數(shù)理統(tǒng)計PPT(研究生)第

2§5.3雙因素方差分析

有交互作用的雙因素方差分析

無交互作用的雙因素方差分析一、無交互作用的雙因素方差分析1.數(shù)學模型因素因素

因素因素表5.3.1無交互作用的雙因素方差分析數(shù)據(jù)表

假設相互獨立，且則其中（隨機誤差項）獨立同分布，且——總平均值引入記號顯然則得到如下的線性模型

系統(tǒng)的分析因素和因素對試驗指標的影響大小，因此，在給定的水平下，提出如下的統(tǒng)計假設：對因素的檢驗：

提出“因素對試驗指標的影響不顯著”即檢驗對因素的檢驗：

提出“因素對試驗指標的影響不顯著”即檢驗方差分析的任務是：方差分析的思想

試驗數(shù)據(jù)的波動程度的度量指標，是否可以分解成由因素引起的部分，由因素引起的部分以及由隨機誤差項引起的部分；如果數(shù)據(jù)的波動主要是由因素引起和由因素引起，則我們可以認為因素與對試驗指標有顯著性的影響，若數(shù)據(jù)的波動主要是由隨機誤差引起的，則可以認為因素與對試驗指標沒有顯著性的影響。誤差平方和因素B的效應平方和因素A的效應平方和

總離差平方和的分解定理仿單因素方差分析的方法，考察總離差平方和可分解為：其中：反映因素A對試驗指標的影響。反映因素

B

對試驗指標的影響。反映試驗誤差對試驗指標的影響。將的自由度分別記作

若假設成立，則：

可推得：，則對給定的檢驗水平，時，當時，當拒絕H01，即A因素的影響有統(tǒng)計意義。拒絕H02，即B因素的影響有統(tǒng)計意義。表5.3.2雙因素（無交互作用）試驗的方差分析表方差來源平方和自由度均方差F值P值因素A因素B誤差總和3）是的無偏估計量；2）是的無偏估計量；1）是的無偏估計量；注意

各因素離差平方和的自由度為水平數(shù)減一，總平方和的自由度為試驗總次數(shù)減一。定理一

在無交互作用的雙因素方差分析模型中，有5）是的無偏估計量；4）是的無偏估計量；其中例5.3.1下面給出了在某5個不同地點，4個不同時間空氣中的顆粒狀物（以mg/m3計）

的含量的數(shù)據(jù)：

試在顯著性水平下檢驗：在不同時間顆粒狀物含量的均值有無顯著性差異，在不同地點顆粒狀物含量的均值有無顯著性差異。因素B（地點）因素A(時間）2005年10月76678156513312006年1月82699659703762006年5月68596754422902008年8月63566458372782892513082272001275解表5.3.3數(shù)據(jù)表二.有交互作用的雙因素方差分析

在兩個因素的實驗中，不但每一個因素單獨對試驗起作用，往往兩個因素會聯(lián)合起來起作用。這種作用稱為兩個因素的交互作用。1.數(shù)學模型

設在某試驗中，有兩個因素在變化，因素A有個不同的水平，因素B有個不同的水平：在水平組合下的試驗結果用表示。我們假定相互獨立且有共有個獨立正態(tài)總體。此外，還假定在每個水平組合下進行了次重復獨立試驗，實驗結果用表示，我們把它看作從總體中抽取的容量為的樣本。表5.3.5有交互作用的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結構表有樣本的定義可知，從而

與之差可以看成一個隨機變量。令易知，相互獨立，并且。

于是，我們可以把表示為

對這個問題首要的任務是檢驗假設全相等

與單因素方差分析一樣，為今后討論方便，把作形式上的改變，記

稱為理論總均值，它表示所考慮的個總體的數(shù)學期望的總平均中稱為因素A的第個水平對試驗結果的效應；稱為因素B的第個水平對試驗結果的效應。易驗證有記即

稱為交互效應，式中是水平組合對試驗結果的總效應或聯(lián)合效應。在多因素試驗中，通常把因素與因素對實驗結果的交互效應設想為某一個新因素的效應。這個新因素記為，稱它為與對試驗結果的交互作用。

因此可以改寫為

對于交互效應，易驗證滿足

我們得到（等重復試驗）有交互作用的雙因素方差分析模型為

其中，都是未知參數(shù)。需要檢驗如下假設：對因素A的檢驗：

提出“因素A對試驗指標的影響不顯著”即檢驗對因素B的檢驗：

提出“因素B對試驗指標的影響不顯著”即檢驗對因素的檢驗：

提出“對試驗指標的影響不顯著”即檢驗2.統(tǒng)計分析記

定理二（平方和分解定理）在有交互作用的雙因素方差分析模型中，平方和有如下的恒等式其中，記其中稱為總偏差平方和，稱為誤差平方和，分別稱為因素A，因素B的（主效應）偏差平方和，稱為交互作用的（交互效應）偏差平方和。定理三

在有交互作用的雙因素方差分析模型中，有定理四

在有交互作用的雙因素方差分析模型中，有1）當假設成立時，,而且與相互獨立，從而2）當假設成立時，,而且與相互獨立，從而3）當假設成立時，,而且與相互獨立，從而表5.3.6有交互效應的雙因素方差分析表方差來源平方和自由度均方差F值P值因素A因素B誤差總和3）是的無偏估計量；4）是的無偏估計量；定理五

在有交互作用的雙因素方差分析模型中，有1）是的無偏估計量；2）是的無偏估計量；8）是的無偏估計量；7）是的無偏估計量；6）是的無偏估計量；其中，以上5）是的無偏估計量；

試給定顯著性水平，檢驗燃料、推進器以及它們之間的交互作用對火箭射程有無顯著影響。例5.3.2

一火箭是用了4種燃料（A），3種推進器（B）作射程試驗，每種燃料與每種推進器的組合做兩次射程試驗，得火箭射程（單位：海里）如表所示。解本節(jié)結束，謝謝！解按題意檢驗假設，的值已算出在上表現(xiàn)在由平方和表達式得到得到方差分析表如下

故拒絕即認為不同時間顆粒狀物含量的均值有顯著差異，也認為不同地點顆粒狀物的含量的均值有顯著差異。由于

表5.3.4方差分析表方差分析平方和自由度均方差F值因素A1182.953394.3210.72因素B1947.504486.8813.24誤差441.301236.78總和3571.7519解需檢驗假設計算如表，表中括號內的數(shù)是，現(xiàn)在故有58.252.6(110.8)56.241.2(97.4)65.360.8(126.1)334.349.142.8(91.9)54.150.5(104.6)51.648.4(100)296.560.158.3(118.4)70.973.2(144.1)39.240.7(79.9)342.475.871.5(147.3)58.251.0(109.2)48.741.4(90.1)346.6468.4455.3396.11319.8表5.3.7數(shù)據(jù)表

由于，所以在顯著性水平