高考數(shù)學第19煉 利用函數(shù)證明數(shù)列不等式

19利利用函數(shù)證明不等式是在高考導數(shù)題中比較考驗學生靈活運用知識的能力面以函數(shù)為背景讓學生探尋函數(shù)的性質(zhì)一方面體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù)而用恒成立的不等式將沒有規(guī)律的數(shù)列放縮為為有具體特征的數(shù)列謂一題多考巧地將函數(shù)數(shù)，不等式連接在一起，也是近年來高考的熱門題型。一、基礎(chǔ)知識：、考察類型：（1利用放縮通項公式解決數(shù)列求和中的不等問題（2利用遞推公式處理通項公式中的不等問題、恒成立不等式的來源：（1函數(shù)的最值：在前面的章節(jié)中我們提到過最值的一個作用就是提供恒成立的不等式。（2恒成立問題的求解：此類題目往往會在前幾問中進行鋪墊，暗示數(shù)列放縮的方向。其中，有關(guān)恒成立問題的求解，參數(shù)范圍內(nèi)的值均可提供恒成立不等式、常見恒成立不等式：（1

xx

對數(shù)→多項式（）

e

x

指數(shù)→多項式、關(guān)于前項和的放縮問題：求數(shù)列前項式往往要通過數(shù)列的通項公式來解決，高中階段求和的方法有以下幾種：（1倒序相加：通項公式具備第

項與第

項的和為常數(shù)的特點（）錯位相減：通項公為“等差

等比”的形式（例如

n

，求和可用錯位相減）（3等比數(shù)列求和公式（4裂項相消：通項公式可裂為兩項作差的形式，裂的某項能夠與后面項裂開某項進行相消。注放法處理數(shù)列求和不等時縮為等比數(shù)列和能夠裂項相消的數(shù)列的情況比較多見，故優(yōu)先考慮。、大體思路：對于數(shù)列求和不等式，要謹記“求和看通項公式入手，結(jié)合等號方向考慮放縮成可求和的通項公式。、在放縮時要注意前幾問的鋪墊與提示，尤其是關(guān)于恒成立問題與最值問題所帶來恒成立不等式，往往提供了放縮數(shù)列的方向

12nn12nn、放縮通項公式有可能會進行多次，要注意放縮的方向：朝著可求和的通項公式進靠攏（等比數(shù)列，裂項相消等）、數(shù)列不等式也可考慮利用數(shù)學歸納法進行證明（有時更容易發(fā)現(xiàn)所證不等式與題條件的聯(lián)系）二、典型例題：例1：已知數(shù)

f

在

x

處取得極值（1求實數(shù)的（）明對任的整n，等

34n4

都立解）

f

'

x為f

的極值點f'

1a

11（思一想所證不等式與目所給函數(shù)的聯(lián)系發(fā)現(xiàn)在

f

中，存在對數(shù)，且左邊數(shù)列的通項公n

12

2

也具備

f

項的特征，所以考慮分析

ln

與

x2

的大小關(guān)系，然后與數(shù)列進行聯(lián)系。解：下面求

f

的單調(diào)區(qū)間f

'

1xx

,令

f

g'

g

f

即ln

x

（每一個函數(shù)的最值都會為我們提供一個恒成立的不等式，不用白不用！觀察剛好與所證不等式不等號方向一致）令

x

1n

，則

即

n2ln1

ln

nn

nn2

n2222n2222即

2

344

nn

小煉有話說：（）不等式實質(zhì)是兩組數(shù)列求和后的大小關(guān)系an

nn,n

過應項的大小關(guān)系決定求和式子的大小。此題在比較項的大小時關(guān)鍵是利用一個恰當?shù)暮瘮?shù)的最值而個函數(shù)往往由題目所給另外有兩點注意①注函數(shù)最值所產(chǎn)生的恒成立不等式②注意不等號的方向應該與所證不等式同向（）決問題后便明白所證不等式為何右邊只有一個對數(shù)，其實也是在作和，只是作和時對數(shù)合并成一項（與對數(shù)運算法則和真數(shù)的特點相關(guān)今后遇到類似問題可猜想對數(shù)是經(jīng)歷怎樣的過程化簡來的，這往往就是思路的突破點思路二發(fā)不等式兩邊均有含n的表達式且側(cè)作和所以考慮利用學歸納法給予證明：解：用數(shù)學歸納法證明：①當

時，不等式為

成立②假

n

時，不等式成立（即

2

349

ln(

）當

時，若要證

49

kklnkk34249

2只證ln(

k

ln

klnk

1k

（下同思路一：分析

f

的最值可得

）令

x

1k

，由恒成立不等式

可得

ln1

1k

即所證不等式成立③

，均有

2

344

nnn小煉有話說：利用數(shù)學歸納法證明要注意兩點）格式的書寫（）利用設(shè)的條件

所假

例2：已知數(shù)

f

（）

a

14

時，求函數(shù)

f

的單調(diào)區(qū)間（當

f()

圖像上的點都在

xy

所表示的平面區(qū)域內(nèi)求實數(shù)

a

的取值范圍（）求：

4

n2

（中

N是然數(shù)底）解）解法，求出單調(diào)區(qū)找最值f

14

f

'

1xx2x2xx

,令

f

求出單調(diào)區(qū)間如下：f

'

f（）：函數(shù)

yf()

圖像上的點都在

xy

區(qū)域內(nèi)，條件等價于

,

x

恒成立，即

ln

令

g

g

'

12ax令

g

即2a①a0時g

alna

不符合題意（此時發(fā)現(xiàn)單調(diào)性并不能直接舍掉

a

0

的情況可估計函數(shù)值的趨勢

恒為正

早晚會隨著

值的變大而為正數(shù)，所以必然不符合題意。在書寫時可構(gòu)造反例來說明，此題只需

nn211nn211ax

即可，所以選擇

1a

）②

0

時，

a

即

g

g

單調(diào)遞減

，符合題意綜上所述：

0（路所不等式

4

22n

，左邊連乘，右邊是e，可以想到利用兩邊取對數(shù)“化積為和時用第二問的結(jié)論。第二問給我們提供了恒成立的等，a，ln，則可與左邊的求和找到聯(lián)系。

a，即解：所證不等式等價于

l11

n2由（2）可得

ln

，

n

2

，即ln222

n

n

n

1

（左邊可看做是數(shù)列求和，利用結(jié)論將不等式左邊的項進行放縮，轉(zhuǎn)化成可求和的數(shù)列——裂項相消）212

ln222

2

1

2

1

12

不等式得證小煉有話說：（第問中代數(shù)方法與數(shù)形合方法的抉體會為什么放棄線性規(guī)劃思路如將約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)楹愠闪栴}（）數(shù)運算的特點：化積為和。題目中沒有關(guān)于乘積式的不等關(guān)系，于是決定變?yōu)楹褪剑ǎ┯蒙弦粏柕慕Y(jié)論放縮通項公式，將不可求和轉(zhuǎn)變?yōu)榭汕蠛停M而解決問題例3：已知數(shù)

f()

x(1lnx)x

2x22x2（1當

時，討論

g(

（2當時若f(n

恒成立，求滿足條件的正整數(shù)n的值；（）證

2n

52

解）

f

axxn

axxx若

g

當當

00

時，時，

gg

上單調(diào)遞增上單調(diào)遞減（2）思路：

f

xxx

不等式等價于n即

x

min而在第1）問中

g

即為

f'

的分子，故考慮利用

g

來確定

f'

的符號，進而求出

f

的單調(diào)區(qū)間及最值解：

f

x

x

，由（1）得

g

單調(diào)遞增g

ln3ln4

(盡無法

g

的1g

，所以可估計零點的所在區(qū)間）x

的單調(diào)區(qū)間如下：

f

+f

nnnnf

fmin

bb

lnf

bb

n（思路：由第（2）問

n

，所證不等式可兩邊同取對數(shù)“化積為和考利用結(jié)論進行放縮解：所證不等式等價于：ln

ln

52由第（2）問可得：

3lnxln

2nnn

i

ln

17=2nln3nn2即原不等式成立。（如果從第一項就進行縮小，則

i

1lni1n

n

3n

，發(fā)現(xiàn)縮小過度但差距不大，所以進行調(diào)整，第一項不變，其余放縮。這樣不僅減少縮小的尺度，同時不改變求和規(guī)律）小煉有話說：這道題是對書中幾篇文章所講技巧的一個綜合。所涉內(nèi)容如下：（）二問中對零點

x

的處理，參見：3.1.3最分析法（）三問中數(shù)列放縮后的調(diào)整值得注意，放縮的過程中有可能存在“放過頭”的情況，往往是由于前幾項放縮程度過大造成的（通常越大，放縮的程度越小以考慮數(shù)列幾項不進行放縮，然后再看不等式能否成立，若一直都“過度”一點點，那么就要考慮是否另選放縮方案了。例：設(shè)函數(shù)

f

，其中

R

。:

n2222323n23n2222323n23（）a

時，討論函數(shù)

f(x

在其定義域上的單調(diào)性；（2證明：對任意的正整數(shù)

n，等式ln

112

都成立。解析：（）

f

'

x

ax2x

，令

f

即解不等式

2x

2

①

12

a0

時方程

2x

的兩根

1

a,x2

，

2f

的單調(diào)區(qū)間為：11a11,f

'

f②

12

時，

2

2

恒成立f

單調(diào)遞增（）慮

a

時，則

f令

h

f

ln

'

x

3

x

在

恒成立h

單調(diào)遞增

hln

，令

x

1n

111ln1lnnnlnk

nnnn即：

ln

1123

例5：已知函數(shù)

f()xln(x

的最小值為0，其中。a（）的值（）對任意的

x有f)

2

成立，求實數(shù)k的最小值（）明

i

2i

ln(2*)解）

f

'

1

,定義域

令

f

解得

x

，f

的單調(diào)區(qū)間為：f'

fmin

ff

（）時取有fln0，不題意。當k時令g(f(x)kx

2，g()xxkx2

。g

xkxkkxxx

，令

g

，得

x12

1k2

當

k

11k時，2

0,

在

上恒成立因此

g(x

在

[0,

上單調(diào)遞減，對任意的[0,

，總有

g(x)(0)0，即(x)kx

2

在

[0,

上恒成立。故

k

12

符合題意。當

0k

1時，2

1kx)，g，g(x)在)2kk

內(nèi)單調(diào)遞增，取

x(0,

1k2

)

時，

gx(0)0

，即

f()

不成立。

2nnnnn2nnnnn故

0

12

不合題意

k

12綜上，

的最小值為

12

。（）第2）問可得：當2令i

11時，不等式ln2

恒成立2iln22i2

2i

2

112ii

i

2211ln31ii

1122

即

i

2n2i1lnln3i2i2i即

i

2i

2(nN

*

)例6：已知數(shù)

f(x)lnx3ax（1求

fx)

的最大值；（）明等：

e

。解）

f

'

1xx

，令

f

，

f

單調(diào)區(qū)間如下：f'f

y

f

（）思路：左邊可看做數(shù)列求和，其通項公式為

i

n

，無法直接求和，所以考慮利用條件進行放縮，右邊是分式，可以猜想是等比數(shù)列求和后的結(jié)果，所以將

i

放縮為等比數(shù)列模型。由（1）可得

lnxx

，令

x

in

進行嘗試解：由（）可得

lnxx

ninnnnninnnn令

x

iiii，即nniln尋找方的來源）

i

1

2

n

e

eee

不等式得證小煉有話說：此題的第（3）問數(shù)列通項公式放縮為等比數(shù)列求和，如果不等式的一側(cè)是一個分數(shù)，則可向等比數(shù)列求和的結(jié)果考慮（猜想公比與首項例7：函數(shù)

f(x)

.（）

f(x)cosx

在

a

的取值范圍；（）明

f

2(n2(n)f)f()n

（解成不等式等價于

令

g

(：在

中這三個自變量的函數(shù)值最便于計算，進而選擇代入）yaxx

可視為關(guān)于

a

的一次函數(shù)且遞增

令

h

2

xx

則對

2

,

g

恒成立

若要

g

，只需

h

，下面進行證明：h

h

,只需證

xxx

即可h

'

2

sin

考慮

0,2

時，

x2x

從而

h

'

2

2

（注導數(shù)無法求出極值點故引入抽象的極值點,

h240sin2n2nx4h240sin2n2nx42但要利用零點存在性定理估計所在區(qū)間）h

'

2,sinh

'

,

,使得

h

且當

h

單調(diào)遞減，在

,

單調(diào)遞增h

h

恒成立

,進而對每一個

a

2

均滿足

a

2（思將邊視為數(shù)列求和通項公式為

af(

k2

)

(意左邊是

項求和考慮利用前面條件對通項公式放縮

a

2

則

x

2

恒成立但如果直接進行代入，不等號右邊的

無法處理，進而無法與所證不等式的右邊找到聯(lián)系。考慮將

挪至左側(cè)并與

sinx

合角而將三角函數(shù)放縮為多項式根求和特點進行求和解：由（）可得：

x

2

cos

2

222sinxsinx4令

4k4可得

f

k

24k2n242n(為

a

k2n

為

令

4

k1

，反求即可）

f(

2n)()f(n

)

n

22

fefe

2n4n

4

n24

22

f

2(=2(n2()f)f()nn小煉有話說：（關(guān)本題第二問恒成立的具體可參見3.3.3有關(guān)容明需要極值點而無法直接求出時可先用抽象的

x

0

代替，但要確定好

x

0

所處的大概區(qū)間（三問對第二問的結(jié)論稍加變將

與

sinx

進行合角不是直接代入

f

)的應用是本題的一大亮點方程等式的變形目的是將條件與結(jié)論能夠連接起來以構(gòu)造時要關(guān)注所求不等式的結(jié)構(gòu)特點。（）第問不等式的左邊有兩細節(jié)：第一個是左邊求和的項數(shù)是

項，第二個在f(

2n

)

中，同一個

n

所代表的含義不同。分母每一項都是

,

n

與項數(shù)相關(guān)。給定一個n數(shù)項的分母就固定了而分子的n表的是序數(shù)可現(xiàn)數(shù)列中分子是在不斷變化的，從1變n,在(

2n

)

，同一個在子分母中扮的角色不同。所以在寫通項公式時，引入了字母

用來區(qū)分序數(shù)與項數(shù)。例8

y

fxk

在

上為增函數(shù)

f

次比增函數(shù)

k

，已知

f

:（）

a

12

時，求函數(shù)

g在m,x

上的最小值（）證

2

1

解：（）

g

e

x

g'

11x22x

12

x令

g

解得

x2

xxxx

單調(diào)遞減，在

單調(diào)遞增①

時，

gmin

g

e2m②

mm，g

gmin

e2③

，

min

m2綜上所述：

g

,222+1,（2由第）問可得：

ee2，即2所求和的通項公式為

an

n

1

，由

1e

可得：x

x

xx

1xe

1x

，令

x

，可得：

n

1

2enn

12

e

+

+

2

11112

1

1111223

12e

111114234

11n

=

11117122ne2e

,e2,11,e2,11例9：已知函數(shù)

f

lnx（）

g數(shù)

在區(qū)間

上的零點個數(shù)（）記

Fn

ln

2n

,Sn2

Fn

*

，對意整

，

n

n

4n

對意

D

恒立則

在

D

上“效的試斷

2

上“效的若，給證，不，說理由解）

g

，g

即

的零點個數(shù)即為函數(shù)

y

x

與

ym

交點的個數(shù)設(shè)

x

，

h

x2x2

，令

h'

解得

x單調(diào)區(qū)間如下：

h

hh

42

，草圖如下：或時g

無零點0

或

4e

m

，

g

一個零點0

4e

，

g

兩個零點

,1n2,1n2（思路觀到

Fn

2n

結(jié)構(gòu)上（2中的

h

很相似

S

n

n

實質(zhì)上是

F

F

，故考慮對每一項進行放縮使得求和具有規(guī)律性

h

的特點

F

可寫成

Fn

ln2（將n2nx

nx

視為整體用

h單調(diào)性進行放縮解：

h

單調(diào)區(qū)間如下：h

'

h2nne4heln22xFxn3n2nxn2

（2縮為

4

1n2

而

1n

可放縮為能夠裂項求和的式子Fn

11nnS

n

nn

n

Fn

+

1=4ppnpn

上是“高效”的小煉有話說：（）題中的第（）對第（）問的函數(shù)構(gòu)造提供了方便，對于證明數(shù)列不等式，同學要善于利用前面問題的條件與結(jié)論（）（）的關(guān)鍵之處在于找

F

的聯(lián)系，以及通過不等關(guān)系消

（）和時通項公式放縮的方向為構(gòu)造具備裂項求和的數(shù)列，其中

1n2

的放縮技巧如下：

2x22n212222nnn22x22n212222nnn2n

11nn

n

而左右兩邊均可裂項求和例10已函數(shù)

（1若

f

在定義域內(nèi)為減函數(shù)，求p的圍（）

1

a

n

n

n

，證：2

時4n

34解）f

'

f為減函數(shù)1

x0,

x