計量經濟學第五章經典單方程計量經濟學模型

計量經濟學

第五章經典單方程計量經濟學模型：專門問題

§5.1虛擬變量模型

§5.2滯后變量模型

§5.1虛擬變量模型◆虛擬變量的基本含義◆虛擬變量的引入方法◆虛擬變量的設置原則城鄉(xiāng)居民儲蓄存款變化規(guī)律？改革開放以來，隨著經濟的發(fā)展中國城鄉(xiāng)居民的收入快速增長，同時城鄉(xiāng)居民的儲蓄存款也迅速增長。經濟學界的一種觀點認為，20世紀90年代以后由于經濟體制、住房、醫(yī)療、養(yǎng)老等社會保障體制的變化，使居民的儲蓄行為發(fā)生了明顯改變。其中：

為什么要引入虛擬變量？

虛擬變量（dummyvariables）：這種不可直接度量的因素，根據(jù)其屬性類型，構造只取“0”或“1”的人工變量，通常稱為虛擬變量，記為D。

經濟中的變量可直接度量：商品需求量、價格、收入等不可直接度量：性別、職業(yè)對收入的影響；季節(jié)、政策等虛擬變量的基本含義虛擬變量模型：同時含有一般解釋變量與虛擬變量的模型稱為虛擬變量模型。虛擬變量模型例如，反映性別的虛擬變量可取為：

1，男性

D=0，女性一個以性別為虛擬變量考察個體收入與食品支出關系的模型：其中，Y為食品支出；X為稅后收入；

D=1代表男性，D=0代表女性例：男女個體消費者每年的食品支出(美元)年齡女性食品支出女性稅后收入男性食品支出男性稅后收入<2519831155722301158925-3429872938737573332835-4429933146338213615145-5431562955432913544855-64270625137342932988>65221714952253320437虛擬變量模型例：食品支出與稅后收入和性別的關系觀察值食品支出稅后收入性別觀察值食品支出稅后收入性別119831155707223011589122987293870837573332813299331463093821361511431562955401032913544815270625137011342932988162217149520122533204371虛擬變量模型虛擬變量的引入方法虛擬變量做為解釋變量引入模型有兩種基本方式：加法方式和乘法方式。

方式：將虛擬變量作為一個單獨解釋變量加入模型。企業(yè)職工薪金模型中性別虛擬變量的引入。

1、加法方式（考察截距的變化）虛擬變量的引入

女職工的平均薪金：

男職工的平均薪金：假定2>0，則兩個函數(shù)有相同的斜率，但有不同的截距。即男女職工平均薪金對工齡的變化率是一樣的，但兩者的平均薪金水平相差2。通過傳統(tǒng)的回歸檢驗，對2的統(tǒng)計顯著性進行檢驗，以判斷企業(yè)男女職工的平均薪金水平是否有顯著差異。02虛擬變量的引入

例：在橫截面數(shù)據(jù)基礎上，考慮個人保健支出對個人收入和教育水平的回歸。

教育水平考慮三個層次：高中以下，高中，大學及其以上，這時需要引入兩個虛擬變量：模型可設定如下：

虛擬變量的引入

?íì=011D

其他高中

?íì=012D

其他大學及其以上在E(i)=0的初始假定下，高中以下、高中、大學及其以上教育水平下個人保健支出的函數(shù)：

高中以下：

高中：

大學及其以上：

假定3>2，其幾何意義：

虛擬變量的引入

還可將多個虛擬變量引入模型中以考察多種“定性”因素的影響。如在上述職工薪金的例中，再引入代表學歷的虛擬變量D2：

本科及以上學歷本科以下學歷職工薪金的回歸模型可設計為：多個虛擬變量的引入男性女性女職工本科以下學歷的平均薪金：女職工本科以上學歷的平均薪金：于是，不同性別、不同學歷職工的平均薪金分別為：男職工本科以下學歷的平均薪金：男職工本科以上學歷的平均薪金：多個虛擬變量的引入2、乘法方式加法方式引入虛擬變量測量：截距的不同;乘法方式引入虛擬變量測量：斜率的變化;方式：將虛擬變量與原解釋變量相乘作為新的解釋變量加入到模型中。

例：根據(jù)消費理論，消費水平C主要取決于收入水平Y，但在一個較長的時期，人們的消費傾向會發(fā)生變化，這種消費傾向的變化可通過在收入的系數(shù)中引入虛擬變量來考察。虛擬變量的引入消費模型可建立如下：假定E(i)=0，上述模型所表示的函數(shù)可化為：

正常年份：

反常年份：虛擬變量的引入虛擬變量的引入案例能源問題:下表是某國1966年~1979年能源需求與相應GDP的數(shù)據(jù)資料。年份初次能源需求量Y實際GDPX年份初次能源需求量Y實際GDPX196510010019731141501966106108197411715619671151171975121161196812212319761231691969129132197712917419701361411978130177197114114519791341831972143154Y與X的散點圖如下：X1965196619671968196919701971197219731974197519761977197819799010011012013014015080100120140160180200Y虛擬變量的引入案例回歸結果如下：可以看出，模型的擬合度非常不好。

考慮1973年石油危機以后,該國能源需求結構的變化,對下面引入虛擬變量的多元回歸模型進行OLS估算。0石油沖擊前（1965－1972）1石油沖擊后（1973－1979）

Di＝虛擬變量的引入案例其中設β3<0是因為考慮到石油沖擊后,出現(xiàn)了節(jié)能性的經濟增長。重新回歸，得到結果如下：

結論：石油沖擊前的系數(shù)為0.839,石油沖擊后的系數(shù)為0.640.可見石油沖擊后，經濟增長模式向節(jié)能化方向轉變。虛擬變量的引入案例

當截距與斜率發(fā)生變化時，需要同時引入加法與乘法形式的虛擬變量。例5.1.1，考察2007年中國內地農村居民與城鎮(zhèn)居民邊際消費傾向是否存在差異。表5.1.1中給出了中國內地2007年城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入與人均生活消費支出，以及農村居民家庭人均可支配收入與人均生活消費支出的相關數(shù)據(jù)。虛擬變量的引入

以Y為人均消費，X為人均可支配收入，可令：農村居民：Yi=1+2Xi+1ii=1,2…,n1

城鎮(zhèn)居民：Yi=1+2Xi+2ii=1,2…,n2

則有可能出現(xiàn)下述四種情況中的一種：

(1)1=1,2=2,即兩個回歸相同，稱為重合回歸；

(2)11,但2=2

，即兩個回歸的差異僅在其截距，稱為平行回歸;(3)1=1，但22，即兩個回歸的差異僅在其斜率，稱為匯合回歸；

(4)11，且22，即兩個回歸完全不同，稱為相異回歸。

將n1與n2次觀察值合并，并用以估計以下回歸：Di為引入的虛擬變量：于是有：可分別表示城鎮(zhèn)居民和農村居民消費函數(shù)。

在統(tǒng)計檢驗中，如果4=0的假設被拒絕，則說明兩個時期中儲蓄函數(shù)的斜率不同。農村居民城鎮(zhèn)居民回歸結果為：

由3與4的t檢驗可知：這兩個參數(shù)并非顯著地不等于0，也就是說，2007年農村居民與城鎮(zhèn)居民的邊際消費傾向并無顯著差異，有著共同的消費函數(shù)：(1.23)(26.61)(-0.62)(0.49)=0.9799

3、臨界指標的虛擬變量的引入

截距、斜率同時發(fā)生變化，一般多用在經濟轉

折時期。做法：原解釋變量減去轉折期指標再乘

以虛擬變量作為新的解釋變量。

例如，進口消費品數(shù)量Y主要取決于國民收入X的多少，中國在改革開放前后，Y對X的回歸關系明顯不同。假定t*=1979年為轉折期，1979年的國民收入Xt*為臨界值，設如下虛擬變量：虛擬變量的引入回歸方程為兩時期進口消費品函數(shù)分別為：當t<t*=1979年，當tt*=1979年，則進口消費品的回歸模型可建立如下：虛擬變量的引入課本圖5.1.3虛擬變量的設置原則虛擬變量的設置原則

虛擬變量的個數(shù)需按以下原則確定：

每一定性變量所需的虛擬變量個數(shù)要比該定性變量的類別數(shù)少1，即如果該變量有m個屬性，只在模型中引入m-1個虛擬變量。例：已知冷飲的銷售量Y除受k種定量變量Xk的影響外，還受春、夏、秋、冬四季變化的影響，要考察該四季的影響，只需引入三個虛擬變量即可：則冷飲銷售量的模型為：在上述模型中，若再引入第四個虛擬變量則冷飲銷售模型變量為：其矩陣形式為：虛擬變量的設置原則

如果只取六個觀測值，其中春季與夏季取了兩次，秋、冬各取到一次觀測值，則式中的：

顯然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的線性組合，從而(X,D)不滿秩，參數(shù)無法唯一求出。這就是所謂的“虛擬變量陷阱”，應避免。虛擬變量的設置原則某商品需求函數(shù)為，其中y為需求量，x為價格。為了考慮“地區(qū)”（農村、城市）和“季節(jié)”（春、夏、秋、冬）兩個因素的影響，擬引入虛擬變量，則應引入虛擬變量的個數(shù)為（）。

A.2B.4C.5D.6

2.假定月收入水平在1000元以內時，居民邊際消費傾向維持在某一水平，當月收入水平達到或超過1000，邊際消費傾向將明顯下降，則描述消費（C）依入（I）變動的線性關系宜采用（）。、D同上

ABCD3.根據(jù)樣本資料建立某消費函數(shù)如下：其中C為消費，x為收入，所有參數(shù)均檢驗顯著，則城鎮(zhèn)家庭的消費函數(shù)為()。

A.B.C.D.§5.2滯后變量模型

◆滯后變量模型

◆分布滯后模型的參數(shù)估計

◆自回歸模型的參數(shù)估計◆格蘭杰因果關系檢驗

貨幣供給對通貨膨脹的滯后期？

貨幣主義學派認為，產生通貨膨脹的必要條件是貨幣的超量供應。物價變動與貨幣供應量的變化有著較為密切的聯(lián)系，但是二者之間的關系不是瞬時的，貨幣供應量的變化對物價的影響存在一定時滯。有研究表明，西方國家的通貨膨脹時滯大約為2—3個季度。在中國，大家普遍認同貨幣供給的變化對物價具有滯后影響，但滯后期究竟有多長，還存在不同的認識。

◆案例消費函數(shù)假定某消費者每年的收入增加2000元，按照一般的經驗，人們并不會馬上花完增加的收入。例如，某消費者可能會把各年增加的收入按以下形式分配：當年增加消費支出800元，第二年增加消費支出600元，第三年又增加消費支出400元，而把所余的部分用于儲蓄，到第三年，此人的年消費支出將增加1800元。不難看出，第三年的消費支出不僅取決于當年的收入，還與第一年和第二年的收入有關，于是我們可以把消費函數(shù)寫成：

其中，Y表示消費支出，X表示收入，C表示常數(shù)。

滯后效應：被解釋變量不僅受到解釋變量當期值的影響，還可能受到自身或解釋變量過去值的影響，這種現(xiàn)象稱為滯后效應。

滯后變量（LaggedVariable）：過去時期的，具有滯后作用的變量稱為滯后變量。

滯后變量模型：含有滯后解釋變量的模型，考慮了時間因素的作用，使靜態(tài)分析的問題有可能成為動態(tài)分析。又稱動態(tài)模型（DynamicalModel）。滯后變量模型涉及的概念

產生滯后效應的原因

◆心理因素人們的心理定勢，行為方式滯后于經濟形勢的變化，如中彩票的人不可能很快改變其生活方式。

◆技術原因如當年的產出在某種程度上依賴于過去若干期內投資形成的固定資產。

◆制度原因如定期存款到期才能提取，造成了它對社會購買力的影響具有滯后性。滯后變量模型

以滯后變量作為解釋變量，就得到滯后變量模型。它的一般形式為：

q，s：滯后時間間隔

自回歸分布滯后模型：既含有Y對自身滯后變量的回歸，還包括著X不同時期的滯后變量有限自回歸分布滯后模型：滯后期長度有限無限自回歸分布滯后模型：滯后期無限，

分布滯后模型

分布滯后模型：模型中沒有滯后被解釋變量，僅有解釋變量X的當期值及其若干期的滯后值：

0：短期(short-run)或即期乘數(shù)(impactmultiplier)，表示本期X變化一單位對Y平均值的影響程度。

i(i=1,2…,s)：動態(tài)乘數(shù)或延遲系數(shù)，表示各滯后期X的變動對Y平均值影響的大小。

如果各期的X值保持不變，則X與Y間的長期或均衡關系即為稱為長期（long-run）或均衡乘數(shù)表示X變動一個單位，由于滯后效應而形成的對Y平均值總影響的大小。

分布滯后模型自回歸模型而

稱為一階自回歸模型（first-orderautoregressivemodel）。

自回歸模型：模型中的解釋變量僅包含X的當期值與被解釋變量Y的一個或多個滯后值分布滯后變量模型

參數(shù)估計

無限期的分布滯后模型，由于樣本觀測值的有限性，使得無法直接對其進行估計。有限期的分布滯后模型，OLS會遇到如下問題：

1、沒有先驗準則確定滯后期長度；

2、如果滯后期較長，將缺乏足夠的自由度進行估計和檢驗；

3、同名變量滯后值之間可能存在高度線性相關，即模型存在高度的多重共線性。分布滯后模型估計的困難

分布滯后模型的修正估計方法的基本思想：都是通過對各滯后變量加權，組成線性合成變量而有目的地減少滯后變量的數(shù)目，以緩解多重共線性，保證自由度。（1）經驗加權法（2）阿爾蒙（Ａlmon）多項式法（3）科伊克（Koyck）方法分布滯后模型參數(shù)估計遞減型：

即認為權數(shù)是遞減的，X的近期值對Y的影響較遠期值大。如消費函數(shù)中，收入的近期值對消費的影響作用顯然大于遠期值的影響。例如：滯后期為3的一組權數(shù)可取值如下：

1/2，1/4，1/6，1/8則新的線性組合變量為：

經驗加權法

即認為權數(shù)是相等的，X的逐期滯后值對Y值的影響相同。如滯后期為3，指定相等權數(shù)為1/4，則新的線性組合變量為：

矩型：

經驗加權法

權數(shù)先遞增后遞減呈倒“V”型。例如：在一個較長建設周期的投資中，歷年投資X為產出Y的影響，往往在周期期中投資對本期產出貢獻最大。如滯后期為4，權數(shù)可取為：1/6，1/4，1/2，1/3，1/5則新變量為倒V型

經驗加權法◆經驗加權法某消費者收入分配情況存在滯后現(xiàn)象，為研究該消費者收入對消費支出的影響，建立分布滯后變量模型：又知該消費者收入分配權數(shù)為1/2，1/4，1/6，1/8，為估計模型參數(shù)，構建新變量：原模型變?yōu)椋航涷灱訖喾ò咐治?/p>

已知1955-1974年美國制造業(yè)庫存量Y和銷售額X的統(tǒng)計資料，如表5-1所示。設定有限分布滯后模型為運用經驗加權法，選擇下列三組權數(shù)（1）1，1/2，1/4，1/8；（2）1/4，1/2，2/3，1/4；（3）1/4，1/4，1/4，1/4；分別估計上述模型，并從中選擇最佳的方程。經驗加權法案例分析

表5-11955-1974年美國制造業(yè)庫存量Y和銷售額X的統(tǒng)計資料單位：億美元經驗加權法案例分析

記新的線性組合變量分別為在EViews中，輸入X和Y的數(shù)據(jù)，根據(jù)X的數(shù)據(jù)，由上述公式生成線性組合變量Z1、Z2、Z3的數(shù)據(jù)。然后分別估計如下經驗加權模型經驗加權法案例分析

回歸分析結果整理如下模型Ⅰ模型Ⅱ模型Ⅲ主要思想：針對有限滯后期模型，通過阿爾蒙變換，定義新變量，以減少解釋變量個數(shù)，然后用OLS法估計參數(shù)。

對于有限期分布滯后變量模型：阿爾蒙（Ａlmon）多項式法

即把寫成于是有：

例如，若滯后系數(shù)的分布如下圖所示，我們可以用二次曲線來逼近：阿爾蒙（Ａlmon）多項式法

第一步：阿爾蒙變換多項式分布滯后模型認為：

將系數(shù)代入上式，得：阿爾蒙（Ａlmon）多項式法

對于有限期分布滯后變量模型：定義新變量

將原模型轉換為：

第二步，模型的OLS估計

對變換后的模型進行OLS估計，得再計算出:求出滯后分布模型參數(shù)的估計值:阿爾蒙（Ａlmon）多項式法

由于m+1<s，可以認為原模型存在的自由度不足和多重共線性問題已得到改善。

需注意的是，在實際估計中，阿爾蒙多項式的階數(shù)m一般取2或3，不超過4，否則達不到減少變量個數(shù)的目的。阿爾蒙（Ａlmon）多項式法案例中國電力基本建設投資與發(fā)電量之間關系電力基本建設投資增量與發(fā)電量增量散點圖下面是直接對滯后6期的模型進行OLS估計的結果：案例中國電力基本建設投資與發(fā)電量之間關系

經過試算發(fā)現(xiàn)，解釋變量X滯后期數(shù)取到第6期，估計結果的經濟意義比較合理。案例中國電力基本建設投資與發(fā)電量之間關系

將系數(shù)代入上式，得：式（5.2）式（5.1）在2階阿爾蒙多項式變換下，對于分布滯后變量模型其中，

（13.62）（1.86）（0.15）（-0.67）

求得的分布滯后模型參數(shù)估計值為

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，模型估計結果如下：案例中國電力基本建設投資與發(fā)電量之間關系代入到阿爾蒙多項式可得：

最后得到分布滯后模型估計式為：

案例中國電力基本建設投資與發(fā)電量之間關系案例中國電力基本建設投資與發(fā)電量之間關系案例中國電力基本建設投資與發(fā)電量之間關系科伊克（Koyck）方法

科伊克方法是將無限分布滯后模型轉換為自回歸模型，然后進行估計。對于無限分布滯后模型：科伊克變換假設i隨滯后期i按幾何級數(shù)衰減：0<<1

顯然，其長期影響乘數(shù)為

科伊克變換的具體做法:將科伊克假定

代入無限分布滯后模型，得滯后一期并乘以，得(*)將（*）減去（**）得科伊克變換模型：(**)科伊克（Koyck）方法

整理得科伊克模型的一般形式：科伊克模型的特點(1)與(2)科伊克（Koyck）方法但科伊克變換也同時產生了兩個新問題：（1）模型存在隨機誤差項的一階自相關性；（2）滯后被解釋變量Yt-1與隨機項vt不獨立。這些新問題需要進一步解決。自回歸模型參數(shù)估計自適應預期模型自適應預期模型

在某些實際問題中，因變量Yt并不取決于解釋變量的當前實際值Xt，而取決于Xt的“預期水平”或“長期均衡水平”Xte。

例如：家庭本期消費水平，取決于本期收入的預期值；市場上某種商品供求量，決定于本期該商品價格的均衡值。因此，自適應預期模型最初表現(xiàn)形式是(*)

其中：r為預期系數(shù),0r1。

這個假定還可寫成：(**)自適應預期模型

預期變量是不可實際觀測的，往往假定為:其中可見自適應預期模型轉化為自回歸模型。由(*)和（**）整理得局部調整模型◆局部調整模型主要是用來研究物資儲備問題◆例如，企業(yè)為了保證生產和銷售，必須保持一定的原材料儲備。對應于一定的產量或銷售量Xt，存在著預期的最佳庫存。◆局部調整模型的最初形式為式(5.4)

Yte不可觀測。由于生產條件的波動，生產管理方面的原因，庫存儲備Yt的實際變化量只是預期變化的一部分。局部調整模型或：(*)其中，為調整系數(shù)，01將原式代入到（*）式得可見，局部調整模型轉化為自回歸模型

儲備按預定水平逐步進行調整，故有如下局部調整假設：局部調整模型

局部調整模型：

存在：滯后被解釋變量Yt-1與隨機擾動項t的異期相關性。

解決辦法：OLS估計方法自回歸模型的參數(shù)估計存在的主要問題◆滯后被解釋變量與隨機干擾項異期相關案例中國長期貨幣流通量需求模型

經驗表明：中國改革開放以來，對貨幣需求量(Y)的影響因素，主要有資金運用中的貸款額(X)以及反映價格變化的居民消費者價格指數(shù)(P)。

長期貨幣流通量模型可設定為由于長期貨幣流通需求量不可觀測，作局部調整:

(*)(**)將（*）式代入（**）得短期貨幣流通量需求模型：案例中國長期貨幣流通量需求模型運用OLS法估計結果如下

（-2.93）(2.86)(3.10)(2.87)

由得

最后得到長期貨幣流通需求模型的估計式：

案例中國長期貨幣流通量需求模型自回歸模型的參數(shù)估計存在的主要問題

考伊克模型：◆滯后被解釋變量與隨機擾動項同期相關，同時隨機干擾項自相關；

自適應預期模型：顯然存在：解決方法：工具變量法工具變量法假設Yt-1與t同期相關，通常采用工具變量法，即尋找一個新的經濟變量Zt，用來代替Yt-1。

對于一階自回歸模型

在實際估計中，一般用X的若干期滯后的線性組合作為Yt-1的工具變量:適用范圍：滯后被解釋變量與隨機擾動項同期相關同時隨機干擾項自相關；

案例美國制造業(yè)固定廠房設備投資和商品銷售量之間關系

經驗表明，制造業(yè)廠房設備投資更容易受本期商品銷售量預期的影響，建立模型：

由于商品銷售量預期是不可觀測指標，將上述模型用自適應預期公式進行調整，得到：案例美國制造業(yè)固定廠房設備投資和商品銷售量之間關系美國制造業(yè)固定廠房設備投資Y和商品銷售量X趨勢圖案例美國制造業(yè)固定廠房設備投資和商品銷售量之間關系

由于上述模型存在隨機解釋變量，并且其與隨機干擾項同期相關，選擇新的經濟變量Zt用來代替Yt-1。

首先做Y關于X及其滯后變量的回歸，得到Y的估計量LSYCXX(-1)X(-2);然后利用估計的結果產生新變量，用作為工具變量代替。但是發(fā)現(xiàn)模型存在兩階自相關，因此用迭代法：

LSYCXZ(-1)AR(1)AR(2)得到下列結果：案例美國制造業(yè)固定廠房設備投資和商品銷售量之間關系上述估計結果為

（-1.25）(2.18)(0.885)由得

最后得到美國制造業(yè)固定廠房設備投資回歸方程為：案例美國制造業(yè)固定廠房設備投資和商品銷售量之間關系格蘭杰因果關系檢驗自回歸分布滯后模型旨在揭示：某變量的變化受其自身及其他