正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系【高效課堂精創(chuàng)】 九年級數(shù)學(xué)下冊 教學(xué)課件

正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解正多邊形的有關(guān)概念.2.理解并掌握正多邊形與圓的關(guān)系.24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系新課導(dǎo)入

下圖的這些圖案，都是我們在日常生活中經(jīng)常能看到的.你能從這些圖案中找出類似的圖形嗎?24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系講授新課正多邊形的概念及相關(guān)計算問題1

觀察下面多邊形，它們的邊、角有什么特點？各邊相等，各角也相等.24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形各邊相等各角相等缺一不可知識歸納24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系問題2

n邊形的內(nèi)角和為多少？正n邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)如何計算？正n邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為n邊形的內(nèi)角和公式(n－2)·180°24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系問題3

n邊形的外角和為多少？已知正n邊形的內(nèi)角為a度，如何求n的值？n邊形的外角和為360°正n邊形的內(nèi)角為a度，則它的外角為(180-a)度.故24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系例1已知一個正多邊形有一個內(nèi)角是150°，那么它是正幾邊形？由正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)求其邊數(shù)，可以用n

邊形的內(nèi)角和公式(n－2)·180°＝150°n，求出n的值；也可以先求每個外角的度數(shù)為30°，再求

邊數(shù)．分析：24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系方法一：∵n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°，∴此正多邊形內(nèi)角和為150°n＝(n－2)·180°，

解得n＝12.∴此多邊形為正十二邊形．方法二：∵正多邊形的每個內(nèi)角相等，則每個外角也相等，∴每個外角為180°－150°＝30°.又∵多邊形的外角和是360°，∴360°÷30°＝12，即此多邊形為正十二邊形．解：24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系例2

如圖，點G，H分別是正六邊形ABCDEF的邊BC，CD上的點，且BG=CH，AG交BH于點P．（1）求證：△ABG≌△BCH；（1）證明：∵在正六邊形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°.∵BG=CH，∴△ABG≌△BCH.（2）求∠APH的度數(shù)．（2）解：由（1）知，△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠CBH∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系正多邊形與圓的關(guān)系問題

如圖，把☉O進(jìn)行5等分,依次連接各等分點得到五邊形ABCDE

.分別過點A，B，C，D，E作☉O的切線，切線交于點P，Q，R，S，T，依次連接各交點，得到五邊形PQRST.五邊形ABCDE及五邊形PQRST是正多邊形嗎？·AOEDCBPQRST24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系·AOEDCB探究1

五邊形ABCDE是正五邊形嗎？簡單說說理由.①②AB____BC____CD____DE____AE.＝＝＝＝＝＝＝＝④∠A___∠B___∠C___∠D___∠E.＝＝＝＝③＝＝＝＝∵頂點A，B，C，D，E都在☉O上，∴五邊形ABCDE是☉O的內(nèi)接正五邊形.24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系

把圓分成n（n＞2）等份，依次連接各分點所得的多邊形就是這個圓的一個內(nèi)接正n邊形.歸納總結(jié)24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系探究2

五邊形PQRST是正五邊形嗎？簡單說說理由.·AOEDCBPQRST五邊形ABCDE是☉O的內(nèi)接正五邊形.連接OA，OB，OC.則∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB，∵TP，PQ，QR分別是以點A，B，C為切點的☉O的切線，∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ，∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系又∵AB=BC，∴△PAB≌△QBC，∴∠P=∠Q，PQ=2PA.同理，得∠Q=∠R=∠S=∠T，QR=RS=ST=TP=2PA.∵五邊形PQRST的各邊與☉O相切，∴五邊形PQRST是☉O的外切正五邊形.·AOEDCBPQRST24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系

把圓分成n（n＞2）等份，依次連接過等分點作圓的切線，各切線相交所得的多邊形就是這個圓的一個外切正n邊形.歸納總結(jié)24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系由于同圓中相等的圓心角所對的弧相等，因此作相等的圓心角可以等分圓周，從而得到正多邊形．采用“先用量角器畫一個的圓心角，然后在圓上依次截取這個圓心角所對弧的等弧”．這種方法簡便，且可以畫任意正多邊形、誤差?。?.用量角器等分圓：圓內(nèi)接正多邊形的畫法24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系用尺規(guī)作圖的方法等分圓周，然后依次連接圓上各分點得到正多邊形，這種方法有局限性，不是任意正多邊形都能用此法作圖，這種方法從理論上講是一種準(zhǔn)確方法，但在作圖時較復(fù)雜，同樣存在作圖的誤差．作圖時易忽視累積誤差的影響，導(dǎo)致作圖不準(zhǔn)，應(yīng)減少累積誤差.2.用尺規(guī)等分圓：3.易錯警示：24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系例3

利用尺規(guī)作圖，作出已知圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形.解：內(nèi)接正方形的做法：（1）用直尺作圓的一條直徑AC；ACO（2）作與AC垂直的直徑BD；BD

（3）順次連接所得的圓上四點.

四邊形ABCD即為所求作的正方形.再逐次平分各邊所對的弧，就可以作出正八邊形、正十六邊形等.24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系O解：內(nèi)接正六方形的做法：（1）用直尺作圓的一條直徑AD；（2）以點A為圓心，OA為半徑作圓，與⊙O交于點B、F；

（4）順次連接所得的圓上六點.六邊形ABCDEF即為所求作的正六邊形.ADBF（3）以點D為圓心，OD為半徑作圓，與⊙O交與點C、E.CE方法歸納：用等分圓周的方法作正多邊形：①用量角器等分圓周；②用尺規(guī)等分圓周(特殊正n邊形).24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系例4

如圖，⊙O的內(nèi)接正方形ABCD，E為邊CD上一點，且DE=CE，延長BE交⊙O于F，連接FC，若正方形邊長為1，求弦FC的長．解：連接BD，如圖．在Rt△CBD中，∵∠DBE=∠FCE，∠CFE=∠BDE，∴△DEB∽△FEC.24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系當(dāng)堂練習(xí)2.如圖是一枚“八一”建軍節(jié)紀(jì)念章，其外輪廓是一個正五邊形，則圖中∠1的大小為_____.1.如果一個正多邊形的一個外角為30°，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（）A．6B．11C．12D．18C108°24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系3.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為4的圓，則B、E兩點間的距離為________.解析：連接BE、AE，如圖所示.∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BAF=∠AFE=120°，F(xiàn)A=FE，∴∠FAE=∠FEA=30°，∴∠BAE=90°，∴BE是正六邊形ABCDEF的外接圓的直徑，∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為4的圓，∴BE=8，即則B、E兩點間的距離為8.824.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系4.如圖，以正六邊形ABCDEF的邊AB為邊，在形內(nèi)作正方形ABMN，連接MC．求∠BCM的大小．解：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴∠ABC=120°，AB=BC．∵四邊形ABMN為正方形，∴∠ABM=90°，AB=BM．∴∠MBC=120°-90°=30°，BM=BC．∴∠BCM=∠BMC．∴∠BCM=75°．24.6.1正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系5.如圖，已知正五邊形ABCDE，AF∥CD交DB的延長線于點F，交DE的延長線于點G，求∠G的度數(shù)．∵ABCDE是正五邊形，∴∠C=∠CDE=108°CD=CB