高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)整理(蘇教版)

第一講集合一、知識(shí)精點(diǎn)講解1．集合：某些指定的對(duì)象集在一起成為集合。（1）集合中的對(duì)象稱(chēng)元素，若a是集合A的元素，記作；若b不是集合A的元素，記作；（2）集合中的元素必須滿(mǎn)足：確定性、互異性與無(wú)序性；確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體（對(duì)象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素；無(wú)序性：集合中不同的元素之間沒(méi)有地位差異，集合不同于元素的排列順序無(wú)關(guān)；（3）表示一個(gè)集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)。具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問(wèn)題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無(wú)限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法。（4）常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實(shí)數(shù)集，記作R。2．集合的包含關(guān)系：（1）集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則稱(chēng)A是B的子集（或B包含A），記作AB（或）；集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱(chēng)A等于B，記作AB；若AB且A≠B，則稱(chēng)A是B的真子集，記作AB；（2）簡(jiǎn)單性質(zhì)：1）AA；2）A；3）若AB，BC，則AC；4）若集合A是n個(gè)元素的集合，則集合A有2n個(gè)子集（其中2n－1個(gè)真子集）；3．全集與補(bǔ)集：（1）包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素的集合稱(chēng)為全集，記作U；（2）若S是一個(gè)集合，AS，則，稱(chēng)S中子集A的補(bǔ)集；4．交集與并集：（1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集。（2）一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱(chēng)為集合A與B的并集。。注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問(wèn)題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。第二講函數(shù)概念與表示一、知識(shí)精點(diǎn)講解1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)fx和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作：yfx，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合fx|x∈A叫做函數(shù)的值域。注意：（1）“yfx”是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如“ygx”；（2）函數(shù)符號(hào)“yfx”中的fx表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是f乘x。2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域（1）解決一切函數(shù)問(wèn)題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：①自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）；②限制型：指命題的條件或人為對(duì)自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，往往也是難點(diǎn)，因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽，容易犯錯(cuò)誤；③實(shí)際型：解決函數(shù)的綜合問(wèn)題與應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義。（2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域問(wèn)題。①配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；②判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；③不等式法（運(yùn)用不等式的各種性質(zhì)）；④函數(shù)法（運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）。3．兩個(gè)函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域A、值域C和對(duì)應(yīng)法則f。當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。4．區(qū)間：區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間；5．映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：AB”。函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種的對(duì)應(yīng)就叫映射。注意：（1）這兩個(gè)集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對(duì)應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹?。?）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說(shuō)有且只有一個(gè)的意思。6．常用的函數(shù)表示法：（1）解析法：（2）列表法：（3）圖象法：7．分段函數(shù)若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱(chēng)分段函數(shù)；8．復(fù)合函數(shù)若yfu，ugx,xa，b，um,n，那么yf[gx]稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)，u稱(chēng)為中間變量，它的取值范圍是gx的值域。第三講函數(shù)的基本性質(zhì)一、要點(diǎn)精講1．奇偶性（1）定義：如果對(duì)于函數(shù)fx定義域內(nèi)的任意x都有f－x－fx，則稱(chēng)fx為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)fx定義域內(nèi)的任意x都有f－xfx，則稱(chēng)fx為偶函數(shù)。如果函數(shù)fx不具有上述性質(zhì)，則fx不具有奇偶性.如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則fx既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意：函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；確定f－x與fx的關(guān)系；作出相應(yīng)結(jié)論：若f－xfx或f－x－fx0，則fx是偶函數(shù)；若f－x－fx或f－x＋fx0，則fx是奇函數(shù)。（3）簡(jiǎn)單性質(zhì)：①圖象的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；②設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇奇，奇奇偶，偶+偶偶，偶偶偶，奇偶奇2．單調(diào)性（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)yfx的定義域?yàn)镮， 如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有fx1fx2（fx1fx2），那么就說(shuō)fx在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1x2時(shí)，總有fx1fx2（2）如果函數(shù)yfx在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)yfx在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做yfx的單調(diào)區(qū)間。（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)yf[gx]，其中ugx,A是yf[gx]定義域的某個(gè)區(qū)間，B是映射g:x→ugx的象集：①若ugx在A上是增（或減）函數(shù)，yfu在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)yf[gx]在A上是增函數(shù)；②若ugx在A上是增（或減）函數(shù)，而yfu在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)yf[gx]在A上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟：任取x1，x2∈D，且x1x2；作差fx1－fx2；變形（通常是因式分解和配方）；定號(hào)（即判斷差fx1－fx2的正負(fù)）；下結(jié)論（即指出函數(shù)fx在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。（5）簡(jiǎn)單性質(zhì)①奇函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同；②偶函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相反；③在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。3．最值（1）定義：最大值：一般地，設(shè)函數(shù)yfx的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：①對(duì)于任意的x∈I，都有fx≤M；②存在x0∈I，使得fx0M。那么，稱(chēng)M是函數(shù)yfx的最大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù)yfx的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：①對(duì)于任意的x∈I，都有fx≥M；②存在x0∈I，使得fx0M。那么，稱(chēng)M是函數(shù)yfx的最大值。注意：函數(shù)最大（小）首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得fx0M；函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中