《為什么要證明》參考課件1

7.1

為什么要證明

古人云：“耳聽為虛，眼見為實”。但眼見一定是真實的嗎？是靜還是動？能看到很多同心圓嗎~~其實里面沒有~~

線段AB和CD長度完全相等,雖然它們看起來相差很大!

平行線:不敢相信圖中的橫線是平行的,不過它們就是平行線!

你覺得觀察得到的結(jié)論正確嗎？實踐出真知！眼見未必為實！ab考考你的眼力

線段a與線段b哪個比較長？abcd

誰與線段d在一條直線上？ababcd檢驗?zāi)愕慕Y(jié)論a=b你的眼睛欺騙你了嗎？猜猜看

假如用一根比地球赤道長1米的鐵絲將地球赤道圍起來，那么鐵絲與赤道之間的間隙能有多大（把地球看成球形）？

能放進(jìn)一粒草莓嗎？

能放進(jìn)一個拳頭嗎？猜猜看

假如用一根比地球赤道長1米的鐵絲將地球赤道圍起來，那么鐵絲與赤道之間的間隙能有多大（把地球看成球形）？有理有據(jù)地推理解：設(shè)赤道的周長為C，則鐵絲與地球赤道的間隙為π-π+221CC費(fèi)馬大數(shù)學(xué)家也有失誤

對于所有自然數(shù)n，的值都是質(zhì)數(shù).當(dāng)n=0，1，2，3，4時，=3，5，17，257，65537都是質(zhì)數(shù)歐拉當(dāng)n=5時，=4294967297=641×6700417舉出反例是檢驗錯誤數(shù)學(xué)結(jié)論的有效方法.

這個故事告訴我們：1、學(xué)習(xí)歐拉的求實精神與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.2、沒有嚴(yán)格的推理，僅由若干特例歸納、猜測的結(jié)論可能潛藏著錯誤，未必正確.3、要證明一個結(jié)論是錯誤的，舉反例就是一種常用方法.尋找質(zhì)數(shù)

有人認(rèn)為，對于所有自然數(shù)n，代數(shù)式n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù).你怎么看待這個結(jié)論？例：做一做

當(dāng)n=0，1，2，3，4，5時，代數(shù)式n2-n+11的值是質(zhì)數(shù)還是和數(shù)？

對于所有自然數(shù)n，代數(shù)式n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù)嗎？解:結(jié)論錯誤.

當(dāng)n=6時

n2+3n+1=36+18+1=55∵55為合數(shù)∴當(dāng)n為正整數(shù)時，n2+3n+1的值一定是質(zhì)數(shù)錯誤.僅僅依靠經(jīng)驗、觀察或?qū)嶒炇遣粔虻?，必須一步一步、有根有?jù)地進(jìn)行推理.議一議實驗、觀察、歸納是人們認(rèn)識事物的重要手段.通過實驗、觀察、歸納得到的結(jié)論都正確嗎？總結(jié)1、實驗、觀察、歸納得到的結(jié)論不一定正確.因此，要判斷一個結(jié)論是否正確，僅靠實驗，觀察，歸納是不夠的，必須進(jìn)行有根有據(jù)的證明.2、檢驗一個數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確的常用方法：實驗驗證、舉出反例、推理.7.2定義與命題小明：不好了，不好了，我家電腦中毒了！小亮：急什么急，不就是中毒了嗎？很簡單就解決了！小明：什么辦法？小亮：用殺毒水??！我媽說了，一殺就靈！

中毒了?

電視機(jī)里正在播放精彩的乒乓球比賽，奶奶邊看比賽邊說：打得好！打得好！可惜播音員不識數(shù)……孫子聽了不解地問：人家咋不識數(shù)？奶奶說：明明兩個人在打球，他卻說單打，明明是四個人在打球，他卻說雙打，你說他識數(shù)不識數(shù)？

識數(shù)?

小華與小剛正在津津有味地閱讀

《我們愛科學(xué)》.“哈！這個黑客終于被逮住了”。黑客小剛說：

“可能是穿著黑色衣服的俠客!”小華說：“這黑客是小偷!”

定義?可見交流必須對某些名稱和術(shù)語有共同的認(rèn)識才能進(jìn)行，為此，就要對名稱和術(shù)語的含義加描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出他們的

。例如：1、“具有中華人民共和國國籍的人，叫做中華人民共和國公民”，是

的定義。2、“兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離”是

的定義。3、

是“等腰三角形”的定義。中華人民共和國公民定義兩點(diǎn)之間的距離有兩條邊相等的三角形是等腰三角形下圖表示某地的一個灌溉系統(tǒng).上面“如果……,那么……”都是對事情進(jìn)行判斷的語句.判斷一件事情的句子,叫做命題.如果B處水流受到污染,那么

處水流便受到污染;如果C處水流受到污染,那么

處水流便受到污染;如果D處水流受到污染,那么

處水流便受到污染;……ABCE·FH·GDKJ··IC,E,F,GEK做一做·······例如，下列句子都是命題(4)無論n為怎樣的自然數(shù)，式子n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù)；(2)任何一個三角形一定有直角；(1)熊貓沒有翅膀；(3)對頂角相等；反之,如果一個句子沒有對某一事情作出任何判斷,那么它就不是命題.例如,下列句子都不是命題:(1)你喜歡數(shù)學(xué)嗎?(2)作線段AB=CD.(5)如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.判斷一件事情的句子,叫做命題.1.下列句子中哪些是命題?(1)動物都需要水;(2)猴子是動物的一種;(3)玫瑰花是動物;(4)美麗的天空;(5)三個角對應(yīng)相等的兩個三角形一定全等;(6)負(fù)數(shù)都小于零;(7)你的作業(yè)做完了嗎?(8)所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù);(9)過直線外l一點(diǎn)作直線l的平行線;(10)如果a>b,a>c,那么b=c.是是是不是是是不是是不是是觀察下列命題,猜測這些命題的共同的結(jié)構(gòu)特征.與你的同伴交流(1)如果兩個三角形的三條邊對應(yīng)相等,那么這兩個三角形全等;(2)如果一個四邊形的一組對邊平行且相等,那么這個四邊形是平行四邊形;(3)如果一個三角形是等腰三角形,那么這個三角形的兩個底角相等;(4)如果一個四邊形的對角線相等,那么這個四邊形是矩形;(5)如果一個四邊形的兩條對角線互相垂直,那么這個四邊形是菱形.命題的結(jié)構(gòu)特征：命題都可以寫成“如果……那么……”的形式。

“如果……”是已知的事項即條件，“那么……”是由已知事項推斷出的結(jié)論。

每個命題都是有條件和結(jié)論兩部分組成。如“同角的余角相等”可以寫成如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等。1、下列命題的條件是什么？結(jié)論是什么？（1）如果兩個角相等，那么它們是對頂角；（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；（3）兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（4）菱形的四條邊都相等；（5）全等三角形的面積相等。解：（1）條件：兩個角相等，結(jié)論：它們是對頂角解：（2）條件：a＞b,b＞c

，結(jié)論：a=c解：（3）改寫：如果兩個三角形的兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。條件：兩個三角形的兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等結(jié)論：這兩個三角形全等解：（4）改寫：如果一個四邊形是菱形，那么這個四邊形的四條邊相等條件：一個四邊形是菱形，結(jié)論：這個四邊形的四條邊相等解：（5）改寫：如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的面積相等。條件：兩個三角形全等結(jié)論：這兩個三角形的面積相等例：將下列命題改成“如果…那么…”的形式①兩直線平行，同位角相等④互為相反數(shù)的兩數(shù)絕對值相等③平行于同一條直線的兩直線平行②對頂角相等④如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個數(shù)的絕對值相等③如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行②如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等解：①如果兩直線平行，那么同位角相等2、這幾個命題哪些是正確的？哪些不正確？你是怎么知道它們是不正確的？（1）如果兩個角相等，那么它們是對頂角；（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；（3）兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（4）菱形的四條邊都相等；（5）全等三角形的面積相等。不正確不正確正確正確正確正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題3、這幾個命題哪些是真命題？哪些是假命題？（1）如果兩個角相等，那么它們是對頂角；（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；（3）兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（4）菱形的四條邊都相等；（5）全等三角形的面積相等。假命題假命題真命題真命題真命題說明假命題的方法：舉反例使之具有命題的條件，而不具有命題的結(jié)論如何證實一個命題是真命題呢用我們以前學(xué)過的觀察,實驗,驗證特例等方法.這些方法往往并不可靠.能不能根據(jù)已經(jīng)知道的真命題證實呢?那已經(jīng)知道的真命題又是如何證實的?.哦……那可怎么辦想一想如何證實一個命題是真命題呢？

其實，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家們也遇到類似的問題，公元前3世紀(jì)，人們已經(jīng)積累了大量的數(shù)學(xué)知識，在此基礎(chǔ)上，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(公元前300前后)編寫一本書，書名叫《原本》，為了說明每一個結(jié)論的正確性，他在編寫這本書時進(jìn)行了大膽創(chuàng)造：挑選了一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實其他命題的起始依據(jù)，公認(rèn)的真命題稱為公理.某些數(shù)學(xué)名詞稱為原名.除了公理外,其它真命題的正確性都通過推理的方法證實.推理的過程稱為證明.經(jīng)過證明的真命題稱為定理.其中他的方法是：確定一些公認(rèn)的命題作為公理用推理的方法證實其它命題的正確性推理的過程叫證明經(jīng)過證明的真命題叫定理本教材的公理

等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)也作為公理1.兩點(diǎn)確定一條直線。2.兩點(diǎn)之間線段最短。3.同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．5.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.6.兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．7.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．8.三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看作公理在等式或不等式中,一個量可以用它的等量來代替.例如,如果,那么,這一性質(zhì)也看作公理,稱為“等量代換”.其它公理例已知:如圖7—5，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠AOC與∠BOD是對頂角。證明：∵直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O∴∠AOB和∠COD都是平角（平角定義）∴∠AOC和∠ＢOD都是∠ＡOD的補(bǔ)角（補(bǔ)角的定義）∴∠AOC=∠BOD（同角的補(bǔ)角相等）達(dá)標(biāo)檢測1、下列命題屬于定義的是（）A、兩點(diǎn)確定一條直線B、同角或等角的余角相等C、點(diǎn)到直線的距離是該點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度D、兩直線平行，內(nèi)錯角相等2、下列句子哪些是命題？哪些不是命題？（1）在三角形內(nèi)任取一點(diǎn)再作最短邊的平行線（）（2）四邊形都是正方形；（）（3）有限小數(shù)是有理數(shù)；（）（4）最大的負(fù)數(shù)不存在；（）（5）相反數(shù)等于它本身的實數(shù)只有零；（）（6）有三個角是直角的四邊形是長方形。（）（7）2010年世博會在上海舉辦。（）（8）今天天氣真好?。。ǎ痢罜

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√3、你能舉出一些命題嗎?（至少寫出兩個）4、把下列命題改寫成“如果……,那么……”的形式，并指出下列命題的條件是什么？結(jié)論是什么？(1)兩條直線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角互補(bǔ);[來(2)如果兩個三角形全等,那么它們對應(yīng)邊上的高也相等.（3）同角或等角的余角相等