導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念第一頁，共六十頁，2022年，8月28日一、引言典型背景示例[例]自由落體在某時刻的瞬時速度

第二次數(shù)學(xué)危機發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀。第一次數(shù)學(xué)危機是由畢達哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機則是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對牛頓“無窮小量”說法的質(zhì)疑引起的。第二頁，共六十頁，2022年，8月28日

1．危機的引發(fā)

1）牛頓的“無窮小”牛頓的微積分是一項劃時代的科學(xué)成就，蘊含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。我們來看一個例子。微積分的一個來源，是想求運動物體在某一時刻的瞬時速度。在牛頓之前，只能求一段時間內(nèi)的平均速度，無法求某一時刻的瞬時速度。第三頁，共六十頁，2022年，8月28日

例如，設(shè)自由落體在時間下落的距離為，有公式，其中是固定的重力加速度。我們要求物體在的瞬時速度，先求?！啵?）第四頁，共六十頁，2022年，8月28日第五頁，共六十頁，2022年，8月28日

當(dāng)變成無窮小時，右端的也變成無窮小，因而上式右端就可以認為是，這就是物體在時的瞬時速度，它是兩個無窮小之比。牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題。但是邏輯上不嚴格，遭到責(zé)難。第六頁，共六十頁，2022年，8月28日

2）貝克萊的發(fā)難英國的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。貝克萊問道：“無窮小”作為一個量，究竟是不是0？第七頁，共六十頁，2022年，8月28日

如果是0，上式左端當(dāng)成無窮小后分母為0，就沒有意義了。如果不是0，上式右端的就不能任意去掉。

在推出上式時，假定了才能做除法，所以上式的成立是以為前提的。那么，為什么又可以讓而求得瞬時速度呢？

因此，牛頓的這一套運算方法，就如同從出發(fā)，兩端同除以0，得出5=3一樣的荒謬。（*）第八頁，共六十頁，2022年，8月28日

貝克萊還諷刺挖苦說：既然和都變成“無窮小”了，而無窮小作為一個量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。這就是著名的“貝克萊悖論”。對牛頓微積分的這一責(zé)難并不是由數(shù)學(xué)家提出的，但是第九頁，共六十頁，2022年，8月28日貝克萊的質(zhì)問是擊中要害的數(shù)學(xué)家在將近200年的時間里，不能徹底反駁貝克萊的責(zé)難。直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了貝克萊的責(zé)難。直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“

”語言，才徹底地反駁了貝克萊的責(zé)難。第十頁，共六十頁，2022年，8月28日3）實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)承認，貝克萊的責(zé)難是有道理的?！盁o窮小”的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎(chǔ)。牛頓和當(dāng)時的其它數(shù)學(xué)家并不能在邏輯上嚴格說清“無窮小”的方法。數(shù)學(xué)家們相信它，只是由于它使用起來方便有效，并且得出的結(jié)果總是對的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們不大相信貝克萊的指責(zé)。這表明，在大多數(shù)人的腦海里，“實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)?！钡谑豁?，共六十頁，2022年，8月28日

危機的實質(zhì)

應(yīng)該說，第二次數(shù)學(xué)危機的實質(zhì)是極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。第十二頁，共六十頁，2022年，8月28日

其實，在牛頓把瞬時速度說成“物體所走的無窮小距離與所用的無窮小時間之比”的時候，這種說法本身就是不明確的，是含糊的。當(dāng)然，牛頓也曾在他的著作中說明，所謂“最終的比”，就是分子、分母要成為0還不是0時的比——例如（*）式中的gt，它不是“最終的量的比”，而是“比所趨近的極限”。他這里雖然提出和使用了“極限”這個詞，但并沒有明確說清這個詞的意思。第十三頁，共六十頁，2022年，8月28日

德國的萊布尼茨雖然也同時發(fā)明了微積分，但是也沒有明確給出極限的定義。正因為如此，此后近二百年間的數(shù)學(xué)家，都不能滿意地解釋貝克萊提出的悖論。所以，由“無窮小”引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機，實質(zhì)上是缺少嚴密的極限概念和極限理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)。第十四頁，共六十頁，2022年，8月28日牛頓萊布尼茨第十五頁，共六十頁，2022年，8月28日2．危機的解決

1）必要性微積分雖然在發(fā)展，但微積分邏輯基礎(chǔ)上存在的問題是那樣明顯，這畢竟是數(shù)學(xué)家的一塊心病。第十六頁，共六十頁，2022年，8月28日

而且，隨著時間的推移，研究范圍的擴大，類似的悖論日益增多。數(shù)學(xué)家在研究無窮級數(shù)的時候，做出許多錯誤的證明，并由此得到許多錯誤的結(jié)論。由于沒有嚴格的極限理論作為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)家們在有限與無限之間任意通行（不考慮無窮級數(shù)收斂的問題）。

第十七頁，共六十頁，2022年，8月28日

因此，進入19世紀時，一方面微積分取得的成就超出人們的預(yù)料，另一方面，大量的數(shù)學(xué)理論沒有正確、牢固的邏輯基礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)結(jié)論是正確無誤的。

歷史要求為微積分學(xué)說奠基。第十八頁，共六十頁，2022年，8月28日2）嚴格的極限理論的建立到19世紀，一批杰出數(shù)學(xué)家辛勤、天才的工作，終于逐步建立了嚴格的極限理論，并把它作為微積分的基礎(chǔ)。應(yīng)該指出，嚴格的極限理論的建立是逐步的、漫長的。第十九頁，共六十頁，2022年，8月28日①在18世紀時，人們已經(jīng)建立了極限理論，但那是初步的、粗糙的。②達朗貝爾（法）在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。③19世紀初，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾開始將嚴格的論證引入數(shù)學(xué)分析，他寫的《無窮的悖論》一書中包含許多真知灼見。第二十頁，共六十頁，2022年，8月28日④而做出決定性工作、可稱為分析學(xué)的奠基人的是法國數(shù)學(xué)家柯西（A.L.Cauchy,1789—1857）。他在1821—1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時代的著作。他對極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無窮級數(shù)的收斂性，已與我們現(xiàn)在教科書上的差不太多了。第二十一頁，共六十頁，2022年，8月28日柯西波爾查諾第二十二頁，共六十頁，2022年，8月28日3）嚴格的實數(shù)理論的建立

①對以往理論的再認識后來的一些發(fā)現(xiàn)，使人們認識到，極限理論的進一步嚴格化，需要實數(shù)理論的嚴格化。微積分或者說數(shù)學(xué)分析，是在實數(shù)范圍內(nèi)研究的。但是，下邊兩件事，表明極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對實數(shù)系的依賴比人們想象的要深奧得多。第二十三頁，共六十頁，2022年，8月28日

一件事是，1874年德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（，1815—1897）構(gòu)造了一個“點點連續(xù)而點點不可導(dǎo)的函數(shù)”。

“連續(xù)函數(shù)”在直觀上是“函數(shù)曲線沒有間斷，連在一起”，而“函數(shù)在一點可導(dǎo)”直觀上是“函數(shù)曲線在該點有切線”。所以，在直觀上“連續(xù)”與“可導(dǎo)”有密切的聯(lián)系。這之前甚至有人還證明過：函數(shù)在連續(xù)點上都可導(dǎo)（當(dāng)然是錯誤的）。因此根本不可想象，還會有“點點連續(xù)而點點不可導(dǎo)的函數(shù)”。

第二十四頁，共六十頁，2022年，8月28日

魏爾斯特拉斯(1815～1897)

德意志帝國數(shù)學(xué)家。1815年10月31日生于威斯特法倫州的奧斯滕費爾德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律和財政。1838年轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)。1842～1856年，先后在幾所中學(xué)任教。1854年3月31日獲得柯尼斯堡大學(xué)名譽博士學(xué)位。1856年10月受聘為柏林大學(xué)助理教授，同年成為柏林科學(xué)院成員，1864年升為教授。第二十五頁，共六十頁，2022年，8月28日

魏爾斯特拉斯關(guān)于

“點點連續(xù)而點點不可導(dǎo)的函數(shù)”的例子是

其中是奇數(shù)，，。第二十六頁，共六十頁，2022年，8月28日

另一件事是德國數(shù)學(xué)家黎曼（B.Riemann，1826—1866）發(fā)現(xiàn)，柯西把定積分限制于連續(xù)函數(shù)是沒有必要的。黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。黎曼還造出一個函數(shù)，當(dāng)自變量取無理數(shù)時它是連續(xù)的，當(dāng)自變量取有理數(shù)時它是不連續(xù)的。（x為無理數(shù)時y=0；x=q/p既約時y=1/p

）第二十七頁，共六十頁，2022年，8月28日

黎曼

1826年9月17日，黎曼生于德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他六歲開始上學(xué)，14歲進入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)，19歲按其父親的意愿進入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)，1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學(xué)生。1849年重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位，成為高斯晚年的學(xué)生。

第二十八頁，共六十頁，2022年，8月28日

這些例子使數(shù)學(xué)家們越來越明白，在為分析建立一個完善的基礎(chǔ)方面，還需要再前進一步：即需要理解和闡明實數(shù)系的更深刻的性質(zhì)。第二十九頁，共六十頁，2022年，8月28日

②魏爾斯特拉斯的貢獻

德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（KarlWeierstrass，1815—1897）的努力，終于使分析學(xué)從完全依靠運動學(xué)、直觀理解和幾何概念中解放出來。他的成功產(chǎn)生了深遠的影響，主要表現(xiàn)在兩方面，一方面是建立了實數(shù)系，另一方面是創(chuàng)造了精確的“”語言。第三十頁，共六十頁，2022年，8月28日

“

”語言的成功，表現(xiàn)在：這一語言給出極限的準(zhǔn)確描述，消除了歷史上各種模糊的用語，諸如“最終比”、“無限地趨近于”，等等。這樣一來，分析中的所有基本概念都可以通過實數(shù)和它們的基本運算和關(guān)系精確地表述出來。第三十一頁，共六十頁，2022年，8月28日4）極限的“

”定義及“貝克萊悖論”的消除

①極限的“

”定義第三十二頁，共六十頁，2022年，8月28日

危機的消解“

”語言的成功，表現(xiàn)在：這一語言給出極限的準(zhǔn)確描述，消除了歷史上各種模糊的用語，諸如“最終比”、“無限地趨近于”，等等。這樣一來，分析中的所有基本概念都可以通過實數(shù)和它們的基本運算和關(guān)系精確地表述出來。第三十三頁，共六十頁，2022年，8月28日

定義：設(shè)函數(shù)在的附近都有定義，如果有一個確定的實數(shù)都，使當(dāng)時，有我們就說“函數(shù)在趨近于時，有極限”。

記為。

第三十四頁，共六十頁，2022年，8月28日

由極限的這個“”定義，可以求出一些基本的極限，并嚴格地建立一整套豐富的極限理論。簡單說，例如有

兩個相等的函數(shù)，取極限后仍相等；兩個函數(shù)，和的極限等于極限的和。等等。第三十五頁，共六十頁，2022年，8月28日

②“貝克萊悖論”的消除

回到牛頓的（*）式上：（*）這是在（即）條件下，得到的等式；它表明時間內(nèi)物體的平均速度為。（*）式等號兩邊都是的函數(shù)。然后，我們把物體在時刻的瞬時速度定義為：上述平均速度當(dāng)趨于0時的極限，即物體在時刻的瞬時速度=。第三十六頁，共六十頁，2022年，8月28日

下邊我們對（*）式的等號兩邊同時取極限，根據(jù)“兩個相等的函數(shù)取極限后仍相等”，得瞬時速度=再根據(jù)“兩個函數(shù)和的極限等于極限的和”，得然后再求極限得

瞬時速度第三十七頁，共六十頁，2022年，8月28日

上述過程所得結(jié)論與牛頓原先的結(jié)論是一樣的，但每一步都有了嚴格的邏輯基礎(chǔ)?！柏惪巳R悖論”的焦點“無窮小量是不是0？”，在這里給出了明確的回答：。這里也沒有“最終比”或“無限趨近于”那樣含糊不清的說法。第三十八頁，共六十頁，2022年，8月28日

總之，第二次數(shù)學(xué)危機的核心是微積分的基礎(chǔ)不穩(wěn)固?？挛鞯呢暙I在于，將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)。魏爾斯特拉斯的貢獻在于，邏輯地構(gòu)造了實數(shù)系，建立了嚴格的實數(shù)理論，使之成為極限理論的基礎(chǔ)。所以，建立微積分基礎(chǔ)的“邏輯順序”是：實數(shù)理論—極限理論—微積分。

而“歷史順序”則正好相反。第三十九頁，共六十頁，2022年，8月28日知識的邏輯順序與歷史順序有時是不同的.第四十頁，共六十頁，2022年，8月28日第一節(jié)、導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)定義：第四十一頁，共六十頁，2022年，8月28日