交

定理3

設(shè)A為n階對(duì)稱陣則必有正交陣P

使P1APPTAP

其中是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角矩陣

推論設(shè)A為n階對(duì)稱陣

是A的特征方程的k重根則矩陣AE的秩R(AE)nk

從而對(duì)應(yīng)特征值恰有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

>>>

下頁(yè)矩陣對(duì)角化的步驟

(1)求出A的全部互不相等的特征值1

2

s

它們的重?cái)?shù)依次為k1

k2

ks(k1k2

ksn)

(2)對(duì)每個(gè)ki重特征值i

求方程(AE)x0的基礎(chǔ)解系得ki個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量再把它們正交化、單位化得ki個(gè)兩兩正交的單位特征向量因k1k2

ksn

故總共可得n個(gè)兩兩正交的單位特征向量

(3)把這n個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣P

便有P1APPTAP

注意中對(duì)角元的排列次序應(yīng)與P中列向量的排列次序相對(duì)應(yīng)

下頁(yè)

例1設(shè)求正交陣P使P1AP為對(duì)角陣

解

由|AE|(1)2(2)將1單位化得2(110)T

3(101)T將2

3正交化、單位化得得特征值12

231

得基礎(chǔ)解系1(1

11)T對(duì)應(yīng)12解方程(A2E)x0對(duì)應(yīng)231解方程(AE)x0得基礎(chǔ)解系并且P1APdiag(211)

于是P(p1

p2

p3)為正交陣下頁(yè)提示

例2設(shè)求An

因?yàn)锳對(duì)稱故A可對(duì)角化即有可逆向量P及對(duì)角陣

解

從而AnPnP1

于是APP1使P1AP因?yàn)閨AE|(1)(3)對(duì)應(yīng)11解方程(AE)x0對(duì)應(yīng)13解方程(A3E)x0于是有可逆矩陣P(p1

p2)及diag(13)使P1AP從而或APP1AnPnP1

所以A的特征值為11

23

得p1(11)T

得p2(1

1)T下頁(yè)提示

例2設(shè)求An

解

因?yàn)閨AE|(1)(3)對(duì)應(yīng)11解方程(AE)x0對(duì)應(yīng)13解方程(A3E)x0P1AP從而或APP1AnPnP1

所以A的特征值為11

23

得p1(11)T

得p2(1

1)T于是有可逆矩陣P(p1

p2)及diag(13)使結(jié)束§5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形在解析幾何中為了便于研究二次曲線ax2bxycy21的幾何性質(zhì)我們可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)變換把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形mx2ny21化標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程就是通過(guò)變量的線性變換化簡(jiǎn)一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式使它只含有平方項(xiàng)

上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)二次型含有n個(gè)變量x1

x2

xn的二次齊次函數(shù)

f(x1

x2

xn)a11x12a22x22

annxn2

2a12x1x22a13x1x3

2an1

nxn1xn

稱為二次型

令aijaji則>>>

因此二次型可記作fxTAx其中A是一個(gè)對(duì)稱矩陣

二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系

對(duì)稱矩陣A叫做二次型f的矩陣

f也叫做對(duì)稱矩陣A的二次型對(duì)稱矩陣的秩就叫做二次型f的秩

下頁(yè)注

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形xCy

如果二次型的標(biāo)準(zhǔn)形形如fy12y22

yp2yp12

yn2

則這種標(biāo)準(zhǔn)形稱為二次型的規(guī)范形

這種只含平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(或法式)

對(duì)于二次型我們討論的主要問(wèn)題是尋求可逆的線性變換xCy使二次型只含平方項(xiàng)fk1y12k2y22

knyn2

下頁(yè)二次型fxTAx在線性變換xCy下有若有可逆矩陣C使BCTAC則稱矩陣A與B合同

合同矩陣yT(CTAC)y(Cy)TA(Cy)fxTAx提示顯然若A為對(duì)稱陣則BCTAC也為對(duì)稱陣且R(B)R(A)事實(shí)上

BT(CTAC)TCTATCCTACB即B為對(duì)稱陣又因?yàn)锽CTAC而C可逆從而CT也可逆由矩陣秩的性質(zhì)即知R(B)R(A)

由此可知經(jīng)可逆變換xCy后二次型f的矩陣由A變?yōu)榕cA合同的矩陣CTAC且二次型的秩不變

下頁(yè)分析要使二次型f經(jīng)可逆變換xCy變成標(biāo)準(zhǔn)形這就是要使

yT(CTAC)yk1y12k2y22

knyn2也就是要使CTAC成為對(duì)角陣因此我們的主要問(wèn)題就是對(duì)于對(duì)稱陣A尋求可逆矩陣C使CTAC為對(duì)角陣

根據(jù)上節(jié)的知識(shí)任給對(duì)稱陣A總有正交陣P使P1AP即PTAP下頁(yè)定理1任給二次型fxTAx

總有正交變換xPy

使f化為標(biāo)準(zhǔn)形fk1y12k2y22

knyn2其中1

2

n是f的矩陣A的特征值

推論任給n元二次型fxTAx

總有可逆變換xCz

使f(Cy)為規(guī)范形

>>>

下頁(yè)

例1求一個(gè)正交變換xPy把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中f(x1

x2

x3

x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4二次型的矩陣為

解提示

矩陣A的特征多項(xiàng)式為(3)(1)3

矩陣A的特征值為13

2341

下頁(yè)

例1求一個(gè)正交變換xPy把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中f(x1

x2

x3

x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4二次型的矩陣為

解提示

矩陣A的特征值為13

2341

對(duì)于13解方程(A3E)x0單位化即得得基礎(chǔ)解系1(1

1

11)T

下頁(yè)

例1求一個(gè)正交變換xPy把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中f(x1

x2

x3

x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4二次型的矩陣為矩陣A的特征值為13

2341

矩陣A的對(duì)應(yīng)于13的單位化特征向量為對(duì)于2,3,41解方程(AE)x02(1100)T

3(0011)T

4(1

11

1)T

單位化即得

解得正交的基礎(chǔ)解系>>>

下頁(yè)

例1求一個(gè)正交變換xPy把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中f(x1

x2

x3

x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4二次型的矩陣為矩陣A的特征值為13

2341

矩陣A的對(duì)應(yīng)于13的單位化特征向量為矩陣A的對(duì)應(yīng)于2341的正交的單位化的特征向量為令P(p1

p2

p3

p4)則有正交變換xPy使

f(Py)yTPTAPy3y12y22y32y42

解>>>

結(jié)束§5.6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點(diǎn)如果不限于用正交變換那么還可以有多種方法(對(duì)應(yīng)有多個(gè)可逆的線性變換)把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形本節(jié)只介紹拉格朗日配方法上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示

例1化二次型f為標(biāo)準(zhǔn)形并求所用的變換矩陣其中fx122x225x322x1x22x1x36x2x3配方可得

fx122x1x22x1x32x225x326x2x3

解

(x1x2x3)2(x22x3)2

(x1x2x3)2(x1x2x3)2x224x2x34x32x22x322x2x3由于f中含變換x1的平方項(xiàng)故把含x1的項(xiàng)歸并起來(lái)2x225x326x2x3下頁(yè)

例1化二次型f為標(biāo)準(zhǔn)形并求所用的變換矩陣其中fx122x225x322x1x22x1x36x2x3配方可得

fx122x1x22x1x32x225x326x2x3

解

就把f化成標(biāo)準(zhǔn)形(規(guī)范形)fy12y22(x1x2x3)2(x22x3)2

所用變換矩陣為下頁(yè)>>>>>>提示

例2化二次型f為規(guī)范形并求所用的變換矩陣其中f2x1x22x1x36x2x3在f中不含平方項(xiàng)而在標(biāo)準(zhǔn)形中只含平方項(xiàng)

令x1y1y2

x2y