極限與平均變化率

導(dǎo)數(shù)的預(yù)備知識

——極限與平均變化率教學(xué)目標(biāo)

了解函數(shù)的極限和平均變化率教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的平均變化率無論x+或x-

一、函數(shù)的極限

一、函數(shù)的極限x110100100010000100000···y10.10.010.0010.00010.00001···考察函數(shù)當(dāng)x無限增大時的變化趨勢．yxO當(dāng)自變量x取正值并無限增大時，函數(shù)的值無限趨近于0，即|y-0|可以變得任意?。?dāng)x趨向于正無窮大時，函數(shù)的極限是0，記作函數(shù)的極限yxO當(dāng)x趨向于負(fù)無窮大時，函數(shù)的極限是0，記作函數(shù)的極限就說當(dāng)x趨向于正無窮大時，函數(shù)的極限是a，記作一般地，當(dāng)自變量x取正值并且無限增大時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)a，也可記作:當(dāng)當(dāng)就說當(dāng)x趨向于負(fù)無窮大時，函數(shù)的極限是a，記作當(dāng)自變量x取負(fù)值并且絕對值無限增大時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)a，也可記作:函數(shù)的極限如果那就是說當(dāng)x趨向于也可記作:當(dāng)無窮大時，函數(shù)的極限是a，記作對于常數(shù)函數(shù)也有函數(shù)的極限x取正值并且無限增大無限趨近于常數(shù)a

極限表示

值的變化趨勢

自變量x的變化趨勢

x取負(fù)值并且絕對值無限增大無限趨近于常數(shù)a

x取正值并且無限增大，x取負(fù)值并且絕對值無限增大無限趨近于常數(shù)a

函數(shù)的極限例1、分別就自變量x趨向于的情況，討論下列函數(shù)的變化趨勢：（1）解：當(dāng)時，無限趨近于0，即當(dāng)時，趨近于函數(shù)的極限（2）解：當(dāng)時，的值保持為1．即當(dāng)時，的值保持為-1，即研究某個變量相對于另一個變量變化導(dǎo)數(shù)研究的問題的快慢程度．變化率問題

二、

平均變化率變化率問題問題1氣球膨脹率

我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么

二、

平均變化率我們來分

析一下:當(dāng)V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當(dāng)V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為顯然0.62>0.16問題1氣球膨脹率我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?思考?當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?

二、

平均變化率問題2高臺跳水在高臺跳水運(yùn)動中,運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用運(yùn)動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動狀態(tài)?請計(jì)算hto請計(jì)算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10平均變化率定義:若設(shè)Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)

則平均變化率為這里Δx看作是對于x1的一個“增量”可用x1+Δx代替x2同樣Δf=Δy==f(x2)-f(x1)上述問題中的變化率可用式子表示稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率思考?觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直線AB的斜率PQoxyy=f(x)割線切線T三、平均變化率的極限的幾何意義:

我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時,割線PQ如果有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即:這個概念:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).要注意,曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點(diǎn),可以有多個,甚至可以無窮多個.PQoxyy=f(x)割線切線T練習(xí)：2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運(yùn)動,求在4s附近的平均變化率.A3:求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:①