第4講線性規(guī)劃

線性規(guī)劃數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容2.掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解線性規(guī)劃問題.1.了解線性規(guī)劃的基本內(nèi)容.2.用數(shù)學(xué)軟件包MATLAB求解線性規(guī)劃問題.5.實(shí)驗(yàn)作業(yè).3.

用數(shù)學(xué)軟件包LINDO、LINGO求解線性規(guī)劃問題.1.兩個(gè)引例.4.建模案例：投資的收益與風(fēng)險(xiǎn).問題一：

任務(wù)分配問題：某車間有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床，可用于加工三種工件.假定這兩臺(tái)車床的可用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為800和900，三種工件的數(shù)量分別為400、600和500，且已知用三種不同車床加工單位數(shù)量不同工件所需的臺(tái)時(shí)數(shù)和加工費(fèi)用如下表.問怎樣分配車床的加工任務(wù)，才能既滿足加工工件的要求，又使加工費(fèi)用最低？?jī)蓚€(gè)引例解

設(shè)在甲車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x1、x2、x3，在乙車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x4、x5、x6,可建立以下線性規(guī)劃模型：

解答問題二：

某廠每日8小時(shí)的產(chǎn)量不低于1800件.為了進(jìn)行質(zhì)量控制，計(jì)劃聘請(qǐng)兩種不同水平的檢驗(yàn)員.一級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度25件/小時(shí)，正確率98%，計(jì)時(shí)工資4元/小時(shí)；二級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度15件/小時(shí)，正確率95%，計(jì)時(shí)工資3元/小時(shí).檢驗(yàn)員每錯(cuò)檢一次，工廠要損失2元.為使總檢驗(yàn)費(fèi)用最省，該工廠應(yīng)聘一級(jí)、二級(jí)檢驗(yàn)員各幾名？解設(shè)需要一級(jí)和二級(jí)檢驗(yàn)員的人數(shù)分別為x1、x2人,則應(yīng)付檢驗(yàn)員的工資為：因檢驗(yàn)員錯(cuò)檢而造成的損失為：故目標(biāo)函數(shù)為：約束條件為：線性規(guī)劃模型：解答返回線性規(guī)劃模型的一般形式

目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件都是設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù).實(shí)際問題中的優(yōu)化模型x是決策變量f(x)是目標(biāo)函數(shù)gi(x)0是約束條件數(shù)學(xué)規(guī)劃線性規(guī)劃(LP)二次規(guī)劃(QP)非線性規(guī)劃(NLP)純整數(shù)規(guī)劃(PIP)混合整數(shù)規(guī)劃(MIP)整數(shù)規(guī)劃(IP)0-1整數(shù)規(guī)劃一般整數(shù)規(guī)劃連續(xù)規(guī)劃優(yōu)化模型的分類用MATLAB優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃minz=cX

1.模型：命令：x=linprog（c,A,b）

2.模型：minz=cX

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若沒有不等式：存在，則令A(yù)=[]，b=[].3.模型：minz=cX

VLB≤X≤VUB命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）

[2]

x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）

注意：[1]若沒有等式約束:,則令A(yù)eq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始點(diǎn)4.命令：[x,fval]=linprog(…)返回最優(yōu)解ｘ及ｘ處的目標(biāo)函數(shù)值fval.s.t.改寫為：例3問題一的解答

問題編寫M文件xxgh3.m如下:f=[1391011128];A=[0.41.110000000.51.21.3];b=[800;900];Aeq=[100100010010001001];beq=[400600500];vlb=zeros(6,1);vub=[];[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMATLAB(xxgh3)結(jié)果:x=0.0000600.00000.0000400.00000.0000500.0000fval=1.3800e+004

即在甲機(jī)床上加工600個(gè)工件2,在乙機(jī)床上加工400個(gè)工件1、500個(gè)工件3，可在滿足條件的情況下使總加工費(fèi)最小為13800.例2問題二的解答

問題改寫為：編寫M文件xxgh4.m如下：c=[40;36];A=[-5-3];b=[-45];Aeq=[];beq=[];vlb=zeros(2,1);vub=[9;15];%調(diào)用linprog函數(shù)：[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMATLAB(xxgh4)結(jié)果為：x=9.00000.0000fval=360即只需聘用9個(gè)一級(jí)檢驗(yàn)員.

注：本問題應(yīng)還有一個(gè)約束條件：x1、x2取整數(shù).故它是一個(gè)整數(shù)線性規(guī)劃問題.這里把它當(dāng)成一個(gè)線性規(guī)劃來解，求得其最優(yōu)解剛好是整數(shù)：x1=9，x2=0，故它就是該整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解.若用線性規(guī)劃解法求得的最優(yōu)解不是整數(shù)，將其取整后不一定是相應(yīng)整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解，這樣的整數(shù)規(guī)劃應(yīng)用專門的方法求解.返回投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)二、基本假設(shè)和符號(hào)規(guī)定三、模型的建立與分析1.總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來衡量,即max{qixi|i=1，2,…,n}4.模型簡(jiǎn)化：四、模型1的求解

由于a是任意給定的風(fēng)險(xiǎn)度，到底怎樣給定沒有一個(gè)準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的風(fēng)險(xiǎn)度.我們從a=0開始，以步長(zhǎng)△a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];

Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];

vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')，axis([00.100.5])，holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')ToMATLAB（xxgh5）計(jì)算結(jié)果：五、結(jié)果分析返回4.在a=0.006附近有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這一點(diǎn)左邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很少時(shí)，利潤增長(zhǎng)很快.在這一點(diǎn)右邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很大時(shí)，利潤增長(zhǎng)很緩慢，所以對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點(diǎn)作為最優(yōu)投資組合，大約是a*=0.6%，Q*=20%，所對(duì)應(yīng)投資方案為:

風(fēng)險(xiǎn)度收益x0

x1

x2x3

x40.00600.201900.24000.40000.10910.22123.曲線上的任一點(diǎn)都表示該風(fēng)險(xiǎn)水平的最大可能收益和該收益要求的最小風(fēng)險(xiǎn).對(duì)于不同風(fēng)險(xiǎn)的承受能力，選擇該風(fēng)險(xiǎn)水平下的最優(yōu)投資組合.2.當(dāng)投資越分散時(shí)，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小，這與題意一致.即:

冒險(xiǎn)的投資者會(huì)出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資.1.風(fēng)險(xiǎn)大，收益也大.實(shí)驗(yàn)作業(yè)某廠生產(chǎn)甲乙兩種口味的飲料,每百箱甲飲料需用原料6千克,工人10名,可獲利10萬元;每百箱乙飲料需用原料5千克,工人20名,