流體力學(劉鶴)

流體力學房長宇廣西科技大學土建學院2014年3月目錄第一章緒論第二章流體靜力學第三章流體運動學第四章流體動力學基礎第六章流動阻力和水頭損失第七章孔口、管嘴出流有壓管流一、課程的性質、目的與任務

《流體力學》是環(huán)境工程專業(yè)一門必修的專業(yè)基礎課。通過本課程的學習，使學生理解流體力學的基本概念和基本理論，學會流體力學計算基本方法，掌握水力實驗的基本操作技能，為學習后續(xù)專業(yè)課程和專業(yè)技術工作打下基礎。二、與其它課程的聯(lián)系學習本課程應具備《高等數(shù)學》、《大學物理》、《理論力學》的基礎；后續(xù)課程為《水處理工程》、《大氣污染控制工程》、《固體廢物處置》等。三、課程的特點1．精講與泛講相結合，對于一些重點、難點問題，如恒定流的能量方程、動量方程及其應用要精講，并配合習題課、例題、提問等形式使學生深入理解并熟練掌握；而對于一些非重、難點問題，如小橋孔徑的水力計算、堰流，在交代清楚基本公式的基礎上，讓學生進行小結自學。2．對基本理論的掌握與常見工程流體力學計算能力的要求并重。第一章緒論本章導讀§1.1流體力學及其任務§1.2作用在流體上的力§1.3流體的主要物理性質§1.4牛頓流體和非牛頓流體本章小節(jié)主要內(nèi)容本章導讀本章主要闡述了流體力學的概念與發(fā)展簡史；流體力學的概述與應用；流體力學課程的性質、目的、基本要求；流體力學的研究方法及流體的主要物理性質。流體的連續(xù)介質模型是流體力學的基礎，在此假設的基礎上引出了理想流體與實際流體、可壓縮流體與不可壓縮流體、牛頓流體與非牛頓流體概念?！?.1流體力學及其任務研究對象：流體⑴定義：所謂流體就是液體和氣體的合稱。

⑵基本特征是具有流動性。所謂流動性是指流體的微小切力作用下，連續(xù)變形的特性。只要切力存在，流動就持續(xù)進行。流動性是區(qū)別流體和固體的力學特征。2、連續(xù)介質模型1.問題的引出微觀：流體是由大量做無規(guī)則運動的分子組成的，分子之間存在空隙，在時間和空間上不連續(xù)，致使流體的物理量隨時間、空間的變化而變化。

宏觀：一般工程中，所研究液體的空間尺度要比分子距離大得多，即考慮宏觀特性，在流動空間和時間上所采用的一切特征尺度和特征時間都比分子距離和分子碰撞時間大得多。2.流體的連續(xù)介質假設a定義：不考慮分子間的間隙，把流體視為由無數(shù)連續(xù)分布的流體微團組成的連續(xù)介質。b液體微團必須具備的兩個條件：必須包含足夠多的分子；體積必須很小。３.采用流體連續(xù)介質假設的優(yōu)點a避免了流體分子運動的復雜性，只需研究流體的宏觀運動。b可以利用教學工具來研究流體的平衡與運動規(guī)律。理論研究方法、實驗研究方法、數(shù)值研究方法相互配合，互為補充1.理論研究方法力學模型→物理基本定律→求解數(shù)學方程→分析和揭示本質和規(guī)律理論方法中，引用的主要定律有：（1）質量守恒定律：（2）動量守恒定律：

（3）牛頓運動第二定律：（4）機械能轉化與守恒定律：動能+壓能+位能+能量損失=Const2.實驗研究方法相似理論→模型實驗裝置主要形式：原型觀測、系統(tǒng)實驗、模型試驗3.數(shù)值研究方法計算機數(shù)值方法是現(xiàn)代分析手段中發(fā)展最快的方法之一3、流體力學的研究方法§1.2作用在流體上的力作用在流體上的力表面力質量力定義：表面力：外界對所研究流體表面的作用力，直接作用在外表面，與表面積大小成正比。質量力：作用在所取流體體積內(nèi)每一質點上的力，其大小與質量成正比例，稱為質量力。表面力質量力§1.2作用在流體上的力§1.2作用在流體上的力應力：表面力在隔離體表面某一點的大?。龋┯脩肀硎尽＆ΔPΔTAΔAVτ法向應力pA周圍流體作用的表面力切向應力表面力具有傳遞性(例如某深度的壓強隨表面壓強增大而增大)

為上的平均壓應力為上的平均剪應力應力法向應力：

切向應力：

為A點的剪應力應力：為A點壓應力，即A點的壓強應力的單位是帕斯卡（pa），1pa=1N/㎡ΔFΔPΔTAΔAVτ法向應力pA周圍流體作用的表面力切向應力二、質量力質量力中最常見的有重力，慣性力，離心力（非慣性學）。質量力的大小由單位質量力來表示設均質流體的質量為m，所受的質量力為，則單位質量力單位為

單位質量力在各坐標軸的分量分別用X,Y,Z來表示單位質量力的單位：m/s2

，與加速度單位一致。若作用在流體上的質量力只有重力，則單位質量力

X=0，Y=0，負號表示質量力的方向與Z軸方向相反.其中§1.3流體的主要物理性質主要指：慣性、粘性、壓縮、膨脹性一流體的基本特征1.物質的三態(tài)

主要形式有：固體、液體和氣體。流體和固體的區(qū)別:

從力學分析，對外力抵抗能力不同。

a固體：既能承受壓力，也能承受拉力與抵抗拉伸變形。

b流體：只能承受壓力，一般不能承受拉力與抵抗拉伸變形。液體和氣體的區(qū)別：

(1)氣體易于壓縮；而液體難于壓縮；

(2)液體有一定的體積，存在一個自由液面；氣體能充滿任意形狀的容器，無一定的體積，不存在自由液面。

液體和氣體的共同點：

兩者均具有易流動性，即在任何微小切應力作用下都會發(fā)生變形或流動。二、慣性慣性是物體保持原有狀態(tài)的性質，凡改變物體的運動狀態(tài)，都必須克服慣性的作用。質量是物質的基本屬性之一，是物體慣性大小的量度，質量越大，慣性也越大。單位體積流體的質量稱為密度（density），以ρ表示，單位：kg/m3。對于均質流體，設其體積為V，質量m，則為密度對于非均質流體，密度隨點而異。若取包含某點在內(nèi)的體積，其中質量，則該點密度需要用極限方式表示常見的密度（在一個標準大氣壓下）：4℃時的水20℃時的空氣容重（重度）三、黏性1.黏性的表象上平板帶動粘附在板上的流層運動，而且能影響到內(nèi)部各流層運動，表明內(nèi)部各流層之間，存在著剪切力，即內(nèi)摩擦力，這就是粘性的表象。由此得出，黏性時流體的內(nèi)摩擦特性。2.牛頓內(nèi)摩擦定律a定義:牛頓內(nèi)摩擦定律：流體運動時，相鄰流層間所產(chǎn)生的切應力與剪切變形的速率成正比。即以應力表示τ—粘性切應力，是單位面積上的內(nèi)摩擦力。說明：1）流體的切應力與剪切變形速率，或角變形率成正比。

2）流體的切應力與動力粘度成正比。

3）對于平衡流體dr/dt=0，對于理想流體μ=0，所以均不產(chǎn)生切應力，即τ=0。b.速度梯度的物理意義由上圖可知：由右圖可知——速度梯度，剪切應變率（剪切變形速度）——剪應變率流體與固體在摩擦規(guī)律上完全不同的。udt(u+du)dtdudtdydθc粘度1）μ是比例系數(shù)，稱為動力黏度，單位“pa·s”。動力黏度是流體黏性大小的度量，μ值越大，流體越粘，流動性越差。2）ν是運動粘度：由于粘度μ和密度ρ都是液體的內(nèi)在屬性，在分析粘性流體運動規(guī)律時，μ和ρ經(jīng)常以比的形式出現(xiàn)，將其定義為流體的運動粘度ν。，單位：m2/s同加速度的單位說明：1）氣體的粘度不受壓強影響，液體的粘度受壓強影響也很小。

2）液體粘度隨溫度升高而減小，氣體的粘度隨溫度升高而增大。（見P7水的粘度和空氣的粘度）微觀機制：液體吸引力T↑

μ↓氣體熱運動T↑

μ↑動力粘度運動粘度d無黏性流體無粘性流體，是指無粘性即μ=0的液體。無粘性液體實際上是不存在的，它只是一種對物性簡化的力學模型。無粘性流體不考慮粘性，所以對流動的分析大為簡化，從而容易得出理論分析的結果。所得結果，對于某些粘性影響很小的流動，能夠較好地符合實際；對粘性影響不能忽略的流動，則可通過實驗加以修正，從而能比較容易地解決實際流動問題。例1-1.一底面積為40cm×45cm，高1cm的木塊，質量為5kg，沿著涂有潤滑油的斜面等速向下運動。已知速度v=1m/s，δ=1mm，求潤滑油的動力粘度系數(shù)。解：設木塊所受的摩擦力為T。∵木塊均勻下滑,∴T-Gsinα=0T=Gsinα=5×9.8×5/13=18.8N又有牛頓剪切公式μ=Tδ/(Av)=18.8×0.001/(0.40×0.45×1)=0.105Pa·S四、可壓縮性與熱膨脹性可壓縮性熱膨脹性四、可壓縮性與熱膨脹性

1.概念（1）可壓縮性：流體受壓，體積縮小，密度增大，除去外力后能恢復原狀的性質。

T一定，dp增大，dv減?。?）熱膨脹性：流體受熱，體積膨脹，密度減小，溫度下降后能恢復原狀的性質。

P一定，dT增大，dV增大2.液體的可壓縮性和熱膨脹性液體的壓縮系數(shù)к和體積彈性模量K液體的壓縮系數(shù)к表示為在一定的溫度下，壓強增加1個單位，體積的相對縮小率。即為在一定溫度下，體積的相對減小值與壓強增加值的比值。若液體的原體積為V，壓強增加dP后，體積變化為dV，則壓縮系數(shù)為：由于液體受壓體積減小，dP與dV異號，以使к為正值；其值愈大，愈容易壓縮。к的單位是“1/Pa”。根據(jù)增壓前后質量無變化得體積彈性模量K是壓縮系數(shù)的倒數(shù)，用K表示，單位是’Pa’例當水的壓強增加1個大氣壓時，水的密度增大約為多少？解，一般認為水的壓縮系數(shù)為定值，約為5×10-101/Pa。dP=1×105。dρ/ρ=5×10-5=1/20000（2）液體熱膨脹系數(shù)，它表示在一定的壓強下，溫度增加1度，體積的相對增加率。若液體的原體積為V，溫度增加dT后，體積增加dV，熱膨脹系數(shù)為單位為“1/K”或“1/℃”在一定壓強下，體積的變化速度與溫度成正比。從p9-10表1-5和表1-6可知，水的壓縮系數(shù)和熱膨脹系數(shù)都很小。例活塞加壓，缸體內(nèi)液體的壓強為0.1MPa時，體積為1000cm3，壓強為10MPa時，體積為995cm3。試求液體的體積彈性模量。3.氣體的可壓縮性和熱膨脹性氣體具有顯著的可壓縮性，一般情況下，常用氣體（如空氣、氮、氧、CO2等）的密度、壓強和溫度三者之間符合完全氣體狀態(tài)方程，即理想氣體狀態(tài)方程式中：P——氣體的絕對壓強（Pa）；

ρ——氣體的密度（Kg/cm3）；

T——氣體的熱力學溫度（K）；

R——氣體常數(shù)；在標準狀態(tài)下，，M為氣體的分子量，空氣的氣體常數(shù)R=287J/Kg．K。適用范圍：當氣體在很高的壓強，很低溫度下，或接近于液態(tài)時，其不再適用。4.流體的分類a根據(jù)流體受壓體積縮小的性質，流體可分為：

可壓縮流體（compressibleflow）：流體密度隨壓強變化不能忽略的流體(ρ≠Const)。

不可壓縮流體（incompressibleflow）：流體密度隨壓強變化很小，流體的密度可視為常數(shù)的流體(ρ=Const)。注：

(a)嚴格地說，不存在完全不可壓縮的流體。

(b)一般情況下的液體都可視為不可壓縮流體（發(fā)生水擊時除外）。

(c)對于氣體，當所受壓強變化相對較小時，可視為不可壓縮流體。

(d)管路中壓降較大時，應作為可壓縮流體。

b根據(jù)流體是否具有粘性，可分為：

實際流體：指具有粘度的流體，在運動時具有抵抗剪切變形的能力，即存在摩擦力，粘度μ≠0。

理想流體：是指既無粘性（μ=0）又完全不可壓縮(ρ=Const)流體，在運動時也不能抵抗剪切變形。例汽車上路時，輪胎內(nèi)空氣的溫度為20℃，絕對壓強為395KPa，行駛后輪胎內(nèi)空氣溫度上升到50℃，試求此時的壓強。解：在溫度由20℃增加到50℃的過程中，輪胎的體積變化很小，可以忽略，則此過程中ρ也是常數(shù)。由理想氣體狀態(tài)方程，，則本章小結1.流體力學的任務是研究流體的宏觀機械運動，提出了流體的易流動性概念，即流體在靜止時，不能抵抗剪切變形，在任何微小切應力作用下都會發(fā)生變形或流動。同時又引入了連續(xù)介質模型假設，把流體看成沒有空隙的連續(xù)介質，則流體中的一切物理量（如速度u和密度ρ）都可看作時空的連續(xù)函數(shù)，可采用函數(shù)理論作為分析工具。2.流體的壓縮性，一般可用體積壓縮率和體積模量來描述，通常情況下，壓強變化不大時，都可視為不可壓縮流體。3.粘滯性是流體的主要物理性質，它是流動流體抵抗剪切變形的一種性質，不同的流體粘滯性大小用動力粘度或運動粘度v來反映。其中溫度是粘度的影響因素：隨溫度升高，氣體粘度上升、液體粘度下降。4.牛頓內(nèi)摩擦定律表明流體的切應力大小與速度梯度或角變形率或剪切變形速率成正比，這是流體區(qū)別于固體（固體的切應力與剪切變形大小成正比）的一個重要特性。根據(jù)是否遵循牛頓內(nèi)摩擦定律，可將流體分為牛頓流體和非牛頓流體。謝謝！第二章流體靜力學§2-1靜止流體的靜壓強及其特性§2-2流體平衡微分方程§2-3重力場中流體靜壓強的分布規(guī)律§2-4流體的相對平衡§2-5液體作用在平面上的總壓力§2-6液體作用在曲面上的總壓力主要內(nèi)容流體靜力學著重研究流體在外力作用下處于平衡狀態(tài)的規(guī)律及其在工程實際中的應用。這里所指的靜止包括絕對靜止和相對靜止兩種。以地球作為慣性參考坐標系，當流體相對于慣性坐標系靜止時，稱流體處于絕對靜止狀態(tài)；當流體相對于非慣性參考坐標系靜止時，稱流體處于相對靜止狀態(tài)。流體處于靜止或相對靜止狀態(tài)，兩者都表現(xiàn)不出黏性作用，即切向應力都等于零。所以，流體靜力學中所得的結論，無論對實際流體還是理想流體都是適用的?！?-1靜止流體的靜壓強及其特性一、流體靜壓強流體壓力：是指流體內(nèi)部相鄰兩部分之間相互作用的力或指流體對固體壁面的作用力（或靜止流體對其接觸面上所作用的壓力）。其一般用符號P表示，單位是kN或Ｎ。１．流體靜壓強在靜止流體中任取一點M，圍繞M點取一微小面積ΔA，作用在該面積上的靜水壓力為ΔP，如圖2-１所示，則面積ΔA上的平均壓強為：

它反映了受壓面ΔA上流體靜壓強的平均值。２．點壓強如圖2-1所示，將面積ΔA圍繞M點無限縮小，當ΔA→0時，比值的極限稱為M點的靜水壓強，即二、流體靜壓強的特性１．流體靜壓強的方向與作用面相垂直，并指向作用面的內(nèi)法線方向。這一特性可由反證法給予證明：假設在靜止流體中，流體靜壓強方向不與作用面相垂直，而與作用面的切線方向成α角，如圖2-2所示。αpnptp切向壓強靜壓強法向壓強圖2-2２．作用于靜止流體中同一點的壓強的大小各向相等，與作用面的方向無關。那么靜壓強p可以分解成兩個分力即切向壓強pt和法向壓強pn。由于切向壓強是一個剪切力，由第一章可知，流體具有流動性，受任何微小剪切力作用都將連續(xù)變形，也就是說流體要流動，這與我們假設是靜止流體相矛盾。流體要保持靜止狀態(tài)，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面內(nèi)法線方向的壓強。證明：如圖2-3所示，在靜止流體中任取一微小四面體，其三個棱邊分別平行于X、Y、Z軸，長度分別為dx、dy、dz。三個垂直于X、Y、Z軸的面積分別為dAX、dAY、dAZ，斜面面積為dAN。因四面體是在靜止流體中取出的，它在各種外力作用下處于平衡狀態(tài)。pypxpzpn作用在ACD面上的流體靜壓強作用在ABC面上的流體靜壓強作用在BCD面上的靜壓強、作用在ABD面上的靜壓強圖2－3微元四面體受力分析①表面力：（只有各面上的垂直壓力即周圍液體的靜水壓力）②質量力：其質量為單位質量力在各方向上的分別為X、Y、Z，則質量力在各方向上的分量為

上述質量力和表面力在各坐標軸上的投影之和應分別等于零。即：以X方向為例：因為代入上式得：當四面體無限地縮小到0點時，上述方程中最后一項近于零，取極限得,即:同理：由此可見：，

上式說明，在靜止流體中，任一點流體靜壓強的大小與作用面的方位無關，但流體中不同點上的流體靜壓強可以不等，因此，流體靜壓強是空間坐標的標量函數(shù)，即：§2-2流體平衡微分方程一、流體平衡微分方程——歐拉平衡方程如圖所示，在平衡流體中取一微元六面體，邊長分別為dx，dy，dz，設中心點的壓強為p(x,y,z)=p，對其進行受力分析：根據(jù)平衡條件，在y方向有，即：流體平衡微分方程（即歐拉平衡方程）：

X、Y、Z——單位質量力在x、y、z軸方向的分量

單位質量流體所受的表面力在x、y、z軸方向上的分量2)公式適用條件：理想流體、實際流體；絕對、相對靜止；可壓縮與不可壓縮流體。壓強沿軸向的變化率（）等于軸向單位體積上的質量力的分量（ρX，ρY，ρZ）。1)物理意義：

處于平衡狀態(tài)的流體，單位質量流體所受的表面力分量與質量力分量彼此相等。說明：

二、平衡微分方程的綜合式對上式相加移項整理得：上式左邊為流體靜壓強p的全微分dp，則可表示為：上式左邊是一個全微分，右邊也是某一函數(shù)的全微分，令勢數(shù)為W（x，y，z.），則W的全微分為：

因而有:符合上式關系式的函數(shù)，稱為力的勢函數(shù)。具有勢函數(shù)的力稱為有勢的力（勢是隨空間位置而變化的函數(shù)，其數(shù)值與勢能有關）。結論：流體只有在有勢的質量力作用下才能保持平衡。質量力有勢是流體靜止的必要條件。（2-7）三、等壓面1、定義：同種連續(xù)靜止流體中，靜壓強相等的點組成的面。（p＝const）由

p＝const→dp＝0得2、方程：由上式3.

等壓面性質②作用在靜止流體中任一點的質量力必然垂直于通過該點的等壓面。則由空間解析幾何：單位質量力做的功應為③等壓面不能相交相交→一點有2個壓強值：錯誤①等壓面就是等勢面。因為證明：沿等壓面移動無窮小距離所以，質量力與等壓面相垂直。f④絕對靜止流體的等壓面是水平面X＝Y＝0，Z＝－g+性質②⑤兩種互不相混的靜止流體的分界面必為等壓面證明：在分界面上任取兩點A、B，兩點間勢差為dU，壓差為dp。因為它們同屬于兩種流體，設一種為ρ1，另一種為ρ2，則有:dp＝ρ1

dU

且dp＝ρ2

dU因為ρ1≠ρ2≠0所以只有當dp、dU均為零時，方程才成立。結論：同一種靜止相連通的流體的等壓面必是水平面（只有重力作用下）自由表面、不同流體的交界面都是等壓面。說明：等壓面可能是水平面、斜面、曲面、分界面?！?-3重力作用下水靜力學基本方程一、重力作用下液體靜力學基本方程

1.基本方程式的兩種表達式設重力作用下的靜止液體，選直角坐標系oxyz（圖2-5），自由液面位置高度為H，壓強為p0。液體中任一點的壓強，由式流體平衡微分方程的綜合式（2-7）重力作用下靜止液體質量力：，代入式（2-7）得(2-8)在自由液面上有：z=H時,p=p0

。代入(2-8)式有:

(2-9)

或以單位體積的重量ρg除以式2-8得：（2-10）式中：P—靜止液體內(nèi)部某點的壓強

P0—液體表面壓強，對于液面通大氣的開口容器，視為大氣壓強并以Pa表示

h—該點到液面的距離，稱淹沒深度

Z—該點在坐標平面以上的高度式（2-9）（2-10）以不同的形式表示重力作用下液體靜壓強的分布規(guī)律，均稱為液體靜力學基本方程式。P0P1P2Z1Z22、推論由液體靜力學基本方程或當

時，

(2-11)結論：1）僅在重力作用下，靜止流體中某一點的靜水壓強隨深度按線性規(guī)律增加。2）僅在重力作用下，靜止流體中某一點的靜水壓強等于表面壓強加上流體的容重與該點淹沒深度的乘積。3）自由表面下深度h相等的各點壓強均相等——只有重力作用下的同一連續(xù)連通的靜止流體的等壓面是水平面。4）推廣：已知某點的壓強和兩點間的深度差，即可求另外一點的壓強值。（2-12）二.氣體壓強分布1.按常密度計算由液體平衡微分方程的全微分式(2-7)，質量力只有重力，X=Y=0,Z=-g得（2-13）

按密度為常數(shù)，積分上式，得因氣體的密度ρ很小，對于一般的儀器設備，高度z有限，重力對氣體壓強的影響很小，可以忽略，故可以認為各點的壓強相等，即：

P=C（2-14）例如儲氣罐內(nèi)各點的壓強相等。2.大氣層壓強的分布以大氣層為研究對象，研究壓強的分布，必須考慮空氣的壓縮性。根據(jù)對大氣層的實測，從海平面到高程11km范圍內(nèi)，溫度隨高度上升而降低，約每升高1000m，溫度下降6.5K，這一層大氣稱為對流層。從11-15Km，溫度幾乎不變，恒為216.5K（-56.5℃），這一層為同溫層。（1）.對流層由式（2-13）密度ρ隨壓強和溫度變化，由完全氣體狀態(tài)方程求，代入上式，得

（2-15）

式中溫度T隨高程變化，T=T0-βz，T0為海平面上得熱力學溫度，β=0.0065K/m，于是得（2-16）將國際標準大氣條件：海平面（平均緯度45°）上，溫度T0=288K（15℃），pa=1.013×105N/m2,以及R=287J/(Kg·K)，β=0.0065K/m，代入上式，得到對流層標準大氣壓分布式中z的單位為“m”，0≤z≤11Km（2）同溫層同溫層的溫度Td=T0-βZd=288-0.0065×11000=216.5K同溫層最低處（Zd=11000m）的壓強，由式（2-16）算得Pd=22.6Kpa將以上條件代入式（2-15）積分，便可得到同溫層標準大氣壓分布式中z得單位為m，11000m≤z≤25000m。1、靜壓強的表示方法a.絕對壓強:（）以絕對真空狀態(tài)下的壓強（絕對零壓強）為基準計量的壓強，用表示，。工程大氣壓：1Pt＝98KN/mb．相對壓強:（）又稱“表壓強”，是以當?shù)卮髿鈮?at)為基準計量的壓強。用p表示，，p可“＋”可“–”，也可為“0”。c．真空：（）當流體中某點的絕對壓強小于大氣壓強時，則該點為真空，其相對壓強必為負值。三、壓強的表示方法和單位真空絕對壓強計示壓強絕對壓強圖2-8絕對壓強、計示壓強和真空之間的關系2、壓強的計量單位a．用單位面積上的力表示：應力單位為Pa，kN／m2。

1Pa＝1N／m2。b．用液柱高度表示:m(液柱)。c．用工程大氣壓Pat的倍數(shù)表示。1Pat＝98kPa如某點壓強為196kPa，則可表示為

1at相當于

四、測壓原理1、測壓管測壓管（pizometrictube）：是以液柱高度為表征測量點壓強的連通管。一端與被測點容器壁的孔口相連，另一端直接和大氣相通的直管。適用范圍：測壓管適用于測量較小的壓強，但不適合測真空。如圖右所示，由等壓面原理計算：

如果被測點A的壓強很小，為了提高測量精度，增大測壓管標尺讀數(shù)，常采用以下兩種方法：（1）將測壓管傾斜放置如圖右，此時標尺讀數(shù)為l，而壓強水頭為垂直高度h，則（2）在測壓管內(nèi)放置輕質而又和被測液體互不混摻的液體，重度，則有較大的h。2、水銀測壓計與U形測壓計適用范圍：用于測定管道或容器中某點流體壓強，通常被測點壓強較大。

右圖中，B—B為等壓面U型測壓計3、壓差計分類：空氣壓差計：用于測中、低壓差；

油壓差計：用于測很小的壓差；水銀壓差計：用于測高壓差。

適用范圍：測定液體中兩點的壓強差或測壓管水頭差。壓差計計算：如圖右若A、B中流體均為水，ρ2為水銀，，則4、金屬測壓計（壓力表）適用范圍：用于測定較大壓強,是自來水廠及管路系統(tǒng)最常用的測壓儀表。5、真空計（真空表）適用范圍：用于測量真空。Z真空表YZ壓力真空表

五、帕斯卡原理如圖右所示，設1點壓強p1若增減△p1

，則2點p2將相應有增減量△p1

。證明：由水靜力學方程故因這表明，在靜止液體中任一點壓強的增減，必將引起其他各點壓強的等值增減。這就是熟知的帕斯卡原理。它由法國物理學家帕斯卡(B1ailePascal，1623年一1662年)大約在1647年—1654年間提出。此原理已在水壓機、水力起重機及液壓傳動裝置等設計中得到廣泛應用。例如圖所示，A1，A2分別為水壓機的大小活塞。彼此連通的活塞缸中充滿液體，若忽略活塞重量及其與活塞缸壁的摩擦影響，當小活塞加力P1時，求大活塞所產(chǎn)生的力P2。解：由Pl得小活塞面積A1上的靜水壓強p1＝P1/A1，按帕斯卡原理，p1將等值傳遞到A2上，則因可見，利用的斯卡原理，水壓機可以小力獲得較大的力。故六、測壓管水頭重力作用下靜水壓強的分布規(guī)律，如圖右所示。由重力作用下的靜水力學基本方程或:

a.位置水頭z：任一點在基準面0-0以上的高度（幾何意義）表示單位重量流體從某一基準面算起所具有的重力勢能（物理意義）b.測壓管高度p/ρg：液體在壓強作用下沿測壓管上升的高度（幾何意義）表示單位重量流體從壓強為大氣壓算起所具有的壓強勢能，簡稱壓能（壓強水頭）。（物理意義）

c.測壓管水頭（z+p/ρ

g）：測壓管平面相對于基準面的高度（幾何意義）單位重量流體的總勢能。（物理意義）

1.各項意義d.（z+p/ρ

g=C）:同一容器的靜止液體中，所有各點的測壓管水頭均相等，測壓管水頭線是水平線。（幾何意義）僅受重力作用處于靜止狀態(tài)的液體中，各點單位重量液體所具有的總勢能相等。（物理意義）如圖下所示，，下述兩個靜力學方程哪個正確？A.B.例1設如圖2-13所示，hv=2m時，求封閉容器A中的真空值。

解：設封閉容器內(nèi)的絕對壓強為pabs，真空值為pv

。則：

根據(jù)真空值定義：例2：一密封水箱如圖所示，若水面上的相對壓強p0=-44.5kN/m2，求：

（1）h值；（2）求水下0.3m處M點的壓強，要求分別用絕對壓強、相對壓強、真空度,用水柱高及大氣壓表示；（3）M點相對于基準面O—O的測壓管水頭。解

（1）求h值列等壓面1-1，pN

=pa。以相對壓強計算，（2）求pM

用相對壓強表示：PM=-41.56/98=-0.424大氣壓（一個大氣壓=98kN/m2

）用絕對壓強表示：用真空度表示：真空值真空度（3）M點的測壓管水頭§2-5液體作用在平面上的總壓力許多工程設備，在設計時常需要確定靜止液體作用在其表面上的總壓力的大小、方向和位置。例如閘門、插板、水箱、油罐、壓力容器的設備。前面研究靜水壓強的主要目的是為計算總壓力。力有大小、方向、作用點三要素，對于靜水總壓力而言，所需確定的是其大小、作用點，其方向與壓強方向一致，即垂直指向受壓面。計算方法有兩種：解析法和圖解法。一、解析法如圖所示，MN為任意形狀的平面，傾斜放置于水中，與水面成θ角，面積為A，其形心C的坐標為xc，yc，形心C在水面下的深度為hc。

1.作用力的大小，微小面積dA的作用力：靜矩：結論：潛沒于液體中的任意形狀平面的靜水總壓力F，大小等于受壓面面積A與其形心點的靜水壓強pc之積。

2.總壓力作用點（壓心）合力矩定理（對Ox軸求矩）：面積慣性矩：

式中：Io——面積A

繞Ox軸的慣性矩。Ic——面積A繞其與Ox軸平行的形心軸的慣性矩。

在實際工程中，受壓面多是具有縱向對稱軸（與oy軸平行）的平面，總壓力的作用點p必在對稱軸上。這種情況，只需算出yD，作用點的位置便完全確定，不需計算xp。幾種常見圖形的幾何特征量見下表。hchchhpFycyp圖2-20靜止液體中傾斜平面上液體的總壓力截面幾何圖形面積A型心yc慣性距Ic

bh

1/2h

1/12bh3

1/2bh

2/3h

1/36bh31/2h(a+b)例1如圖所示，一鉛直矩形閘門，已知h1=1m，h2=2m，寬b=1.5m，求總壓力及其作用點。解：

例2

圖2-22表示一個兩邊都承受水壓的矩形水閘，如果兩邊的水深分別為h1=2m，h2=4m，試求每米寬度水閘上所承受的凈總壓力及其作用點的位置。

【解】淹沒在自由液面下h1深的矩形水閘的形心yc=hc=h1/2

每米寬水閘左邊的總壓力為

作用點F1位置

圖2-22其中通過形心軸的慣性矩IC=bh31/12，所以即F1的作用點位置在離底1/3h=2/3m處。淹沒在自由液面下h2深的矩形水閘的形心yc=hc=h2/2。每米寬水閘右邊的總壓力為（N）同理F2作用點的位置在離底1/3h2=4/3m處。每米寬水閘上所承受的凈總壓力為F=F2-F1=78448-19612=58836（Ｎ）假設凈總壓力的作用點離底的距離為h，可按力矩方程求得其值。圍繞水閘底O處的力矩應該平衡，即

1.當平面面積與形心深度不變時，平面上的總壓力大小與平面傾角θ無關；

2.壓力作用點的位置與受壓面傾角θ無關，并且作用點總是在形心之下.只有當受壓面位置為水平放置時，其作用點與形心才重合。結論：二、圖解法（一）靜水壓強分布圖1.根據(jù)基本方程式：2.靜水壓強垂直于作用面且為壓應力。繪制靜水壓強大?。籋H?靜水壓強分布圖繪制要點：按照一定的比例尺，用一定長度的線段代表靜水壓強的大小；2.用箭頭標出靜水壓強的方向，并與該處作用面垂直。受壓面為平面的情況下，壓強分布圖的外包線為直線，只要算出作用面最上和最下兩個點的壓強后，即可定出整個壓強的分布線

；受壓面為曲面時，曲面的長度與水深不成直線函數(shù)關系，故壓強分布圖外包線亦為曲線。

3.對實際工程有用的是相對壓強的圖示。如欲繪制絕對壓強分布圖，則將常量附加上即可。例1BADhCABC即為相對壓強分布圖ABED即為絕對壓強分布圖例2BAh1h2疊加后余下的紅色梯形區(qū)域即為靜水壓強分布圖E例3為一折面的靜水壓強分布圖h2h1CABh1h2DE作用于平面AC例4為兩種和的液體先做再做則ADEC即為所求壓強分布圖例5h右圖為一弧形閘門各點的壓強只能逐點計算，且沿半徑方向指向圓弧的圓心。注：只是要把靜水壓強的箭頭倒轉過來即可，并且負的靜水壓強上大下小，也可以把相對壓強改成絕對壓強再按上述方法繪制以上討論的是P>0的例子對于P<0的情況，可同樣繪制。HHHHhhh練習判斷：下列壓強分布圖中哪個是錯誤的？

畫出下列容器左側壁面上的壓強分布圖（二）圖算法設底邊平行于液面的矩形平面AB，與水平面夾角為α，平面寬度為b，上下底邊的淹沒深度為h1、h2。（見圖右）圖算法的步驟是：先繪出壓強分布圖，總壓力的大小等于壓強分布圖的面積S，乘以受壓面的寬度b，即

P=bS總壓力的作用線通過壓強分布圖的形心適用范圍：矩形平面壁面上的靜水總壓力及其作用點的求解。原理：靜水總壓力大小等于壓強分布圖的體積，其作用線通過壓強分布圖的形心，該作用線與受壓面的交點便是壓心P。，作用線與受壓面的交點，就是總壓力的作用點。二、圖解法設底邊平行于液面的矩形平面AB，與水平面夾角為α，平面寬度為b，上下底邊的淹沒深度為0、h。（見圖右）

采用圖解法時，須先繪出壓強分布圖，然后根據(jù)壓強分布圖形計算總壓力。hDhChcphbACDBa、壓強分布圖b、剖面圖總壓力為：所以，平面上靜水總壓力的大小等于作用在平面上的壓強分布圖的體積。=（1）求大小(壓強分布圖為三角形)現(xiàn)在對高為H、寬為b、底邊平行于水平面的垂直矩形平面AB(如圖)，計算其總壓力，為（2）求大小(壓強分布圖為梯形)cphbACDB壓強分布圖（3）求作用點（壓強分布圖為三角形）總壓力的作用線通過壓強分布圖形體積的形心，壓向被作用平面。對于矩形平板，靜水總壓力的作用點可由壓強分布圖形面積的形心定出。適用范圍：矩形平面壁面上的靜水總壓力及其作用點的求解。（4）求作用點（壓強分布圖為梯形）靜水奇象

靜止液體作用在水平面上的總壓力。由于水平面是水平放置的，壓強分布總壓力的作用點是水平面面積的形心?？梢姡瑑H由液體產(chǎn)生作用在水平平面上的總壓力同樣只與液體的密度、平面面積和液深有關。如圖所示，四個容器裝有同一種液體，根據(jù)上式，液體對容器底部的作用力是相同的，而與容器的形狀無關，這一現(xiàn)象稱為靜水奇象。換句話說，液體作用在容器上的總壓力不要和容器所盛液體的重量相混淆。工程上可以利用這一現(xiàn)象對容器底部進行嚴密性檢查。例3

用圖解法計算解析法中例1的總壓力大小與壓心位置。備注：梯形形心坐標:

a上底，b下底

解：總壓力為壓強分布圖的體積：

作用線通過壓強分布圖的重心：例4

如圖2所示，左邊為水箱，其上壓力表的讀數(shù)為-0.147×105Pa，右邊為油箱，油的γ′=7350N/m3，用寬為1.2m的閘門隔開，閘門在A點鉸接。為使閘門AB處于平衡，必須在B點施加多大的水平力F’。解

確定液體作用在閘門上的力的大小和作用點位置。對右側油箱對左側水箱將空氣產(chǎn)生的負壓換算成以m水柱表示的負壓h值相當于水箱液面下降1.5m，而成為虛線面，可直接用靜水力學基本方程求解，這樣比較方便。（向左）因為所以有：F2作用點距o軸的距離為或距A軸為

3.2-2.2=1m上圖為閘門AB的受力圖，將所有力對A軸取矩，則即代入數(shù)值得（向右）（向右）hcαDc例：試求作用在關閉著的池壁圓形放水閘門上靜水總壓力和作用點的位置。已知閘門直徑d=0.5m，距離a=1.0m，閘門與自由水面間的傾斜角α=600，水為淡水。解：⑴、求總壓力aycyDhcαDca設總壓力的作用點沿斜面距水面為yD則：（米）例題：ACBd輸水水管道在試壓時，壓強表的讀數(shù)為10at，管道直徑d=1.0m，求作用在管端法蘭堵頭上的靜水總壓力及作用點。解：方法（Ⅰ）設法蘭堵頭上靜水壓強均勻分布由于可認為堵頭上的平均壓強為所以堵頭上的總壓力作用點通過堵頭的中心C點方法（Ⅱ）壓強嚴格按照來計算BA100m1m總壓力：作用點：比較兩種計算方法的結果：⑴、總壓力的相對誤差：⑵、作用點距離誤差：比較結果：在工程上，方法1計算完全可滿足要求。液體作用于平面上總壓力的計算：2.圖解法

根據(jù)靜水壓強的兩個基本特性及靜水壓強計算的基本方程繪制出受壓面上的相對壓強分布圖，靜水總壓力的大小就等于壓強分布圖的體積，其作用線通過壓強分布圖的重心。1.解析法首先確定淹沒在流體中物體的形心位置以及慣性矩，然后由解析法計算公式確定總壓力的大小及方向。結論：謝謝！本章導讀§3.1流體運動的描述（研究流體運動的兩種方法）§3.2歐拉法的基本概念§3.3連續(xù)性方程§3.4流體質點運動的特點和有旋流本章小結主要內(nèi)容第三章流體運動學本章學習重點：理解歐拉法描述流體運動的有關概念；掌握流體運動方程（連續(xù)性方程）；理解有旋流和有勢流。1、流體運動學——研究流體機械運動的基本軌律及其在工程中的應用。拉格朗日法歐拉法不涉及任何力2、解決的問題——建立流體運動的基本關系式，即研究運動要素隨時間和空間的變化及其之間的關系。3、研究方法§3-1描述流體運動的兩種方法一、拉格朗日(Lagrange)法質點系法1、研究方法——將整個液體運動作為各個質點運動的總和來考慮，以單個液體質點為研究對象。在一段時間內(nèi)，某一質點在空間運動的軌跡，稱為該質點的“跡線”。利用跡線方程即可得到這個質點相應的空間位置及其速度向量、動水壓強等水力要素。所有的質點都用這個方法來分析，就可對整個液體運動的全部過程進行全面、系統(tǒng)的認識。研究對象:流體質點2、表達式：z=z(a，b，c，t)x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)a，b，c，t——被稱作拉格朗日變量。其中：討論：（1）當a、b、c

為變量，t為定量時，表示各質點在某時刻的空間分布情況；（2）當a、b、c為定量，t

為變量時，表示某一質點在一段時間內(nèi)的運動軌跡；（3）當a、b、c、

t均為變量時，表示任一時刻、任一質點的運動情況。優(yōu)點：拉格朗日法是質點動力學方法的擴展，物理概念清晰。

缺點：

①由于流體質點有無窮多個，每個質點運動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質點；②數(shù)學上存在難以克服的困難；③實用上，不需要知道每個質點的運動情況。因此，一般水文工作者在研究波浪運動中使用這一方法。二、歐拉（Euler)法流場法1、研究方法——在流場中任取固定位置，研究流體通過該固定點時的運動情況。此法是以流動的空間作觀察對象。流場——流體運動時所占據(jù)的空間。以流動的空間作為觀察對象，觀察不同時刻各個空間點上流體質點的運動參數(shù)，將各時刻的情況匯總起來，就描述了整個流動過程。研究對象:流場2、表達式：（1）壓強場：p=p(x,y,z,t)（2）密度場：ρ=ρ(x,y,z,t)

x，y，

z，t歐拉變量（3）速度場：ux=ux

(x,y,z,t)uy=uy

(x,y,z,t)uz=uz

(x,y,z,t)

由于歐拉法以流動空間作為研究對象，每時刻各空間點都有確定的物理量，這樣的空間區(qū)域稱為流場，包括速度場、壓強場、密度場等，表示為討論：1>當x，y，

z一定，t為變量時，表示任意時刻質點通過某固定點時的速度變化情況；2>當x，y，z為變量，t一定時，表示某時刻整個流場內(nèi)質點速度的分布情況；3>當x，y，

z，t均為變量時，表示任意時刻、整個流場的速度變化情況。（4）加速度場：當?shù)丶铀俣龋〞r變導數(shù)）：表示流體通過某固定點時速度隨時間的變化率。遷移加速度（位變導數(shù)）：表示某一時刻流體流經(jīng)不同空間點時速度的變化率。哈米爾頓算子：時變加速度位變加速度上式也可表示為：舉例說明：恒定流中，當?shù)丶铀俣葹榱悖w移加速度可以不為零。ABA'B'uAdtuBdt在水箱放水管中管徑相同處取點A，管徑變化處取點B。有：當水箱水位變化時：當水箱水位不變時：A點的遷移加速度和當?shù)丶铀俣染鶠榱?；B點的當?shù)丶铀俣葹榱?，遷移加速度不為零。A點的遷移加速度為零，當?shù)丶铀俣炔粸榱悖瑸橐回撝?；B點的當?shù)丶铀俣群瓦w移加速度均不為零。質點的加速度=當?shù)丶铀俣?遷移加速度非恒定引起非均勻性引起3、特點：——歐拉法是以流場而非單個的質點做研究對象，故相對于拉格朗法簡便，在工程中具有實用意義，故一般可采用歐拉法研究流體的運動規(guī)律。例如氣象預報、洪水預報、水文水量預報?！?.2歐拉法的基本概念一、流動的分類——按流體各點的運動要素是否隨時間改變而劃分?！詴r間為標準，各空間點上的運動要素均不隨時間改變的流動。（1）恒定流

1、恒定流與非恒定流其當?shù)丶铀俣葹榱悖汉瘮?shù)關系：p=p(x，y，z)

u=u(x，y，z)恒定流時，運動要素僅是坐標的函數(shù)，與時間無關。（2）非恒定流——流體空間各點只要有一個運動要素隨時間改變即為非恒定流。u=u(x，y，z，t)p=p(x，y，z，t)函數(shù)關系：大海中潮起潮落現(xiàn)象－非恒定流洪水期中水位、流量有漲落現(xiàn)象－非恒定流平水期中水位、流量相對變化不大－恒定流（3）、恒定流與非恒定流的判別標準可據(jù)當?shù)丶铀俣龋〞r變導數(shù)）是否為零加以判斷。

恒定流與非恒定流相比，在歐拉變量中少了一個變量t，從而使問題變得相對簡單，故在工程中通?？蓪⒎呛愣鲉栴}簡化為恒定流來處理（運動要素隨時間變化不太大，不影響計算精度）。在實際工程中，絕對的恒定流幾乎不存在。水靜力學就是恒定流

xzzhz0mp0（1）、均勻流3>各過流斷面上流速分布沿程不變。1>流體的遷移加速度為零；特點：2>流線是平行的直線；——某時刻，流體各相應點（位于同一流線上的點）的流速都不隨流程改變的流動。

按運動要素是否隨流程改變，可將流動劃分為均勻流與非均勻流。2、均勻流與非均勻流（2）、非均勻流——某一時刻，流體相應點的流速因位置的不同而不同的流動。（3）、均勻流與非均勻流的判別標準可據(jù)遷移加速度（位變導數(shù)）是否為零來判斷。注意：（1）恒定流與均勻流的概念區(qū)別；（2）據(jù)以上對流體流動的兩種分類方法，可將流動分為四種形式，即：恒定均勻流非恒定均勻流恒定非均勻流非恒定非均勻流“元”是指空間自變量的個數(shù)

一元流

運動要素只與一個空間自變量有關3、一元流、二元流和三元流二元流

任何運動要素與兩個空間自變量有關，此水流稱二元流。

二元流動示意zyOBBuB-B剖面一矩形順直明渠

當渠道很寬，兩側邊界影響可忽略不計時，任一點流速與流程s、距渠底鉛垂距離z有關，而沿橫向y方向,流速幾乎不變。三元流動示意zyOuCCC-C剖面x一矩形明渠當寬度由b1突擴為b2時，突變的局部范圍內(nèi)，水流中任一點流速，不僅與斷面位置坐標有關，還和坐標y、z

有關。

三元流

任一運動要素與三個空間坐標有關

實際上，任何液體流動都是三元流，需考慮運動要素在三個空間坐標方向的變化。

由于問題非常復雜，數(shù)學上求解三維問題的困難，所以水力學中，常用簡化方法，盡量減少運動要素的“元“數(shù)。

1

一元流分析法回避了水流內(nèi)部結構和運動要素的空間分布。存在的問題

例如，用斷面平均流速代替實際流速，把總流視為一元流。水利工程的實踐證明，把三維水流簡化成一元流，或二元流是可以滿足生產(chǎn)需要的，但存在一些問題。

2

不是所有問題都能簡化為一元流，或二元流的。例如，摻氣，水流的脈動、水流空化等問題。所以，簡化是針對水力學具體問題而言（相對的）。

存在的問題例：速度場求①t=2s時，在（2,4）點的加速度；②是恒定流還是非恒定流；③是均勻流還是非均勻流；解：①當t=2s，x=2，y=4，代入上式得ax=4m/s2，同理ay=6m/s2②因速度場隨時間變化，或由時變導數(shù)此流動為非恒定流③，為均勻流

二、跡線、流線描述流體的運動，除可用數(shù)學表達式表述外，還可用更直觀的圖形來描述。1、跡線——流體質點運動時的軌跡線。即在拉格朗日法中，某一流體質點在不同時刻所占據(jù)的空間點的連線。跡線可以反映出同一質點在不同時刻的速度方向。圖

拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM跡線方程2、流線流場——是由無數(shù)流線構成的，各空間點的流速均與其所在流線相切?！诹鲌鲋挟嫵瞿硶r刻的這樣一條曲線，它上面所有液體質點在該瞬時的流速向量都與這一曲線相切，這樣的曲線稱為流線。流線表明了某瞬時流場中各點的流速方向。（1）流線的特點：因為同一時刻、同一質點只有一個速度矢量。1>流線互不相交，且為光滑曲線；駐點、奇點除外3、切點2、奇點1、駐點2匯流動312源流動2>流線充滿整個流場,每個質點都位于一條流線上；3>某斷面上流線的疏密，可反映該斷面流速的大小。1122（2）流線微分方程：

其中t

是參變量，在積分過程中可作為常量。將上式積分即可得流線方程。

根據(jù)流線的定義，可以求得流線的微分方程：

設ds為流線上A處的一微元弧長:u為流體質點在A點的流速:

因為流速向量與流線相切，即沒有垂直于流線的流速分量，u和ds重合。

所以

即

圖3-10概念名

定

義

方程流

線

流線是表示流體流動趨勢的一條曲線，在同一瞬時線上各質點的速度向量都與其相切，它描述了流場中不同質點在同一時刻的運動情況。流線方程為：式中時間t為參變量。

跡

線

跡線是指某一質點在某一時刻內(nèi)的運動軌跡，它描述流場中同一質點在不同時刻的運動情況。跡線方程為：式中時間t為自變量。

小結例1

已知平面流動

試求：（1）t=0時，過點M（-1，-1）的流線。

（2）求在t=0時刻位于x=-1，y=-1點處流體質點的跡線。解：（1）由式

得

將：t=0，x=-1，y=-1代入得C=-1則過點M（-1，-1）的流線

xy=1

即流線是雙曲線。（2）由式

得

得：

由t=0時，x=-1，y=-1得C1=0,C2=0，則有：

最后可得跡線為：

三、流管、流束、過流斷面、元流、總流1、流管——在流場中作一非流線且不相交的封閉曲線，然后由曲線上的各點作流線，所構成的管狀面。特點：流體的質點不能穿越流管；

若流動為恒定流，則流管的形狀、位置不變。2、流束——流管內(nèi)所包容的流體。u過流斷面u過流斷面3、過流斷面——流束上作出的與所有流線都正交的橫斷面。過流斷面可以是曲面，也可以是平面?！^流斷面面積無限小的流束。4、元流特點：若流動為恒定流，則元流的形狀、位置不變；同一過流斷面上，各點的運動要素可認為相等。5、總流——過流斷面面積為有限大小的流束?？偭骺煽闯蔁o數(shù)多元流之和，其過流斷面面積等于各元流過流斷面積的積分。二、流量、斷面平均流速

（2）計算式：Q=∫AdQ=∫AudA可用于可壓縮流體——單位時間內(nèi)通過過流斷面的流體的量。1、流量Q重量流量kN/sN/s體積流量m3/sl/s質量流量kg/s（1）表示方法：一般用于不可壓縮流體。2、斷面平均流速

在過水斷面上，液體質點流速分布是不均勻的。例如，管道中的流速分布，邊壁流速為零，管心最大。整個過水斷面上，流速分布是曲面，在平面上看，流速分布是曲線。

引入斷面平均流速使液體運動得到簡化（使三元流動變成了一維流動）。在實際工程中，斷面平均流速是非常重要的。u(y)yQu(y)yQv斷面平均流速[例題

]已知半徑為r0的圓管中，過流斷面上的流速分布為，式中是軸線上斷面最大流速，y為距管壁的距離。試求：（1）通過流量和斷面的平均流速；（2）過流斷面上，速度等于平均流速的點距管壁的距離。解：在過流斷面r=r0-y處，取環(huán)形微元面積，dA=2πrdr，環(huán)面上各點的流速u相等流量斷面平均流速（2）依題意，令§3-3流體運動連續(xù)性方程

所涉及的兩種概念：（1）系統(tǒng)；（2）控制體。方程推導應遵循的原則：（2）流體是連續(xù)介質；（1）滿足質量守恒定律；一、系統(tǒng)、控制體1、系統(tǒng)——把系統(tǒng)和外界分開的真實或假象的界面。系統(tǒng)邊界——由確定的流體質點組成的流體團。即一團確定的流體質點的集合。（1）系統(tǒng)邊界的特點：1>系統(tǒng)的體積邊界面形狀、大小隨時間改變；2>邊界上受外力作用；3>在系統(tǒng)邊界面上無質量交換；4>邊界上可以有能量交換。定義了系統(tǒng)后，即可利用質量、能量、動量守恒定律，推導流體的運動方程。（2）系統(tǒng)的概念對應的是拉格朗日法，即以確定的質點為研究對象?！刂企w的邊界面，是一封閉的表面?？刂泼婀室M相應的概念——控制體我們在工程實際中一般是采用歐拉法，——流場中一固定不變的空間體積。2、控制體質點不固定。（1）控制面的特點：4>控制面上可以有能量交換；1>控制面相對于坐標系固定不變；2>控制面上可以有質量交換；3>控制面上受到外力作用；（2）控制體的概念對應的是歐拉法，即以固定的空間點為研究對象。連續(xù)性方程是質量守恒定律在流體力學中的應用。認為流體是連續(xù)介質，它在流動時連續(xù)地充滿整個流場DM/Dt=0。在這個前提下，當研究流體經(jīng)過流場中某一任意指定的空間封閉曲面時，可以斷定：若在某一定時間內(nèi)，流出的流體質量和流入的流體質量不相等時，則這封閉曲面內(nèi)一定會有流體密度的變化，以便使流體仍然充滿整個封閉曲面內(nèi)的空間；如果流體是不可壓縮的，則流出的流體質量必然等于流入的流體質量。上述結論可以用數(shù)學分析表達成微分方程，稱為連續(xù)性方程。3、連續(xù)性方程二、連續(xù)性微分方程利用質量守恒原理來導出三元流動的連續(xù)性微分方程在連續(xù)充滿整個流場的流體中，任取一個以點為中心的微小六面體。xzydxdydzMN流體通過點的流速為M點坐標N點坐標邊長為dx、dy、dz按泰勒級數(shù)展開，可得M、N點的流體流速（忽略高階微量）同理：單位時間內(nèi)流進左面的質量是：單位時間內(nèi)流出右面的質量是：單位時間內(nèi)在x方向上流出流進的質量差為：同理在y、z方向上，質量差為：由質量守恒，流出與流進六面體質量差之總和等于六面體內(nèi)因密度變化而減少的質量，即：整理：即為連續(xù)性微分方程的一般形式對于恒定流則：對均質不可壓縮流體：ρ=常數(shù)則：上式表明液體的體積膨脹率為零，即一個方向上有拉伸，則在其它方向上必有壓縮。已知不可壓縮流體的兩個分速度為：其中，a,b,c,d,e,f均為常數(shù)。當z=0時，w=0,試求坐標z方向的分速度w.解：利用連續(xù)性方程。z=0時，uz=0例題：

【例】有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布規(guī)律為：試分析該流動是否連續(xù)。

【解】根據(jù)連續(xù)性方程表達式

所以

故此流動是連續(xù)的。3.3.2連續(xù)性微分方程對總流的積分高斯定理將不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程式，對控制體空間積分，根據(jù)高斯(Gauss)定理為在微元面積dA外法線方向的投影。因側表面上，于是上式化簡為即或和為總流斷面的平均流速。11222211（1）匯流（2）分流d2d12121已知d1=200mm,d2=100mm,v1＝0.8m/s，求細管管斷的斷面平均流速。解:例題：3-7（P58）本章小結：理解歐拉法描述流體運動的有關概念；掌握流體運動方程（連續(xù)性方程）；理解拉格朗日法、歐拉法的概念；謝謝！第四章流體動力學基礎本章導讀§4.1流體的運動微分方程§4.2元流的的伯努利方程§4.3恒定總流的伯努利方程（能量方程）§4.4恒定總流的動量方程本章小結主要內(nèi)容本章學習重點：理解速度勢函數(shù)、流函數(shù)，會建立簡單的勢函數(shù)和流函數(shù)方程；透徹理解流體元流伯努利方程，會用畢托管測流速。了解N—S方程。掌握實際流體能量方程、動量方程；掌握流體運動總流的分析方法，能熟練運用三大運動方程解決實際問題；（1）流體動力學——研究流體運動且涉及力的規(guī)律及在工程中的應用。（2）遵循的規(guī)律牛頓第二定律（3）對于理想流體，因沒有黏性，故作用于流體的表面力只有壓應力，即動水壓強。p=p(x，y，z，t)（4）實際流體運動微分方程,伯努利方程,動量方程。學習內(nèi)容：§4.1流體的運動微分方程公式推導1.取微元體在某一瞬時在運動無黏性流體中取出棱邊為dx，dy，dz的一微小平行六面體?；舅悸?(1)取微元體(2)受力分析(3)導出關系(4)得出結論一、無黏性流體運動微分方程2.受力分析作用在流體上力：(1)表面力；(2)質量力(1)表面力（以X方向為例）包括壓應力和剪應力左表面右表面(2)質量力

X、Y、Z表示流體單位質量力在坐標軸上的分量。這個微元體的質量為ρdxdydz

，質量力在各個在坐標軸上的分量分別為：

Xρdxdydz

、Yρdxdydz

、Zρdxdydz

3.導出關系

由牛頓第二運動定律，x方向有：

化簡得：4.結論——無黏性流體運動微分方程——Euler運動微分方程無黏性流體運動微分方程流體平衡微分方程（1）物理意義：作用在單位質量流體上的質量力與表面力之代數(shù)和等于其加速度。（2）適用條件：a.無黏性流體。

b.可壓縮流體及不可壓縮流體

c.恒定流及非恒定流單位質量流體的質量力在X、Y、Z坐標軸上分量單位質量流體的慣性力在X、Y、Z坐標軸上分量單位質量流體的表面力在X、Y、Z坐標軸上分量1、以應力表示的實際流體運動微分方程（1）、方程推導依據(jù)：牛頓第二定率：F=ma（2）、分析受力：因為是實際流體，故運動流體的表面力既有壓應力（動壓強）也有切應力。二、黏性流體運動微分方程τzyτzxτzyτzxMstAFCBDEGHyxZ設M點的相應要素為：py

,uy,

τzy,τxy

τzy與Z軸垂直的平面上，沿y方向。τxy

與x軸垂直的平面上，沿y方向。以y方向為例：τzyτzxτzyτzxMstAFCBDEGHyxZA.質量力：B.表面力：壓力：Yρdx

dy

dz切應力（四個表面）：ABGHCDEFABCFGDEH切應力（四個表面）：ABGH:CDEF:GDEH:ABCF:mduydt整理，F(xiàn)y=may

=將以上所有的力代入即可得實際流體運動微分方程。式4-2（3）、公式：對于不可壓縮均質流體，ρ=c，而X，Y，Z通常是已知的,故在三個方程中有九個表面應力、三個速度分量，共十二個未知量，既使加上連續(xù)性微分方程（四個方程，解十二個未知量），也無法求得唯一的解，所以還應再找出其它的關系。2、流體質點的應力狀態(tài)（