指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象設(shè)計

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象教學(xué)設(shè)計【教學(xué)目標】1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，了解對底數(shù)的限制條件的合理性2.掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖像3.會應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域4.掌握指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合所得的函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法及單調(diào)性的判斷5.能借助指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小，會解簡單的指數(shù)方程、不等式【教學(xué)重點】1、通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念。2、能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點?！窘虒W(xué)難點】1、指數(shù)函數(shù)中底數(shù)的范圍分析，以及如何由圖像和解析式歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?！窘虒W(xué)過程】考古學(xué)家經(jīng)常利用碳14的含量來推斷古生物死亡的大致時間。當有機體生存時，會持續(xù)不斷地吸收碳14考古學(xué)家經(jīng)常利用碳14的含量來推斷古生物死亡的大致時間。當有機體生存時，會持續(xù)不斷地吸收碳14，從而其體內(nèi)的碳14含量會保持在一定的水平；但當有機體死亡后，就會停止吸收碳14，其體內(nèi)的碳14含量就會逐漸減少，而且每經(jīng)過大約5730年后會變?yōu)樵瓉淼囊话?。你能用函?shù)表示有機體內(nèi)的碳14含量與其死亡時間之間的關(guān)系嗎？一種死亡已經(jīng)一萬年的有機體，其體內(nèi)的碳14含量是其生存時的百分之多少？利用本小節(jié)我們要學(xué)習的指數(shù)函數(shù)知識，可以順利地解決情境中的問題?！緡L試與發(fā)現(xiàn)】假設(shè)有機體生存時碳假設(shè)有機體生存時碳14的含量為1，如果用y代表該有機體死亡x年后體內(nèi)碳14的含量，則x=5730時，y=；x=11460時，.由此可知，y與x的關(guān)系可以表示y=上述嘗試與發(fā)現(xiàn)的函數(shù)關(guān)系中，自變量出現(xiàn)在指數(shù)在中.指數(shù)函數(shù)一般地，函數(shù)y＝ax稱為指數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.（以下談到指數(shù)函數(shù)y＝ax時，均默認為a是常數(shù)，a>0且a≠1）下面來研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像.作為例子，我們首先分析指數(shù)函數(shù)y=2x的性質(zhì)，并得出其對應(yīng)的圖像.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】分別求出指數(shù)函數(shù)分別求出指數(shù)函數(shù)y=2x在自變量取-2，-1，－eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，1,2時所對應(yīng)的函數(shù)值（填寫下表），并由此猜測指數(shù)函數(shù)y=2x的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，嘗試說明理由.x-2-1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)12y=2x根據(jù)指數(shù)運算的定義，可以得到指數(shù)函數(shù)y=2x的性質(zhì)：（1）定義域是R；（2）值域是（0，+∞）；（3）奇偶性是非奇非偶函數(shù)；（4）單調(diào)性是增函數(shù).根據(jù)以上性質(zhì)可知，函數(shù)y=2x的圖像都在x軸上方，而且從左往右圖像是逐漸上升的.通過描點（如左下圖所示），可以作出y=2x的圖像，如右下圖所示.函數(shù)y=2x的單調(diào)性也可借助中練習B第3題的結(jié)論來理解。下面來研究指數(shù)函數(shù)y=的性質(zhì)與圖像.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】給出研究指數(shù)函數(shù)y=給出研究指數(shù)函數(shù)y=的性質(zhì)與圖像的方法，并用該方法得出這個函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域是R；（2）值城是（0，+∞）；（3）奇偶性是非奇非偶函數(shù)；（4）單調(diào)性是減函數(shù)然后在右圖中作出y=的圖像。注意到，因此不難看出y=和y=2x是有聯(lián)系的：當這兩個函數(shù)的自變量取互為相反數(shù)的兩個值時，對應(yīng)的函數(shù)值相等.也就是說，如果點（x0，y0）在y=的圖像上，那么這個點關(guān)于y軸的對稱點（-x0，y0）一定在y=2x的圖像上；反之，y=2x的圖像上任意一點（x0，y0），其關(guān)于y軸的對稱點（-x0，y0）也一定在y=的圖像上.因此，指數(shù)函數(shù)y=2x和的圖像關(guān)于y軸對稱，如下圖所示.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】（1（1）你能指出指數(shù)函數(shù)y=2x和y=的圖像的公共點嗎？（2）你能得出指數(shù)函數(shù)y=ax一定過哪個定點嗎？函數(shù)y=2x和的圖像的公共點為（0，1）.事實上，因為a0=1（a≠0），所以y=ax的圖像一定過點（0，1）.由以上實例，可以歸納出指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）具有下列性質(zhì)：定義域是實數(shù)集R..（2）值域是（0，+oo），因此，對任何實數(shù)x，都有ax>0，也就是說函數(shù)圖像一定在x軸的上方.（3）函數(shù)圖像一定過點（0，1）.（4）當a>1時，y=ax是增函數(shù)；當0<a<1時，y=ax是減函數(shù)?！鞠胍幌搿繛槭裁匆薅╝>0且a為什么要限定a>0且a≠1？【典型例題】例1利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個值的大?。海?）與（2）與+1.分析：每一組的兩個值都有共同特征，因此可以選取合適的函數(shù)，用函數(shù)的單調(diào)性來解決問題.解：（1）因為與都是以為底的冪值，所以考察函數(shù)y=，由于這個函數(shù)在實數(shù)集R上是減函數(shù)，又因為>，所以＜（2）因為與+1都是以為底的冪值，所以考察函數(shù)y=，由于這個函數(shù)在實數(shù)集R上是增函數(shù)，又因為a<a+1，所以＜+1例2已知實數(shù)a，b滿足，試判斷6a與6b的大小.解：因為函數(shù)在在實數(shù)集R上是減函數(shù)，所以由可知a＜b.又因為y=6x在實數(shù)集R上是增函數(shù)，所以6a＜6b二、用信息技術(shù)作指數(shù)函數(shù)的圖像在GeoGebra中，只要輸入指數(shù)函數(shù)的表達式，就可以得到對應(yīng)的圖像，如下圖所示是用GeoGebra作出的圖像，你能從中得出什么規(guī)律嗎？用GeoGebra也能方便地算出死亡已經(jīng)一萬年的有機體：其體內(nèi)的碳14含量是其生存時的百分之多少，即【教學(xué)反思】根據(jù)這一節(jié)課的內(nèi)容特點以及學(xué)生對指數(shù)冪的掌握情況，指數(shù)函數(shù)的圖像形成過程是學(xué)生缺乏感性認識的最重要的問題，因此，為解決這一問題，從最初始的函數(shù)圖