個(gè)人住房抵押貸款以及其它金融問(wèn)題

個(gè)人住房抵押貸款以及其它金融問(wèn)題數(shù)學(xué)試驗(yàn)正如文學(xué)誘導(dǎo)人們的情感一樣，數(shù)學(xué)啟發(fā)人們的想象與推想?！狢haserole方法就是把我們應(yīng)留意的事物進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼砗团帕?─R.Descartes試驗(yàn)?zāi)康?/p>

●介紹差分方程●復(fù)習(xí)：數(shù)列及其極限、線性代數(shù)方程組、矩陣及其運(yùn)算、方程的求根●運(yùn)用Mathematica進(jìn)行迭代運(yùn)算、求根、矩陣等運(yùn)算●學(xué)習(xí)相關(guān)問(wèn)題建模背景隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，金融正越來(lái)越多地進(jìn)入一般人的生活：貸款、保險(xiǎn)．養(yǎng)老金和信用卡等；個(gè)人住房抵押貸款是其中重要的—項(xiàng)。個(gè)人住房商業(yè)抵押貸款養(yǎng)老保險(xiǎn)金融公司的支付基金的流淌本節(jié)主要探討：小學(xué)問(wèn)——個(gè)人住房貸款個(gè)人住房貸款是指銀行向借款人發(fā)放的用于購(gòu)買自用一般住房的貸款。借款人申請(qǐng)個(gè)人住房貸款時(shí)必需供應(yīng)擔(dān)保。目前，個(gè)人住房貸款主要公積金貸款、商業(yè)貸款和組合貸款三種。1、住房公積金貸款:是指由各地住房公積金管理中心運(yùn)用職工以其所在單位所繳納的住房公積金，托付商業(yè)銀行向繳存住房公積金的在職職工和在職期間繳存住房公積金的離退休職工發(fā)放的房屋抵押貸款2、個(gè)人住房商業(yè)貸款:是中國(guó)公民因購(gòu)買商品房而向銀行申請(qǐng)的一種貸款，是銀行用其信貸資金所發(fā)放的自營(yíng)性貸款。3、組合貸款:是指符合個(gè)人住房商業(yè)性貸款條件的借款人又同時(shí)繳存住房公積金的，在辦理個(gè)人住房商業(yè)貸款的同時(shí)還可以申請(qǐng)個(gè)人住房公積金貸款，及借款人以所購(gòu)本市城鎮(zhèn)自住住房（或其他銀行認(rèn)可的擔(dān)保方式）作為抵押可同時(shí)向銀行申請(qǐng)個(gè)人住房公積金貸款和個(gè)人住房商業(yè)性貸款。首付比例：買房子時(shí)不能全部貸款。要先付一部分，余下的從銀行貸款?，F(xiàn)在的要求是付房款的20%-30%。因?yàn)榭紤]到貸款的還款風(fēng)險(xiǎn)，相關(guān)的部門都會(huì)要求購(gòu)房人供應(yīng)一部分首付，就是預(yù)先由個(gè)人支付一部分房款，以證明你有還款實(shí)力。還款方式貸款期限在一年以上的房屋貸款還款方式一般有等額本金還款和等額本息還款兩種。1、等額本金是在還款期內(nèi)把貸款數(shù)總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余貸款在該月所產(chǎn)生的利息。每月還款金額=（貸款本金/還款月數(shù)）+（本金—已歸還本金累計(jì)額）×每月利率特點(diǎn)：由于每月的還款本金額固定，而利息越來(lái)越少，貸款人起初還款壓力較大，但是隨時(shí)間的推移每月還款數(shù)也越來(lái)越少。2、等額本息在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款(包括本金和利息)。每月還款金額=［貸款本金×月利率×（1＋月利率）＾還款月數(shù)］÷［（1＋月利率）＾還款月數(shù)－1］特點(diǎn)：相對(duì)于等額本金還款法的劣勢(shì)在于支出利息較多，還款初期利息占每月供款的大部分，隨本金漸漸返還供款中本金比重增加。但該方法每月的還款額固定，可以有支配地限制家庭收入的支出，也便于每個(gè)家庭依據(jù)自己的收入狀況，確定還貸實(shí)力。實(shí)際案例

1998年12月，中國(guó)人民銀行公布了新的存、貸款利率水平,其中貸款利率如下表所列:●中國(guó)人民銀行再次調(diào)整存、貸款利率貸款期限 半年1年3年5年5年以上利率/％ 6.12 6.39 6.667.207.56

(當(dāng)貸款期處于表中所列相鄰年限之間時(shí)，利率為對(duì)應(yīng)相鄰兩數(shù)中較大者.)最新貸款利率表（2010年10月20日）貸款期限 半年1年3年5年5年以上利率/％ 5.10 5.565.605.966.14

依據(jù)央行的貸款利率表，上海商業(yè)銀行對(duì)個(gè)人住房商業(yè)性貸款利率作出相應(yīng)調(diào)整，公布新的利率表和還款表

個(gè)人住房商業(yè)抵押貸款年利率表貸款期限1年2年 3年4年5年利率（％）6.1206.2556.3906.5256.660

個(gè)人住房商業(yè)抵押貸款(萬(wàn)元)還款表

貸款期年123 45

月1224364860月還款額到期一次還清

444.356305.9896237.2649196.4118本息總額10612.010664.5411015.6311388.7111784.71

提出問(wèn)題個(gè)人住房商業(yè)抵押貸款年利率表和個(gè)人住房商業(yè)抵押貸款還款表是如何依據(jù)中心銀行的貸款利率水平制定的？

分析一下年利率和月還款額表：貸款期限1年2年3年4年5年利率（％）6.1206.2556.3906.5256.660貸款期年123 45

月1224364860月還款額到期一次還清

444.356305.9896237.2649196.4118本息總額10612.010664.5411015.6311388.7111784.71建立模型

(差分方程)則由Ak到Ak+1，應(yīng)有

Ak+1-Ak＝rAk-m即得模型

Ak+1＝(r＋1)Ak-m(k=0,1,…)其中r為利息，當(dāng)然應(yīng)當(dāng)用月利率r＝0.06255/12＝0.0052125設(shè)貸款后第k個(gè)月時(shí)欠款余數(shù)為Ak,月還款額m元另外明顯有A0＝10000分析求解●月還款額的確定令

Bk＝Ak－Ak－1,(k＝1，2,...)推得

Bk+1＝(1+r)Bk(等比)從而

Bk+1＝B1(1+r)k利用以上關(guān)系導(dǎo)出

Ak＝A0(1+r)k－[(1+r)k－1]m/r

Bk+1＝Ak+1－Ak

＝((r＋1)Ak-m)－((r＋1)Ak-1-m)A0＝10000,k＝24,A24=0r＝0.0052125M＝[A0(1+r)kr]/[(1+r)k－1]=52.125(1.0052125)24/[(1.0052125)24－1]In[1]:=

52.125*1.0052125^24/(1.00125^24-1)Out[1]=

444.356(24個(gè)月還款本息總額10664.54元)考慮二年期狀況：運(yùn)用Mathematica●年利率如何得到

比較央行公布貸款利率與上海住房商業(yè)貸款，有數(shù)字相同：6.12％、6.66％，但年限不同

中間年限的利率如何得出(建議作圖，從得到線性插值)任務(wù)1：制定住房商業(yè)性貸款利率表和還款表●還款周期越短越好嗎假如逐年還款，對(duì)二年期貸款，用公式Ak＝A0(1+r)k－[(1+r)k－1]m/r其中:r=0.06255應(yīng)為年利率k=2年還款額為m=5473.867元本息總額2m=10947.63元，比逐月還款本息總額10664.54元多任務(wù)2：探討還款周期問(wèn)題對(duì)于公式

Ak+1＝(r＋1)Ak–m(*)平衡點(diǎn)若

Ak+1＝Ak=A則

A=m/r成為方程（*）的平衡點(diǎn)由此若

A0＝m/r則衡有

Ak＝m/r這就意味著假如貸款利率r和月還款額m固定，第一個(gè)月還m/r,正好抵上利息，每個(gè)月的欠款額始終不變。(穩(wěn)定）若第一個(gè)月還款大于或小于m/r，則欠款額就會(huì)遠(yuǎn)離m/r（不穩(wěn)定）對(duì)于一般差分方程

Ak+1＝f(Ak)平衡點(diǎn)（續(xù)）當(dāng)時(shí)始值A(chǔ)0稍大于或小于差分方程的平衡點(diǎn)A時(shí)若有AkA(k∞)稱A為穩(wěn)定的，否則稱A為不穩(wěn)定的

推斷A是否穩(wěn)定的方法是：|f'(Ak)|<1,A是穩(wěn)定的|f'(Ak)|>1,A是不穩(wěn)定的其它金融或經(jīng)濟(jì)問(wèn)題●養(yǎng)老保險(xiǎn)某保險(xiǎn)公司的一份材料指出：在每月交費(fèi)200元至60歲起先領(lǐng)取養(yǎng)老金的約定下，男子若25歲起投保，屆時(shí)月養(yǎng)老金2282元；若35歲起投保，月養(yǎng)老金1056元；若45歲起投保，月養(yǎng)老金420元.●問(wèn)題交保險(xiǎn)費(fèi)所得利率如何？(假定投保人所得完全由其交款及利息產(chǎn)生)(留意：明顯結(jié)果依于投保人壽命)

設(shè)投保人在投保后第k個(gè)月所交保險(xiǎn)費(fèi)及利息的累計(jì)總額Fk為，那么易得到數(shù)學(xué)模型為分段表示的差分方程Fk+1=Fk(1+r)＋p,k=0,1,…,NFk+1=Fk(1+r)－q,k=N+1,…,M其中p、q分別為60歲前所交月保險(xiǎn)費(fèi)和60歲起所領(lǐng)月養(yǎng)老金的數(shù)目(元)，r是所交保險(xiǎn)金獲得的利率，N,M分別是自投保起至停交保險(xiǎn)費(fèi)和至停領(lǐng)養(yǎng)老金的時(shí)間(月).明顯M依靠于投保人的壽命,取M=75(歲)（統(tǒng)計(jì)平均值）以25歲起投保為例,則有

P=200,q=2282;N=420,M=600

如前可推出差分方程的解Fk=F0(1+r)k＋[(1+r)k－1]p/r,k=0,1,…,N

Fk=FN(1+r)k－N

＋[(1+r)k－1]q/r,k=N+1,…,M在前一式取k=N，后一式取k=M，且留意F0=FM=0，消去FN，(1+r)M－(1+q/p)(1+r)M－N+q/p

＝0記x＝

1+r，

代入數(shù)據(jù)

x600－12.41x180＋11.41＝0(Newton法,方程求根)運(yùn)用MathematicaIn[2]:=FindRoot[x^600-12.41x^180+11.41==0,{x,1.01}]Out[1]={x->1.00485}x＝1.00485,r

＝0.00485交保險(xiǎn)費(fèi)所得月利率為0.00485

年利率為0.0582某保險(xiǎn)公司的推出結(jié)合養(yǎng)老的壽險(xiǎn)支配，例子為：若40歲的男性投保人每年交保險(xiǎn)費(fèi)1540元，交費(fèi)期20年至60歲任務(wù)3：一個(gè)人壽保險(xiǎn)支配的利率分析

試分析：若該投保人的壽命為76歲，其交保險(xiǎn)費(fèi)所獲得的實(shí)際年利率是多少？若該投保人的壽命為74歲，其交保險(xiǎn)費(fèi)所獲得的實(shí)際年利率又是多少？

則在他生存時(shí)期，45歲時(shí)(投保滿5年)可獲返還補(bǔ)貼4000元，50歲時(shí)可獲返還補(bǔ)貼5000元，其后每隔5年可獲增幅為1000元的返還補(bǔ)貼；而在投保人去世或殘廢時(shí)，其受益人可獲保險(xiǎn)金20000元

每過(guò)一周

A城公司基金10％→

B城公司

A城公司←B城公司基金12％●金融公司的支付基金的流淌(形式的推廣)新問(wèn)題總額$540萬(wàn)基金,放置A公司和B公司要求：周末結(jié)算時(shí)總額仍為$540萬(wàn)A公司基金額A0＝$260萬(wàn)B公司基金額B0＝$280萬(wàn)●問(wèn)題資金流淌趨勢(shì)？會(huì)否少于警戒數(shù)＄220(萬(wàn))●數(shù)學(xué)模型

設(shè)第k周末結(jié)算時(shí),A城公司和B城公司支付基金數(shù)分別為ak和bk(單位:萬(wàn)美元),則有

差分方程組ak+1=0.9ak+0.12bkbk+1=0.1ak+0.88bk●視察數(shù)據(jù)通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的觀測(cè)估計(jì)結(jié)論(12周數(shù)據(jù))For[a[0]=260;b[0]=280;k=0,k<=12,k++,Print[k];a[k+1]=0.9a[k]+0.12b[k];Print[a[k]//N];b[k+1]=0.1a[k]+0.88b[k];Print[b[k]//