第八章復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)及強度理論

第八章復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)及強度理論王麗蘋內(nèi)容提要基本變形小結(jié)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)一點處的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)分析強度理論彎曲和拉壓的組合作用圓軸彎曲和扭轉(zhuǎn)的組合作用掌握組合變形的概念。掌握應(yīng)力狀態(tài)、強度理論的概念掌握解析法和圖解法分析二向應(yīng)力狀態(tài)掌握拉壓與彎曲組合變形的強度計算。掌握彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形的強度計算。教學(xué)目的與要求應(yīng)力狀態(tài)、強度理論的概念解析法和圖解法分析二向應(yīng)力拉壓與彎曲組合變形的強度計算。彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形的強度計算。教學(xué)重點教學(xué)難點應(yīng)力狀態(tài)、強度理論的概念解析法和圖解法分析二向應(yīng)力拉壓與彎曲組合變形的強度計算。彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形的強度計算。§8－1

基本變形小結(jié)一、拉伸和壓縮PPPPPPmnPN

PN′

∑Fx=0P-N=0N=P歸納：截，取，代，平（一）截面法求內(nèi)力Pσ縱向變形橫向變形（二）拉伸時內(nèi)力在橫截面上的分布低碳鋼拉伸時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線鑄鐵拉伸時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線拉伸曲線壓縮曲線低碳鋼拉壓時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線鑄鐵拉壓時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線許用應(yīng)力脆性材料的許用應(yīng)力脆性材料的許用應(yīng)力強度條件（三）拉伸時的強度條件2PP1122試求圖示桿件橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力。桿橫截面面積為250mm2，P=10kN。如圖所示，AB為圓鋼桿，[σ]=140MPa，BC為方木桿，[σ]=50MPa,，若載荷P=40kN，試求兩桿的橫截面面積。BACP2m1mTBCTABPxy一根鋼桿，其彈性模量E=2.1×105MPa，比例極限σp=210MPa，在軸向拉力P的作用下，縱向應(yīng)變ε=0.001，求此時桿橫截面上的正應(yīng)力。如果加大拉力P，使桿件的縱向線應(yīng)變增加到0.01，問此時桿截面上的正應(yīng)力能否由胡克定律確定，為什么？如果加大拉力P，使桿件的縱向線應(yīng)變增加到0.01，問此時桿截面上的正應(yīng)力不能由胡克定律確定。因為此時變形已經(jīng)超出了彈性變形范圍。二、剪切一般認(rèn)為剪切面上剪應(yīng)力是均勻分布的。剪切強度條件（一）剪切變形和剪切胡克定律d′γbdc′ca剪應(yīng)變：直角所改變的角度γ。剪切虎克定律（二）擠壓及擠壓應(yīng)力擠壓強度條件三、扭轉(zhuǎn)外力偶矩扭矩：扭轉(zhuǎn)軸截面上的內(nèi)力。其大小等于截面一側(cè)外力偶矩的代數(shù)和。（一）軸橫截面上的切應(yīng)力軸向纖維沒有拉、壓變形，橫截面上沒有正應(yīng)力產(chǎn)生。橫截面上切應(yīng)力，其方向沿著軸圓周的切線方向，與半徑垂直。扭轉(zhuǎn)變形時，橫截面上只有切應(yīng)力τ（二）軸橫截面上的切應(yīng)力的分布規(guī)律（三）切應(yīng)力的計算公式（四）極慣性矩和抗扭截面模量計算公式1、實心圓軸2、空心圓軸（五）強度條件及剛度條件1、強度條件2、剛度條件四、彎曲F

F

縱向?qū)ΨQ面簡支梁PRARBABC（一）梁的類型外伸梁2aaqP=qaABDRARB懸臂梁ql（二）內(nèi)力－剪力Q與彎矩M剪力左側(cè)梁:↑(+);↓(-)右側(cè)梁：↓(+);↑(-)彎矩力：↑（+）；↓（-）力偶：左側(cè)（+）；（-）右側(cè)（+）；（-）歸納①Q(mào)圖曲線的切線斜率為q(x)②M圖曲線的切線斜率為Q(x)③M圖曲線的凹凸向與q(x)符號有關(guān)（三）梁橫截面上的正應(yīng)力同層纖維變形相等(平面截面假設(shè))。各縱向纖維之間互不擠壓。橫截面上只有正應(yīng)力，沒有切應(yīng)力。（三）梁橫截面上的正應(yīng)力的分布規(guī)律xydyyhb（四）慣性矩和抗彎截面模量計算公式（四）梁的撓度和轉(zhuǎn)角qyzAO撓曲線A'撓度y梁的撓曲線方程qyzAOA'θθ轉(zhuǎn)角θ：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。梁的轉(zhuǎn)角方程梁彎曲時的剛度條件（六）強度條件和剛度條件1、強度條件2、剛度條件五、總結(jié)實際的受力桿件外力特點屬于哪種變形？拉伸壓縮彎曲剪切扭轉(zhuǎn)受力分析線應(yīng)變角應(yīng)變求支座反力截面法求內(nèi)力拉伸壓縮剪切彎曲扭轉(zhuǎn)根據(jù)變形規(guī)律，確定應(yīng)力分布規(guī)律均勻分布線性分布強度計算校核強度設(shè)計截面確定載荷拉伸壓縮剪切彎曲扭轉(zhuǎn)根據(jù)變形規(guī)律剛度計算§8－2

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)彎曲和壓縮彎曲和扭轉(zhuǎn)§8－3

一點處的應(yīng)力狀態(tài)PPPPPP一、一點處應(yīng)力狀態(tài)PPanammPmmPaPmmnPa

過一點不同方位的截面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點處的應(yīng)力狀態(tài)。單元體單元體的各邊邊長：dx,dy,dz二、一點處應(yīng)力狀態(tài)的表示方法單元體各個表面上的應(yīng)力分布可以看成是均勻的，單元體任一對平行平面上的應(yīng)力可視為相等。

受拉直桿一點處的應(yīng)力狀態(tài)純彎曲梁一點處的應(yīng)力狀態(tài)受扭圓軸一點處的應(yīng)力狀態(tài)單元體上沒有切應(yīng)力的面稱為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，分別用表示，并且，該單元體稱為主單元體。三、主平面、主應(yīng)力、應(yīng)力狀態(tài)的分類空間（三向）應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)：一個主應(yīng)力為零單向應(yīng)力狀態(tài)：兩個主應(yīng)力為零§8－4

應(yīng)力狀態(tài)分析一、解析法正負(fù)號規(guī)則：正應(yīng)力：拉為正；壓為負(fù)切應(yīng)力：使微元順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負(fù)。α角：

由x

軸正向逆時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時為正；反之為負(fù)。利用三角函數(shù)公式并注意到化簡得正應(yīng)力極值和方向設(shè)α＝α0

時，上式值為零，即最大和最小正應(yīng)力分別為：主應(yīng)力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3上式有兩個解：ao和ao+90，在它們所確定的兩個互相垂直的平面上，正應(yīng)力取得極值。且絕對值小的角度所對應(yīng)平面為最大正應(yīng)力所在的平面，另一個是最小正應(yīng)力所在的平面。

結(jié)論：正應(yīng)力為最大或最小所在的平面，是主平面。所以，主應(yīng)力就是最大或最小的正應(yīng)力。當(dāng)α＝αo

時，切應(yīng)力為零對于同一個點所截取的不同方位的單元體，其相互垂直面上的正應(yīng)力之和是一個不變量。

切應(yīng)力極值和方向設(shè)α＝α1

時，上式值為零，即最大和最小正應(yīng)力分別為：上式有兩個解：a1和a1±90，在它們所確定的兩個互相垂直的平面上，切應(yīng)力取得極值。若，絕對值小的角度所對應(yīng)平面為最大切應(yīng)力所在的平面，另一個是最小切應(yīng)力所在的平面。

主平面與剪應(yīng)力極值所在的平面之間的關(guān)系最大和最小剪應(yīng)力所在的平面與主平面的夾角為45o。試求（1）斜面上的應(yīng)力；

（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。例題1：一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知解：（1）斜面上的應(yīng)力（2）主應(yīng)力、主平面主平面的方位：代入表達(dá)式可知主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：（3）主單元體：20MPa40MPa100MPa例題2：一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。試求（1）主應(yīng)力、主平面；（2）繪出主應(yīng)力單元體。20MPa40MPa100MPa解：（1）最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力（2）主平面的方位主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：（3）單元體例題3：一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。試求（1）主應(yīng)力、主平面；（2）繪出主應(yīng)力單元體。20MPa20MPa30MPa解：（1）最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力20MPa20MPa30MPa（2）主平面的方位主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：（3）單元體二、圖解法將二式分別改寫成如下形式：將以上二式各自平方后再相加，得這是一個以正應(yīng)力σ為橫坐標(biāo)、切應(yīng)力τ為縱坐標(biāo)的圓的方程。

。圓心的橫坐標(biāo)為

圓心的半徑為

圓的任一點的縱、橫坐標(biāo)，分別代表單元體相應(yīng)截面上的切應(yīng)力與正應(yīng)力，此圓稱為應(yīng)力圓或莫爾(O.Mohr)圓

。RC應(yīng)力圓的繪制建立坐標(biāo)系。在坐標(biāo)系中畫出點和，D1D2與軸的交點C便是圓心。以C點為圓心，CD1或CD2半徑畫圓。CD1D2OB1B2A2A1CD1D2OB1B2A2A1E2aCD1D2OB1B2A2A1單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系圓上一點坐標(biāo)對應(yīng)單元體一個截面上應(yīng)力值

對應(yīng)夾角轉(zhuǎn)向相同

圓上兩點所夾圓心角等于兩截面法線夾角的兩倍

CD1D2OB1B2A2A1CD1D2OB1B2A2A1最大切應(yīng)力與主應(yīng)力的關(guān)系：

例4：分別用解析法和圖解法求圖示單元體

(1)指定斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力; (2)主應(yīng)力值及主方向，并畫在單元體上。 單位：MPa60解：(一)使用解析法求解

60

(二)使用圖解法求解作應(yīng)力圓，從應(yīng)力圓上可量出：作業(yè)試畫出相應(yīng)的應(yīng)力圓，并確定各斜截面上的應(yīng)力。基本變形時的胡克定律yx軸向拉壓胡克定律橫向變形純剪切胡克定律

三、廣義虎克定律σx：σy

：

疊加：

廣義虎克定律在三向主應(yīng)力作用下，單元體分別沿σ1、σ2

、σ3作用方向的線應(yīng)變：§8-5強度理論一、強度理論的概念拉（壓）、純彎曲時，危險點的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)。強度條件：扭轉(zhuǎn)時，危險點的應(yīng)力狀態(tài)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)

實際工程中的許多構(gòu)件，其危險點是處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。

因此，有必要研究構(gòu)件在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞的類型和原因。強度理論：某一類型的破壞是由某種因素引起的假說。塑性屈服脆性斷裂實踐表明，材料的破壞形式二、材料的破壞形式三向拉應(yīng)力下塑性材料發(fā)生脆性斷裂。三向壓應(yīng)力下脆性材料有時也發(fā)生明顯的塑性變形。同一材料在不同的應(yīng)力狀態(tài)下也存在兩種不同不同的破壞形式。思考：這兩種破壞形式是什么原因引起的呢？三、四大基本強度理論破壞形式：脆性斷裂提出了解釋材料發(fā)生脆性斷裂的理論，主要包括最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論。破壞形式：塑性屈服提出了解釋材料發(fā)生塑性屈服的理論，主要包括最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論。這些理論分別假設(shè)材料發(fā)生某種類型的破壞是由某一主要因素（最大拉應(yīng)力、最大伸長線應(yīng)變、最大切應(yīng)力或形狀改變能密度）所引起的。即不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)（簡單的或是復(fù)雜的），某種類型的破壞都是由同一種因素引起的。目的：可通過簡單應(yīng)力狀態(tài)下的試驗結(jié)果去推斷復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的強度，建立取強度條件。關(guān)于脆性斷裂的強度理論最大拉應(yīng)力理論（或稱第一強度理論）

最大拉應(yīng)力σ1是引起材料脆性破壞的主要原因。即不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要構(gòu)件內(nèi)一點處的三個主應(yīng)力中最大拉應(yīng)力σ1到達(dá)材料的極限值σjx，材料就會發(fā)生脆性破壞。材料的極限應(yīng)力可通過簡單拉伸試驗測定。因此，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，材料的脆性破壞的條件：強度條件：

用于受拉應(yīng)力的某些脆性材料，鑄鐵、石料、混凝土；不適用于三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)。最大伸長線應(yīng)變理論（或稱第二強度理論）

最大伸長線應(yīng)變ε1是引起材料脆性破壞的主要因素。即不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要構(gòu)件內(nèi)一點處的三個主應(yīng)力中最大伸長線應(yīng)變ε1到達(dá)材料的極限值εjx，材料就會發(fā)生脆性破壞。

材料的脆性破壞的條件：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下一點處的最大線應(yīng)變：強度條件：試驗表明，第二強度理論并不比第一強度理論更復(fù)合試驗結(jié)果。實際工程中更多采用第一強度理論。最大切應(yīng)力理論（或稱第三強度理論）

最大切應(yīng)力τmax是引起材料屈服破壞的主要因素。即不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要構(gòu)件內(nèi)一點處的最大切應(yīng)力τmax到達(dá)材料的極限值τjx，材料就會發(fā)生屈服破壞。材料的屈服破壞的條件：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下一點處的最大切應(yīng)力：強度條件：只適用于拉、壓屈服極限相同的塑性材料。形狀改變比能理論（或稱第四強度理論）變形能：隨著彈性體發(fā)生變形而積蓄在其內(nèi)部的能量。形狀改變比能或變形比能：單位變形體體積內(nèi)所積蓄的變形能。形狀改變比能ud是引起材料屈服破壞的主要因素。即不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要構(gòu)件內(nèi)一點處的形狀改變比能到達(dá)材料的極限值udjx，材料就會發(fā)生屈服破壞。形狀改變比能與三個主應(yīng)力的差值有關(guān)；體積改變比能與三個主應(yīng)力的代數(shù)和有關(guān)。變形比能體積改變比能uθ形狀改變比能ud材料