第4章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析法

03二月20231第四章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析法1.熟練掌握換路定則和電路初始值的求法；2.掌握一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)的概念和物理意義；3.會(huì)計(jì)算和分析一階動(dòng)態(tài)電路(重點(diǎn)是三要素法)；4.了解二階電路零輸入響應(yīng)的概念和物理意義；6.會(huì)計(jì)算一階電路的階躍響應(yīng)。內(nèi)容提要與基本要求03二月20232

重點(diǎn)(1)動(dòng)態(tài)電路方程的建立和動(dòng)態(tài)電路初始值的確定；(2)一階電路時(shí)間常數(shù)的概念與計(jì)算；(3)一階電路的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)；(4)求解一階電路的三要素法；03二月20233難點(diǎn)(1)應(yīng)用基爾霍夫定律和電感、電容的元件特性建立動(dòng)態(tài)電路方程；(2)電路初始條件的概念和確定方法；(3)二階電路的過阻尼、欠阻尼及臨界阻尼放電過程分析方法和基本物理概念。與其它章節(jié)的聯(lián)系

本章討論的仍是線性電路，因此前面討論的線性電路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第4章討論的線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)就是動(dòng)態(tài)電路在正弦激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)分量的求解。一.電容元件把兩塊金屬極板用介質(zhì)(如云母、絕緣紙、電解質(zhì)、空氣等)隔開就構(gòu)成一個(gè)電容器。由于理想介質(zhì)不導(dǎo)電，所以在外電源作用下，兩塊極板上能分別存貯等量的異性電荷。外電源撤走后，這些電荷依靠電場力的作用互相吸引，能長久地存貯在極板上。因此，電容器是一種能儲(chǔ)存電荷的器件。在電荷建立的電場中貯藏著能量，也可以說電容器是一種儲(chǔ)存電場能量的器件。電容元件是實(shí)際電容器的理想化模型?！?-1動(dòng)態(tài)元件線性電容元件的圖形符號：文字符號或元件參數(shù)：C1.若電壓正極所在的極板上儲(chǔ)存的電荷為+qC是一個(gè)正實(shí)常數(shù)，單位是F（法）。則有：q=Cuouq+-u-q+q庫伏特性是一條通過原點(diǎn)的直線。2.若C的i、u取關(guān)聯(lián)參考方向電容是一個(gè)動(dòng)態(tài)元件，有“隔直通交”的作用。逆變換為則有：i=dqdt=d(Cu)dti=dudtC當(dāng)C為常數(shù)時(shí)+-uiC通過C的電流與電壓的變化率成正比！q(t)=∫t-∞i(x)dx

=∫t0-∞i(x)dx

+∫tt0i(x)dx指定t0=0為計(jì)時(shí)起點(diǎn)q(t)

=

q(0)

+∫t0i(x)dx線性電容元件總結(jié)圖形符號：文字符號或元件參數(shù)：C伏安特性：

單位：1F=106mF

=1012pF

儲(chǔ)能元件：動(dòng)態(tài)、記憶、儲(chǔ)能、無源元件i=dudtCwc(t)=21Cu2(t)庫伏特性：q=CuLL三.電感元件實(shí)用的電感器是用銅導(dǎo)線繞制成的線圈。在高頻電路中，常用空心或帶有鐵氧體磁心的線圈。在低頻電路中，如變壓器、電磁鐵等，則采用帶鐵心的線圈。1.線圈通以電流i后將產(chǎn)生磁通L。AB若L與N匝線圈交鏈，則磁通鏈L=N

L

。L和L都是由線圈本身的電流產(chǎn)生的，叫做自感磁通和自感磁通鏈。i2.自感磁通鏈與元件中電流的關(guān)系為：YL=LiL自感系數(shù)或電感。L是一個(gè)正實(shí)常數(shù)。YL和FL的單位用Wb(韋)，i的單位用A，L的單位是H(亨)。有時(shí)還采用mH和H作為L的單位。線性電感元件的圖形符號文字符號或元件參數(shù)LoiYL韋安特性

3.伏安關(guān)系/功率/磁場能量i與u為關(guān)聯(lián)參考方向，與L成右手螺旋關(guān)系。逆關(guān)系為：把YL=Li代入u=dLdtu=Ldidti+-uLi=L1∫-∞tudx=L1∫-∞t0udx+L1∫t0tudx或者：YL=YL(t0)+∫t0tudx動(dòng)態(tài)元件t0時(shí)刻的電流i(t0)記憶元件線性電感元件總結(jié)圖形符號：文字符號或元件參數(shù)：L伏安特性：

單位：1H=103m

H

=106mH

儲(chǔ)能元件：動(dòng)態(tài)、記憶、儲(chǔ)能、無源元件u=didtLwL(t)=21Li2(t)韋安特性：YL=Li03二月202312§4-2電壓和電流初始值的計(jì)算

自然界事物的運(yùn)動(dòng)，在一定的條件下有一定的穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)條件發(fā)生變化時(shí)，就要過渡到新的穩(wěn)定狀態(tài)。從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)換到另一種新穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，往往不能躍變，而是需要一定的時(shí)間，或者說需要一個(gè)過程，在工程上稱為過渡過程。如：冰融化成水、汽車的加速與減速等。引言

電路中也有過渡過程，電路的過渡過程有時(shí)雖然短暫，但在實(shí)踐中卻很重要。03二月202313例：電阻電路SUS+-(t=0)iR1R2otiR1+R2USR2US過渡期為零含有動(dòng)態(tài)元件電容和電感的電路稱動(dòng)態(tài)電路。1.動(dòng)態(tài)電路

當(dāng)動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（稱之為換路）需要經(jīng)歷一個(gè)變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個(gè)變化過程稱為電路的過渡過程。03二月202314例：電容電路uCiUS+-+-RS(t=0)CuCiUS+-+-RSC(t→∞)S接通電源后很長時(shí)間，電容充電完畢，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)：S未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：i

=0,uC

=

US。i=0,uC

=0。?有一個(gè)過渡期0tuCRUS前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)US新的穩(wěn)定狀態(tài)t1i新穩(wěn)定狀態(tài)等效電路03二月202315例：電感電路uLiUS+-+-RSL(t→∞)S接通電源后很長時(shí)間，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路：S未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：uL

=0,i=0,uL

=0。有一個(gè)過渡期0tiRUS前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)US新的穩(wěn)定狀態(tài)t1uLuLiUS+-+-RS(t=0)LUSR新穩(wěn)定狀態(tài)等效電路i

=03二月202316換路的概念電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化

電路內(nèi)部含有儲(chǔ)能元件L、C，電路在換路時(shí)能量發(fā)生變化，而能量的儲(chǔ)存和釋放都需要一定的時(shí)間來完成。支路接入或斷開電路參數(shù)改變過渡過程產(chǎn)生的原因+-1W1W1W10VC+-uC1A+-uS+-10VS1(t=0)S2(t=0.2s)3W2WiL03二月2023172.動(dòng)態(tài)電路的方程若以電流為變量：+-uS(t＞0)RiC+-uC以電壓為變量，應(yīng)用KVL和電容元件的VCR得：Ri

+uC

=uSi=CduCdtRCduCdt+uC

=uSRi

+uC

=uSuC

=1C∫idt

Rdidt+iC=duSdt例如RC串聯(lián)電路。03二月202318再如RL串聯(lián)電路。若以電壓為變量：以電流為變量，應(yīng)用KVL和電感元件的VCR得：Ri

+uL

=uSuL

=LdidtLdidt+Ri

=uSRi

+uL

=uSi

=1L∫uLdt

R+-uS(t＞0)RiL+-uLLuL

+duLdt=duSdt

含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件電容或電感的線性電路，其電路方程為一階線性常微分方程，稱一階電路。有源電阻電路含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件小結(jié)03二月202319再看RLC串聯(lián)電路

含有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件的線性電路，其電路方程為二階線性常微分方程，稱二階電路。+-uS(t＞0)RiL+-uLC-+uC描述動(dòng)態(tài)電路的電路方程是微分方程；動(dòng)態(tài)電路方程的階數(shù)通常等于電路中動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)。

電路中有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。LCd2uCdt2duCdt+RC+uC

=

uS應(yīng)用KVL和元件的VCR得

結(jié)論03二月202320

動(dòng)態(tài)電路的分析方法(1)首先是根據(jù)KVL、KCL和VCR建立微分方程，然后是求解微分方程。(2)分析的方法有：①時(shí)域分析法，包括經(jīng)典法、狀態(tài)變量法、卷積積分、數(shù)值法。②復(fù)頻域分析法，包括拉普拉斯變換法、狀態(tài)變量法、付氏變換。

工程中高階微分方程應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔助分析求解。03二月2023213.電路的初始條件(1)t=0+與t=0-

的概念0+：換路后一瞬間。認(rèn)為換路在t=0時(shí)刻進(jìn)行。0-

：換路前一瞬間。f(0-)=lim

f(t)t→0t＜0f(0+)=lim

f(t)t→0t＞00-0tf(t)0+f(0-)=f(0+)f(0-)≠f(0+)

明確：i及其各階導(dǎo)數(shù)的值。

②在動(dòng)態(tài)電路分析中，①初始條件為t

=0+時(shí)，u、初始條件是得到確定解答的必需條件。03二月202322(2)電容的初始條件當(dāng)i()為有限值，此項(xiàng)為0。

結(jié)論：換路瞬間，若電容電流保持為有限值，

則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。q(t)

=∫t-∞i(x)dx=∫0--∞i(x)dx+∫t0-i(x)dx=q(0-)+∫t0-i(x)dx當(dāng)t=0+時(shí)q(0+)=q(0-)+∫0+0-i(x)dx所以，在換路瞬間有：q(0+)=q(0-)q=Cu，C不變時(shí)有：uC(0+)=uC(0-)電荷守恒Ci+-uC體現(xiàn)03二月202323(3)電感的初始條件用同樣的方法可得：Li+-uL

結(jié)論：換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，

則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。在換路瞬間有：Y(0+)=

Y(0-)Y

=Li，L不變時(shí)有：iL(0+)=iL(0-)磁鏈?zhǔn)睾?4)換路定律！q(0+)=q(0-)uC(0+)=uC(0-)Y(0+)=

Y(0-)iL(0+)=iL(0-)注意：①電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。體現(xiàn)②換路定律反映了能量不能躍變。03二月202324(5)初始值的計(jì)算解t=0-時(shí)刻等效的電路求電路在開關(guān)閉合瞬間各支路電流和電感電壓。①由t=0-時(shí)刻的電路計(jì)算uC(0-)和iL(0-)。iC(0-)=0，C視為開路。iL(0-)=12A，uC(0-)=24ViL(0+)=iL(0-)=12AuC(0+)=uC(0-)=24V由等效電路算出R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViR1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViuL(0-)=0，L視為短路。②由換路定律03二月202325③由t=0+時(shí)刻的等效電路求各電壓電流。電感用電流源替代，電容用電壓源替代，畫出t=0+的等效電路。iC(0+)=48-243=8AuL(0+)=48-2×12=24Vi(0+)=iL(0+)+

iC(0+)

=12

+8=20At=0+時(shí)刻的等效電路R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViR1+-U0SR2iLiC24V12A+-uL+-uCR33W2W2W48ViiL(0+)=iL(0-)=12AuC(0+)=uC(0-)=24V03二月202326

注意t=0-時(shí)刻的等效電路t=0+時(shí)刻的等效電路R1+-U0SR2iLiC24V12A+-uL+-uCR33W2W2W48ViiL(0+)=iL(0-)=12AuC(0+)=uC(0-)=24ViC(0+)=8A≠iC(0-)uL(0+)=24V≠uL(0-)i(0+)=20A≠i(0-)R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48Vi03二月202327小結(jié)：求初始值的步驟①由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0－)和iL(0－)；②由換路定律得uC(0+)和iL(0+)；③畫0+等效電路；④由0+電路求所需各變量的0+值。b.電容用電壓源替代，電感用電流源替代。a.指換路后的電路。c.取0+時(shí)刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同。03二月202328解題指導(dǎo)1：求iC(0+),uL(0+)iSiLS(t=0)L+-uLRC+-uCiCiSiLS(t=0)L+-uLRC+-uCiC解：由0－電路和換路定律得iL(0+)=

iL(0－)=

iSuC(0+)=uC(0－)=

RiSuL(0+)=

-

RiSiC(0+)=

iS

-RiSRiSiSS(t=0)+-uLRC+-iCLRiS=0由0+電路得畫0+等效電路。03二月202329L+-10W10WiLC+-uC10W20Vt=0-時(shí)刻解題指導(dǎo)2：求S閉合瞬間流過它的電流值。解：確定0－值給出0＋等效電路(t=0)+-10W10WiLLC+-uC10W20VSiL(0+)=iL(0-)=2020=1AuC(0+)=uC(0-)+-10W10WiL+-10W20V1A+-uL10ViSiCt=0+時(shí)刻iS(0+)=2010+1010-1=2AuL(0+)=iL(0+)×10=10ViC(0+)=-10uC(0+)=-1A=20-10×1=10V03二月202330

一階電路的分析方法①經(jīng)典法列寫電路的微分方程，求解電流和電壓。是一種在時(shí)間域中進(jìn)行的分析方法。②典型電路分析法記住一些典型電路(RC串聯(lián)、RL串聯(lián)、RC并聯(lián)、RL并聯(lián)等)的分析結(jié)果，在分析非典型電路時(shí)可以設(shè)法套用。§4-3一階電路的零輸入響應(yīng)③三要素法只要知道一階電路的三個(gè)要素，代入一個(gè)公式就可以直接得到結(jié)果，這是分析一階電路的最有效方法。任意NSuCC+-iS(t=0)SUS+-(t=0)+-uCRCi典型電路03二月202331零輸入響應(yīng)

換路后外加激勵(lì)為零，僅由動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的電壓和電流。1.RC電路的零輸入響應(yīng)SR+-uC(t=0)i+-uRU0i=-CduCdt所以duCdtRC+

uC

=0由VCR得：uR

=

Ri，SR+-uC(t≥0+)i+-uRU0由KVL得：-uR

+uC

=

0uC(0+)=U0p=-RC1特征根特征方程：RCp+1=0通解為03二月202332uC

=A

e1RC-t得：uC

=U0

et≥0代入初始值：uC(0+)=uC(0-)=U0SR+-uC(t=0)i+-uRU01RC-ti

=RuC=RU0e1RC-t=I0e1RC-t或者由：i=-CduCdt求出。(1)電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；表明：t0uC

,

it2t3t4tI0U0連續(xù)函數(shù)躍變03二月202333令=RC，稱為一階電路的時(shí)間常數(shù)。(2)響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān)；[]=[RC]=[歐][法]=[歐][庫][伏]=[歐][安秒][伏]=[秒]反映電路過渡過程時(shí)間的長短。即：大→過渡過程時(shí)間長，

的物理含義

大

小電壓初值一定：R大(C一定)→i=u/R→放電電流小放電時(shí)間長。C大(R一定)→W=Cu2/2→儲(chǔ)能大U0t0uC

小→過渡過程時(shí)間短。03二月202334注意：t0t2t3t5tU0U0e-1U0e-2U0e-3U0e-5U00.368U00.135U00.05U00.007U0uC

=U0et-t①：是電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時(shí)間。工程上認(rèn)為，經(jīng)過3～5時(shí)間，過渡過程結(jié)束。②的幾何意義U0t0uC

0.20.40.60.81.02345次切距的長度等于時(shí)間常數(shù)

以該點(diǎn)的斜率為固定變化率衰減，經(jīng)過時(shí)間為零值。03二月202335次切距的長度等于時(shí)間常數(shù)：M

at1

Q

t2

uC(t1)

MQ=

PM

tan

a=uC(t1)

-

duCdtt=t1

=U0t0uC(t)=U0et-tU0et-t1U0et-t1t1=tt=t2-t1

任取一點(diǎn)P，通過P點(diǎn)作切線PQ。P

03二月202336(3)能量關(guān)系電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。設(shè)uC(0+)=U0則電容放出能量：電阻吸收（消耗）能量：SR+-uC(t≥0+)i+-uRU021CU02WR=∫∞0

Ri2dt=∫∞0

R

(U0Re1RC-t

)2dt=U0R2(-RC2e2tRC-)0∞=21CU0203二月202337例1：電路如圖，電容原充有24V電壓，求S閉合后，電容電壓和各支路電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。+-2Wi1S5FuCi2i33W6W+-i15FuC4W解這是一個(gè)求一階RC零輸入響應(yīng)問題。t＞0有：uC

=U0

et≥01RC-tU0=24V，RC=4×5=20s所以：uC

=

24

e20-tVt≥0i1

=4uC=6

e20-tA分流：i2

=32i1=4

e20-tAi3

=3i1=2

e20-tA03二月202338例2求：(1)圖示電路S閉合后各元件的電壓和電流隨時(shí)間變化的規(guī)律，(2)電容的初始儲(chǔ)能和最終時(shí)刻的儲(chǔ)能及電阻的耗能。u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。i-++-250kW+-uC1=5mFC2=20mFSu1u2解：(1)仍是一階RC零輸入響應(yīng)問題C1+C2C1C2C=5+20=5×20=4mFt＞0+-uC+-i4mFuC250kW20V+-u

uC(0+)=uC(0-)=-u1(0-)+u2(0-)=20Vt

=

RC=250×103×4×10-6=1s所以：u=

uC

=

20

e-t

V

t≥0i

=250×103u=80

e-t

mA03二月202339例2求：(1)圖示電路S閉合后各元件的電壓和電流隨時(shí)間變化的規(guī)律，(2)電容的初始儲(chǔ)能和最終時(shí)刻的儲(chǔ)能及電阻的耗能。u1(t)

=u1(0)

+∫t0i(x)dxC11u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。i=80

e-t

mAi-++-250kW+-uC1=5mFC2=20mFSu1u2+-uC=

4+∫t080

e-tdt51=(20-16e-t)

Vu2(t)

=u2(0)

-∫t0i(x)dxC21=

24

-∫t080

e-tdt201=(20+4e-t)

Vu=20

e-t

V

t≥0u1(∞)=20V，u2(∞)=20V。uC(∞)=u2(∞)-u1(∞)=003二月202340例2求：(1)圖示電路S閉合后各元件的電壓和電流隨時(shí)間變化的規(guī)律，(2)電容的初始儲(chǔ)能和最終時(shí)刻的儲(chǔ)能及電阻的耗能。u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。i=80

e-t

mAi-++-250kW+-uC1=5mFC2=20mFSu1u2+-uCu=20

e-t

V

t≥0(2)初始儲(chǔ)能W1=21×5×10-6×42=40mJWc=21Cu2(t)W2=21×20×10-6×242=5760mJ最終儲(chǔ)能共5800mJ=21×(5+20)×10-6×202=5000mJW1+W2電阻耗能WR=∫∞0

Ri2

dt=800mJ03二月2023412.RL電路的零輸入響應(yīng)解之得：i

=I0eL-RSR+-(t=0)R0L12uL+-iU0i(0+)

=i(0-)

=U0R0didtL+

Ri

=0(t≥0)=I0t(t≥0)uL

=-I0R

eL-Rt(1)電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；SR+-(t=0)R0L12uL+-iU0表明：t0i，

uL

I0連續(xù)函數(shù)躍變-I0R03二月202342令=L/R，稱為一階RL電路時(shí)間常數(shù)。(2)響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與L/R有關(guān)；

的大小反映了電路過渡過程時(shí)間的長短：L大→放電慢，大。

大→過渡過程時(shí)間長，

小→過渡過程時(shí)間短。物理含義電流初值iL(0)一定：[]=[亨][歐]=[韋][安歐]=[伏秒][安歐]=[秒]R小→P=Ri2→放電過程消耗能量小W=21LiL2→起始能量大03二月202343(3)能量關(guān)系電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。設(shè)i(0+)=I0則電感放出能量：電阻吸收（消耗）能量：21LI02WR=∫∞0

Ri2dt=∫∞0

R

(I0eRL-t

)2dt=I0L2Re2RtL-)0∞=21LI02RLuL+-i2R(-03二月202344例題分析試求：t；i(0+)和i(0-)；i(t)和uV

(t)；uV

(0+)。造成電壓表損壞。t=R+RVL=0.189+5×1030.398=79.6(ms)i(0-)≈RU=0.18935=185.2

Ai(t)=185.2

e-12560t

AuV(t)=-RVi(t)=-926e-12560tkVuV(0+)=926kV!實(shí)踐中，要切斷

L

的電流，必須考慮磁場能量的釋放問題。解：i(0+)=i(0-)=185.2

AS+-RL+-URVuVi0.189W0.398H5kW35V某300kW汽輪發(fā)電機(jī)勵(lì)磁回路的電路模型Vt≥0+03二月202345小結(jié)一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)；f(t)=

f(0+)et-tRC電路：uC(0+)=uC(0-)RL電路：iL(0+)=iL(0-)衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)；RC電路：

=

RC，RL電路：

=

RL一階電路的零輸入響應(yīng)與初始值成正比，稱為零輸入線性。同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)；R為與動(dòng)態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。03二月202346§4-4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)：在動(dòng)態(tài)元件初值為0的狀態(tài)下，由t＞0電路中外施激勵(lì)引起的響應(yīng)。1.RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi常系數(shù)非齊次線性方程解答形式：uC

=u'C

+u"C

uC(0-)=0方程：duCdtRC+

uC

=

USu'C

為非齊次方程特解：u'C

=US稱強(qiáng)制分量。這是電路的穩(wěn)態(tài)解，稱穩(wěn)態(tài)分量。由于該分量與輸入激勵(lì)的變化規(guī)律有關(guān)，故又03二月202347u''C

為齊次方程通解：US+-(t＞0+)+-uCRC+-uRi解答形式：uC

=u'C

+u"C

方程：特解：u'C

=USu''C

=A

e1RC-t隨著時(shí)間的推移，將消失，故稱暫態(tài)分量。由于其變化規(guī)律由電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，故又稱自由分量。零輸入也是這一規(guī)律。全解：uC

=US+Ae1RC-t由初始條件uC

(0+)=0得：

A=-USuC

=US-US

e1RC-t

=US(1-e

)1RC-t(t≥0)duCdtRC+

uC

=

USi

=CduCdt

=USRe1RC-t03二月202348US+-(t＞0+)+-uCRC+-uRi表明uC

=US(1-e

)1RC-t(t≥0)i

=USRe1RC-t電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；穩(wěn)態(tài)分量(強(qiáng)制分量)+

暫態(tài)分量(自由分量)電容電壓由兩部分構(gòu)成：u'C

連續(xù)函數(shù)uC

tuC

0USu"C躍變t0iR-USRUS03二月202349電源提供的能量：電阻吸收的能量：W=∫∞0US

i(t)dt=USq

=

CUS2WR=∫∞0i2(t)Rdt=21CUS2t=RC結(jié)果表明：電源提供的能量一半轉(zhuǎn)換為電場能量存儲(chǔ)于C中，另一半在充電過程中消耗在R上。不論RC的值是多少，充電效率總是50%。US+-(t＞0+)+-uCRC+-uRi響應(yīng)變化的快慢，由時(shí)間常數(shù)=RC決定；大充電慢，小充電就快。響應(yīng)與外加激勵(lì)成線性關(guān)系；能量關(guān)系電容存儲(chǔ)的能量：WC=21CUS203二月202350

=0.2

e-200t

A例：t=0時(shí)，開關(guān)S閉合，已知uC(0－)=0，求

(1)電容電壓和電流；(2)uC=80V時(shí)的充電時(shí)間t。解：(1)這是一個(gè)RC電路零狀S100V+-(t=0)+-uC50010Fi態(tài)響應(yīng)問題，有：=RC=500×10-5=5×10-3suC

=US(1-e

)1RC-t=100

(1-e-200t)V(t≥0)i

=CduCdt

=10-5×100×200e-200t(2)設(shè)經(jīng)過t1秒，uC=80V80=100

(1-e-200t1

)Vt1=8.045ms03二月2023512.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)(1)激勵(lì)是恒定直流換路前：iL(0+)=iL(0-)=0換路后：iR

+

iL

=

ISSRL+-ISuL(t=0)iRiL(t≥0+)iR

=uLR=LRdiLdtLRdiLdt+iL

=

ISLRt=解得：iL

=IS

(1-e)t-t式中：uL

=LdiLdt=RIS

et-t(t≥0)tuL

,0iL

ISRIS03二月202352(2)激勵(lì)是正弦電壓（不要求）設(shè)us=Umcos(wt+yu)則

Ldidt+Ri=Umcos(wt+yu)通解：i"

=Aet-t特解的形式：i'=

Imcos(wt

+q

)把i'

代入微分方程：Im、q為待定系數(shù)。RImcos(wt+q

)-wLImsin(wt+q

)=Umcos(wt+yu)Im|Z|cos(wt+q

+j)=Umcos(wt+yu)式中R2|Z|

=+(wL)2tgj

=RwLLRt=t≥0+us+-+-uLRLi+-uR比較得：Im=Um|Z|q=yu-j

，03二月202353例：t=0開關(guān)打開，求t>0后iL、uL及u。解：這是RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡電路。+-u+-uL20W2HiL1A5W+-u10W+-uL10W2HiLS2A(t≥0)LReqt==220=0.1siL

=Isc(1-e)t-t=(1-e-10t

)AuL

=LdiLdt=

Req

Isc

et-t=20e-10t

Vu=5IS+10iL+uL=(20+10e-10t)

ViL(0+)=iL(0-)=0t

diLdt+iL

=

IscReq

=20W，Isc

=1A。03二月202354全響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解暫態(tài)解§4-5一階電路的全響應(yīng)1.全響應(yīng)：電路的初始狀態(tài)不為零，同時(shí)又有外加激勵(lì)源作用時(shí)電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi+-U0uC(0+)=uC(0-)=

U0uC

=US

+(U0

-

US)eduCdtRC+

uC

=

US(1)著眼于電路的兩種工作狀態(tài)看成是穩(wěn)態(tài)分量(強(qiáng)制分量)與暫態(tài)分量(自由分量)之和。=+2.全響應(yīng)的兩種分解方式強(qiáng)制分量自由分量t-t物理概念清晰。03二月202355零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)(2)著眼于因果關(guān)系全響應(yīng)=+uC

=US

+(U0

-

US)et-t

uC=US

(1

-e)t-t+U0

et-t此種分解方式便于疊加計(jì)算，體現(xiàn)了線性電路的疊加性質(zhì)。US+-S(t=0)+-uCRC+-uRiuC(0-)=

U0US+-S(t=0)+-uCRC+-uRiuC(0-)=0US+-S(t=0)+-uCRC+-uRiuC(0-)=

U0=+03二月202356(1)在恒定激勵(lì)下f(t)=

f()+[f(0+)-f()]e由初始值、穩(wěn)態(tài)值和時(shí)間常數(shù)三個(gè)要素決定。全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量說明一階電路的響應(yīng)uC

=US

+(U0

-

US)et-tf(0+)是初始值，用t=0+的等效電路求解。f()是穩(wěn)態(tài)值，用t的穩(wěn)態(tài)電路求解。t-tt是時(shí)間常數(shù)?！?-6一階電路的三要素法：代表一階電路中任一電壓、電流函數(shù)式中,初始值--（三要素）

穩(wěn)態(tài)值--時(shí)間常數(shù)--1.在直流電源激勵(lì)的情況下，一階線性電路微分方程解的通用表達(dá)式：

利用求三要素的方法求解暫態(tài)過程，稱為三要素法。一階電路都可以應(yīng)用三要素法求解，在求得、和的基礎(chǔ)上,可直接寫出電路的響應(yīng)(電壓或電流)。電路響應(yīng)的變化曲線tOtOtOtO三要素法求解暫態(tài)過程的要點(diǎn)終點(diǎn)起點(diǎn)(1)求初始值、穩(wěn)態(tài)值、時(shí)間常數(shù)；(3)畫出暫態(tài)電路電壓、電流隨時(shí)間變化的曲線。(2)將求得的三要素結(jié)果代入暫態(tài)過程通用表達(dá)式；tf(t)O

求換路后電路中的電壓和電流，其中電容C視為開路,電感L視為短路，即求解直流電阻性電路中的電壓和電流。 (1)穩(wěn)態(tài)值的計(jì)算響應(yīng)中“三要素”的確定例：uC+-t=0C10V5k1

FS5k+-t=03666mAS1H

1)由t=0-

電路求2)根據(jù)換路定則求出3)由t=0+時(shí)的電路，求所需其它各量的或在換路瞬間t=(0+)的等效電路中電容元件視為短路。其值等于(1)若電容元件用恒壓源代替，其值等于I0,,電感元件視為開路。(2)若,電感元件用恒流源代替，注意：(2)初始值的計(jì)算

1)對于簡單的一階電路，R0=R;

2)對于較復(fù)雜的一階電路，R0為換路后的電路除去電源和儲(chǔ)能元件后，在儲(chǔ)能元件兩端所求得的無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。(3)時(shí)間常數(shù)的計(jì)算對于一階RC電路對于一階RL電路注意：若不畫t=(0+)的等效電路，則在所列t=0+時(shí)的方程中應(yīng)有uC=uC(0+)、iL=iL

(0+)。R0U0+-CR0

R0的計(jì)算類似于應(yīng)用戴維寧定理解題時(shí)計(jì)算電路等效電阻的方法。即從儲(chǔ)能元件兩端看進(jìn)去的等效電阻，如圖所示。R1R2R3R1U+-t=0CR2R3S03二月202364*(2)在正弦電源激勵(lì)下（不要求）f(t)=

f∞(t)

+[

f(0+)

-f∞(0+)

]-ttef∞(t)：換路后的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(特解)，f∞(0+)：是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)f∞(t)的初始值。求f∞(t)的方法是待定系數(shù)法是與激勵(lì)同頻率的正弦量；f(0+)：是初始值，用t=0+等效電路求解。t：時(shí)間常數(shù)。或相量法(第4章)。例1：用三要素法求解解：電路如圖，t=0時(shí)合上開關(guān)S，合S前電路已處于穩(wěn)態(tài)。試求電容電壓

和電流、。(1)確定初始值由t=0-電路可求得由換路定則解題指導(dǎo)t=0-等效電路9mA+-6k

RS9mA6k2F3kt=0+-C

R(2)確定穩(wěn)態(tài)值由換路后電路求穩(wěn)態(tài)值(3)由換路后電路求時(shí)間常數(shù)

t∞電路9mA+-6k

R3kt=0-等效電路9mA+-6k

R三要素uC

的變化曲線如圖18V54VuC變化曲線tO用三要素法求54V18V2kt=0+++--S9mA6k2F3kt=0+-C

R3k6k+-54V9mAt=0+等效電路例2：由t=0-時(shí)電路電路如圖，開關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)S閉合，試求：t≧0時(shí)電容電壓uC和電流iC、i1和i2

。解：用三要素法求解求初始值t=0-等效電路12+-6V3+-+-St=06V123+-求時(shí)間常數(shù)由右圖電路可求得求穩(wěn)態(tài)值23+-+-St=06V123+-(、關(guān)聯(lián))+-St=06V123+-用三要素法求解解:已知：S在t=0時(shí)閉合，換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。求:電感電流例3:t=0ˉ等效電路213AR12由t=0ˉ等效電路可求得(1)求uL(0+),iL(0+)t=03AR3IS211H_+LSR2R12由t=0+等效電路可求得

(2)求穩(wěn)態(tài)值t=0+等效電路212AR12+_R3R2t=