第6章邊界層流動

第6章邊界層流動

6.1邊界層基本概念

6.1.1邊界層流態(tài)

6.1.2邊界層各特征厚度

6.2二維平面邊界層流動

6.3二維曲面邊界層流動

6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

6.5圓柱和圓球繞流阻力6.1邊界層基本概念實(shí)際流體繞任何形狀物體的大雷諾數(shù)流動都會在物面附近形成邊界層。圖6-1所示為空氣繞某一翼型的流動，整個流場可分為邊界層、邊界層脫離翼型物面以后形成的尾流、以及邊界層和尾流以外的勢流。邊界層流動圖6-1翼型繞流6.1邊界層基本概念6.1.1邊界層流態(tài)

邊界層流動可以是層流或湍流。實(shí)際中更一般地是混合邊界層，即邊界層前緣為層流，經(jīng)過一過渡區(qū)(稱為轉(zhuǎn)捩區(qū))后轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧?；在湍流區(qū)，緊挨物面附近還有一層流底層。圖6-2所示為一均勻來流繞過平板一側(cè)所形成的邊界層流動。邊界層流動圖6-2平板邊界層流動6.1邊界層基本概念在湍流區(qū)，若平板表面粗糙度D大于層流底層的厚度dl，則稱之為粗糙(表面)平板；否則稱為光滑(表面)平板。當(dāng)層流區(qū)的范圍很小時，可近似地把整個邊界層看成為湍流邊界層。為了便于判斷邊界層的流態(tài)，通常假定由層流到湍流的轉(zhuǎn)捩是在某一截面突變完成的，并稱此截面為臨界截面，它離邊界層前緣的距離稱為臨界長度x*，臨界截面邊界層的厚度稱為臨界厚度d*。（圖6-2）

邊界層流態(tài)用臨界雷諾數(shù)Re*來判斷，Re*有兩種形式：Rex*=U∞x*/u和Red*=U∞d*/u，對于平板繞流，Rex*=5105~3106，Red*

2800。邊界層流態(tài)6.1邊界層基本概念6.1.2邊界層各特征厚度

邊界層厚度邊界層理論將大雷諾數(shù)流動的流場分為粘性區(qū)和無粘區(qū)兩部分，分別稱為邊界層和主流區(qū)，它們的交界面稱為邊界層(外)邊界，并人為地規(guī)定邊界層邊界上流速為主流區(qū)的99％(或99.5%),

邊界層邊界到物面的距離稱為邊界層厚度d，用數(shù)學(xué)式表示即有邊界層流動邊界層未脫離物面的情況下，邊界層厚度沿流程是增加的，即在迎流的前緣點(diǎn)為零，然后沿流動方向逐漸增加，到送流的后緣點(diǎn)達(dá)到最大。6.1邊界層基本概念

邊界層位移厚度也稱邊界層排擠厚度。在邊界層內(nèi)，流速受到壁面的阻滯作用而減小，使通過邊界層內(nèi)的流量比理想流動時減少，這相當(dāng)于固體壁面沿其法線方向朝流場內(nèi)移動了一個距離d1后理想流動所通過的流量，這個d1就是邊界層位移厚度，如圖6-3所示。根據(jù)位移厚度d1的定義，對不可壓流動有邊界層各特征厚度圖6-3邊界層位移厚度即6.1邊界層基本概念

邊界層動量厚度與理想流動相比，邊界層內(nèi)流速降低一方面使通過的流體質(zhì)量減少，另一方面也使通過的流體動量減少。這種動量減小也可以看成是相當(dāng)于將固體壁面向流場內(nèi)移動了一個距離d2：

稱d2為動量損失厚度，簡稱動量厚度。邊界層的位移厚度與動量厚度之比稱為邊界層形狀因子：

H=d1/d2。即邊界層各特征厚度6.1邊界層基本概念

邊界層能量厚度即邊界層能量損失厚度。與理想流體的流動相比，邊界層內(nèi)流速的降低還使流體的動能通量減少。類似于動量厚度，可以定義不可壓流動的邊界層能量厚度d3：以上定義式表示邊界層實(shí)際的流量具有的理想流動動能與實(shí)際流動動能之差。容易證明，在邊界層任一截面，恒有：d>d1>d3>d2。即邊界層各特征厚度第6章邊界層流動

6.1邊界層基本概念

6.2二維平面邊界層流動

6.2.1微分方程及其精確解

6.2.2積分方程及其近似解

6.3二維曲面邊界層流動

6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

6.5圓柱和圓球繞流阻力6.2二維平面邊界層流動二維平面不可壓邊界層流動是最簡單的一類粘性流動，即便如此也只有極少數(shù)情況能通過邊界層微分方程求得精確解，大多數(shù)情況只能通過邊界層積分方程求近似解。6.2.1微分方程及其精確解微分方程在直角坐標(biāo)系，定常、不可壓、不計重力的二維流動N-S方程為邊界層流動6.2二維平面邊界層流動

根據(jù)小粘度二維平面邊界層流動的特點(diǎn)——d

<<L以及uy<<ux——對N-S方程中各變量和參數(shù)作數(shù)量級估計，有量級1的量： dx,dx2;ux,dux,d2ux;p,dp;r

量級e<<1的量：dy;uy,duy,d2uy

量級e

2的量：dy2;u依照以上量級對N-S方程進(jìn)行簡化分析，可得微分方程及其精確解6.2二維平面邊界層流動

以上就是二維平面邊界層流動的微分方程，由普朗特在1904年首次提出。雖然普朗特邊界層微分方程相對N-S方程大為簡化，但仍然是非線性的，只能對特殊情況下的某些層流邊界層求得精確解。求解邊界層微分方程時，首先要得到邊界層外部勢流的速度，使壓強(qiáng)p成為已知量，這樣未知量只有ux和uy，由邊界層微分方程x分式和連續(xù)方程一起構(gòu)成封閉的求解系。注意：普朗特邊界層微分方程不適用于d/x<<1條件得不到滿足的邊界層前緣部分，該部分對應(yīng)的雷諾數(shù)范圍一般為Rex≤25。微分方程及其精確解6.2二維平面邊界層流動

微分方程的精確解

應(yīng)用邊界層微分方程解決粘性流動問題的一個最簡單的例子，是流體繞順流放置平板的層流邊界層流動，即均勻來流繞過沿平行于流動方向放置的一塊薄平板(其厚度假設(shè)為零)并在平板一側(cè)附近所產(chǎn)生的流動。微分方程及其精確解圖6-4平板層流邊界層6.2二維平面邊界層流動

微分方程的精確解

如圖6-4所示，取平板前緣為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則平板前方未受擾動的均勻來流速度U∞與平板平行。由伯努利方程知，在繞平板流動的勢流部分，U=

U∞、dp/dx

=0；而由邊界層微分方程知，在邊界層中壓強(qiáng)沿y方向是均勻分布的，即邊界層內(nèi)任一點(diǎn)處的壓強(qiáng)都與同x坐標(biāo)處邊界層外勢流的壓強(qiáng)相等。微分方程及其精確解圖6-4平板層流邊界層6.2二維平面邊界層流動

在邊界層微分方程和連續(xù)方程中引入流函數(shù)y，則由流函數(shù)定義有:?y/?x=-uy，?y/?y

=ux，連續(xù)方程?ux/?x

+?uy/?y

=0自動滿足，邊界層微分方程成為微分方程及其精確解圖6-4平板層流邊界層6.2二維平面邊界層流動因?yàn)閐<<L，相對于邊界層厚度而言，平板就是無限長的這樣而在邊界層流動問題中就找不到一個x方向的特征長度；因此可以設(shè)想在任一x斷面流速分布都是相似的并可作以下變換微分方程及其精確解將邊界層微分方程簡化為邊界條件h=0:f(h)=f'(h)=0;h=∞:f'(∞)=1。

上式是一個非線性三階常微分方程，有對應(yīng)于邊界條件的確定解；它由布拉休斯在1908年首次得出并采用冪級數(shù)和漸近方法獲得精確解。6.2二維平面邊界層流動

將f(h)在h

=0處用冪級數(shù)展開，有微分方程及其精確解利用內(nèi)邊界條件，上式可簡化為一個隨h3變化的新級數(shù)，即C0=C1=1,C2=11,C3=375,C4=27897,...。

以上隨h3變化的冪級數(shù)方程僅在h

=0~3區(qū)間收斂；在h→∞時不收斂，不能應(yīng)用邊界條件h

=∞：f

’=1來確定冪級數(shù)方程的系數(shù)A2。6.2二維平面邊界層流動

另一方面，設(shè)f(h)在h

=∞處的漸近式為f=f1+f2+f3+

(f1>>f2>>f3>>)上式第一個(即一階)漸近解就是勢流解，即f1=h

+bb為積分常數(shù)。令f(h)的二階漸近解為f=f1+f2并代入原常微分方程2f’’’+f’’f=0積分，得微分方程及其精確解g為另一積分常數(shù)。

類似還可得三階漸近解f=f1+f2+f3甚至更高階漸近解，本問題中僅考慮到二階。6.2二維平面邊界層流動

級數(shù)解由邊界層靠近壁面向外求解，漸進(jìn)解則由邊界層外的勢流向內(nèi)求解，兩種解在邊界層內(nèi)某一點(diǎn)必須匹配，即兩種解在這一點(diǎn)的f、f’、f’’值都相等，由此得到A2=0.332,b

=1.72,g

=0.231整個流動問題得解。繼布拉休斯之后，其他學(xué)者也對二維平面層流邊界層流動即方程2f’’’+f’’f=0進(jìn)行了數(shù)值求解，其中霍華斯在1938年得到的結(jié)果對照實(shí)驗(yàn)具有更好的準(zhǔn)確度。根據(jù)霍華斯的結(jié)果，在h

=5.0處ux

/U

=u

/U

=f’=0.99155，將它作為邊界層邊界，通過積分可得平板層流邊界層各特征量如下——微分方程及其精確解6.2二維平面邊界層流動微分方程及其精確解邊界層厚度：邊界層位移厚度：邊界層動量厚度：壁面切應(yīng)力系數(shù)：摩擦阻力系數(shù)：t0為壁面切應(yīng)力、FDf為整個平板受到的力，即6.2二維平面邊界層流動以上結(jié)果得到試驗(yàn)的證實(shí)。圖6-5表示順流放置平板層流邊界層的布拉休斯精確解，以及據(jù)此繪制的邊界層厚度的沿程變化和流速分布。微分方程及其精確解圖6-5順流放置平板層流邊界層流動6.2二維平面邊界層流動

對于非順流放置平板的繞流流動，理論指出，只要勢流流速U與x坐標(biāo)(沿平板表面)成冪指數(shù)關(guān)系：U=C

xm

(C為常數(shù)、m為有理數(shù))，邊界層微分方程微分方程及其精確解就存在相似性解，這時流速u(x,y)的分布具有這樣的性質(zhì)：如果把任意斷面x上的流速分布圖形u-y的u和y坐標(biāo)分別用有關(guān)尺度因子變換為量綱一的坐標(biāo)u0和y0

，則在任何x斷面上u0-y0的分布圖形都相同。順流放置平板繞流的精確解只是邊界層微分方程相似性解中的一個特例，對應(yīng)于m=0。6.2二維平面邊界層流動6.2.2積分方程及其近似解

積分方程

對定常不可壓二維平面邊界層流動，取控制體122'1'進(jìn)行分析，如圖6-8所示。在截面1-1'和2-2'上，流體參數(shù)分別為邊界層流動圖6-8平板邊界層流動6.2二維平面邊界層流動控制體流體在x方向受到的總作用力為整理并忽略高階小量后，簡化為通過控制面進(jìn)入和離開控制體的流體在x方向的動量分別為1-1'截面：2-2'截面：1'-2'截面：積分方程及其近似解6.2二維平面邊界層流動將以上4個式子代入動量方程x分式，就得在上式中代入以下邊界條件并整理得由于ux

u，上式兩個積分項分別為位移厚度和動量厚度，所以邊界層動量積分方程為積分方程及其近似解6.2二維平面邊界層流動上式由卡門在1921年根據(jù)動量定理首次導(dǎo)出，故又稱為卡門動量積分方程，其邊界條件為邊界層動量積分方程對層流和湍流都適用，對于順流放置平板的邊界層流動則簡化為邊界層動量積分方程還可由邊界層微分方程在邊界層內(nèi)對y進(jìn)行積分獲得。此外，用流速u乘以邊界層微分方程中的每一項并對y進(jìn)行積分，還可得到邊界層能量積分方程。積分方程及其近似解6.2二維平面邊界層流動

積分方程的近似解邊界層動量積分方程中包含壁面切應(yīng)力t0，邊界層位移厚度d1和動量厚度d2三個未知量；由d1和d2的定義式以及壁面邊界條件還可以補(bǔ)充三個方程，但又出現(xiàn)另外兩個未知量(流速u和邊界層厚度d)，因此邊界層動量積分方程在數(shù)學(xué)上是不封閉的，只宜采用近似方法求解。通常的做法是，首先假定某種速度分布，據(jù)此算得d1(d)、d2(d)和t0(d)，然后將它們代入邊界層動量積分方程，最后通過積分求得邊界層厚度d及阻力系數(shù)CDf等特征量。上述做法的特點(diǎn):只在物面及邊界層外緣滿足邊界層微分方程；假設(shè)的邊界層內(nèi)流速分布與實(shí)際不一定吻合。積分方程及其近似解6.2二維平面邊界層流動

1)二維平面層流邊界層的近似解

設(shè)邊界層內(nèi)流速分布u/U=sin(py/2d)，則有積分方程及其近似解將以上的d2和t0代入邊界層動量積分方程，得由上式解得邊界層厚度d，并計算其他特征厚度和系數(shù)得——6.2二維平面邊界層流動微分方程及其精確解邊界層厚度：邊界層位移厚度：邊界層動量厚度：壁面切應(yīng)力系數(shù)：摩擦阻力系數(shù)：假設(shè)不同的邊界層流速分布，得到的邊界層各特征厚度和系數(shù)也不相同。6.2二維平面邊界層流動

2)二維平面湍流邊界層的近似解

應(yīng)用水力光滑圓管湍流的實(shí)驗(yàn)成果，可設(shè)光滑壁面平板湍流邊界層流速分布、壁面切應(yīng)力分別為積分方程及其近似解就有積分并利用平板前緣點(diǎn)條件x=0:

d

=0，得光滑平板湍流邊界層各特征厚度和系數(shù)如下——將d2和t0代入邊界層動量積分方程，得6.2二維平面邊界層流動邊界層厚度：邊界層位移厚度：邊界層動量厚度：壁面切應(yīng)力系數(shù)：摩擦阻力系數(shù)：根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，上面的摩擦阻力系數(shù)應(yīng)修正為積分方程及其近似解6.2二維平面邊界層流動在實(shí)際中，靠近平板前緣總有一部分是層流邊界層，因此摩擦阻力系數(shù)計算式須作進(jìn)一步修正。如圖6-9所示，假定層流向湍流的轉(zhuǎn)捩在某一斷面突然發(fā)生并完成，這樣整個平板的阻力就只需將轉(zhuǎn)捩斷面之前的那部分湍流阻力代之以層流阻力、其余部分湍流阻力則保持不變。積分方程及其近似解圖6-9平板混合邊界層6.2二維平面邊界層流動

轉(zhuǎn)捩斷面前湍流阻力與層流阻力之差為積分方程及其近似解相應(yīng)摩擦阻力系數(shù)之差為所以光滑平板湍流邊界層的實(shí)際阻力系數(shù)為式中的A值與臨界雷諾數(shù)Re*的對應(yīng)關(guān)系如下表第6章邊界層流動

6.1邊界層基本概念

6.2二維平面邊界層流動

6.3二維曲面邊界層流動

6.3.1邊界層方程

6.3.2邊界層分離

6.3.3層流邊界層的卡門-波爾毫森解法

6.3.4湍流邊界層的海特近似解法

6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

6.5圓柱和圓球繞流阻力6.3二維曲面邊界層流動

流體繞曲面物體流動時，邊界層外勢流流速將隨曲面曲率的變化而改變，壓強(qiáng)也隨之變化。分析彎曲壁面附近的邊界層流動通常采用隨體坐標(biāo)系，或邊界層坐標(biāo)系。這是一種特殊的正交曲線坐標(biāo)系，它以壁面前駐點(diǎn)O為原點(diǎn)、以沿壁面指向下游為x坐標(biāo)、自壁面算起沿壁面外法線為y坐標(biāo)，圖6-11和圖6-12分別表示二維曲面和軸對稱曲面的隨體坐標(biāo)系。

邊界層內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)為x=OP0，y=P0P；若Q為P的鄰點(diǎn)并且PQ=ds(圖6-11)，則ds在過P點(diǎn)的x和y坐標(biāo)上的投影分別為邊界層流動式中，h1、h2分別為坐標(biāo)x,y的拉梅系數(shù)。以R(x)表示曲面在P0點(diǎn)的曲率半徑，df表示點(diǎn)P0和Q0處曲率半徑間的夾角，則有邊界層流動若為軸對稱曲面邊界層，則R(x)是子午面內(nèi)壁輪廓線的曲率半徑，r(x)為邊界層內(nèi)任意點(diǎn)到對稱軸的距離、即回轉(zhuǎn)半徑，r0(x)為軸對稱曲面上任意點(diǎn)的回轉(zhuǎn)半徑。6.3二維曲面邊界層流動

邊界層流動圖6-11二維曲面隨體坐標(biāo)6.3二維曲面邊界層流動

邊界層流動圖6-12軸對稱曲面隨體坐標(biāo)

6.3二維曲面邊界層流動

6.3.1邊界層方程

微分方程

對于定常不可壓二維曲面和軸對稱曲面邊界層流動，采用類似于二維平面邊界層流動的量級分析方法，可得相應(yīng)的微分方程，即邊界層流動式中k=0(二維曲面)或k=1(軸對稱曲面)。6.3二維曲面邊界層流動

二維曲面和軸對稱曲面邊界層微分方程的邊界條件為y=0：u=0；y=∞：u=U邊界層外部勢流的速度U由理想流體繞同一物面流動的歐拉方程解確定，然后利用伯努利方程得到壓強(qiáng)梯度。和二維平面邊界層微分方程類似，二維曲面和軸對稱曲面邊界層微分方程必須滿足限制條件uy

/

ux

<<1，δ/L<<1。除此外，還要求R(x)~L、r0

(x)~L，即曲面的曲率半徑、回轉(zhuǎn)半徑與流動方向的曲面總長度為相同量級。邊界層方程6.3二維曲面邊界層流動

積分方程

對于二維任意形狀物體的繞流，采用邊界層坐標(biāo)后，只要uy/ux

<<1的條件得以滿足，就仍可使用卡門動量積分方程：邊界層方程二維曲面或軸對稱曲面邊界層外勢流的流速和壓強(qiáng)不再是常數(shù)，導(dǎo)致在逆壓梯度(壓強(qiáng)沿流動方向增大)的地方有可能發(fā)生邊界層分離，這時邊界層內(nèi)的流體在曲面的某些部位脫離曲面，使這部分曲面不再起“導(dǎo)流”作用，引起受粘性影響的流場范圍和流動阻力迅速增大。6.3二維曲面邊界層流動

6.3.2邊界層分離

分離現(xiàn)象

實(shí)際流體在繞曲面流動途中，邊界層內(nèi)流體有可能在外部勢流區(qū)逆壓梯度的作用下從曲面某個部位開始脫離曲面，使部分曲面不再起導(dǎo)流作用，這種現(xiàn)象稱為邊界層分離。邊界層從壁面分離后，如果外部勢流區(qū)的壓強(qiáng)梯度改善為順壓梯度或零梯度，則邊界層可重回壁面附近，稱之為邊界層重新附著；例如流體繞順流放置平板上的一個階梯流動時，邊界層在階梯后緣發(fā)生分離，在經(jīng)過階梯后一段距離將重新回附在平板附近。邊界層分離將導(dǎo)致受粘性影響的流場范圍和流動阻力迅速增大，在實(shí)際中通常需要避免邊界層發(fā)生分離。邊界層流動6.3二維曲面邊界層流動

圖6-13表示實(shí)際的二維圓柱繞流流場。如果整個流場均為無粘勢流，則流體從圓柱的前緣D至頂點(diǎn)E是加速的、從頂點(diǎn)E至后緣F是減速的。由伯努利方程知，在DE流段壓強(qiáng)沿流動方向逐漸減小(dp/dx<0)，稱為順壓梯度；在EF流段壓強(qiáng)沿流動方向逐漸增大(dp/dx>0)，稱為逆壓梯度；在圓柱后緣點(diǎn)F壓強(qiáng)恢復(fù)到前緣點(diǎn)D的數(shù)值，即恢復(fù)到駐點(diǎn)壓強(qiáng)：rU2/2(表壓)。實(shí)際流動中，圓柱附近為邊界層，其中流體因粘性作用而損耗能量，導(dǎo)致在DE流段壓能的降低一部分轉(zhuǎn)化為動能，其余則克服粘性阻力而消耗掉；在EF流段，流體動能的降低一部分轉(zhuǎn)化為壓能，其余用于克服粘性阻力。邊界層分離6.3二維曲面邊界層流動

邊界層分離圖6-13二維圓柱繞流流場示意圖

6.3二維曲面邊界層流動

在圓柱后緣點(diǎn)F，壓強(qiáng)不能恢復(fù)到前緣點(diǎn)D的數(shù)值，而是在EF流段的某點(diǎn)S處，物面附近的流體動能被消耗怡盡、流速降為零；在S點(diǎn)的下游，外部勢流的壓強(qiáng)較高，導(dǎo)致流體在逆壓梯度的作用下發(fā)生回流，將邊界層內(nèi)的來流擠向主流而使邊界層脫離壁面、造成分離。S點(diǎn)稱為邊界層分離點(diǎn)，在分離點(diǎn)下游形成受粘性影響的回流和尾流區(qū)，其間滿布了大大小小的旋渦，造成較大的能量損失。尾流中壓強(qiáng)比無粘流動時低，因此鈍形物體繞流形成的壓差阻力遠(yuǎn)大于細(xì)長的流線形物體。飛機(jī)機(jī)翼是典型的流線型物體，其尾部逆壓梯度很小，使得分離點(diǎn)很靠近尾部而減小阻力。

邊界層分離6.3二維曲面邊界層流動

邊界層分離前后流速分布

在分離點(diǎn)上游，dp/dx<0、所有u-y圖形中u均為正值，且在y=0處有?u/?y>0，?2u/?y2<0；在分離點(diǎn)下游，dp/dx>0、壁面附近產(chǎn)生流速為負(fù)值的回流區(qū)，且在y=0處有?u/?y<0，?2u/?y2>0；在分離點(diǎn)S，壁面上(y=0)有?u/?y=0，實(shí)際中常根據(jù)這一條件(即速度的法向?qū)?shù)在物面為零)來確定分離點(diǎn)位置。分離點(diǎn)處流線與物面形成的角度a與雷諾數(shù)有關(guān)。分離點(diǎn)下游的粘性流場范圍迅速增大，破壞了邊界層方程的限制條件：d

<<L，使邊界層方程在分離區(qū)不再適用。邊界層分離后也使粘性流動外勢流流場大大偏離了不分離的勢流流動。邊界層分離6.3二維曲面邊界層流動

邊界層分離6.3二維曲面邊界層流動

圖6-14二維曲面邊界層分離點(diǎn)上下游的流速分布

邊界層分離控制邊界層快速增長和分離導(dǎo)致繞流物體的阻力急遽增大，因此實(shí)際中需對邊界層分離施以控制，常見的工程控制方法包括：

流線型外形設(shè)計

飛機(jī)機(jī)體及機(jī)翼、船體、潛艇、車輛、透平葉片等為典型例子。

邊界層吸除例如在風(fēng)洞試驗(yàn)段壁面開設(shè)微孔并應(yīng)用抽吸機(jī)將邊界層流體吸除。

邊界層吹除例如燃?xì)廨啓C(jī)透平的初級葉片一般都采用從葉片內(nèi)向壁面順流吹入較冷空氣的方法冷卻葉片表面、控制邊界層增長和分離。另一種邊界層吹除方法是在物體上切向開縫，如開縫機(jī)翼、多段式風(fēng)帆。

邊界層分離6.3二維曲面邊界層流動

壁面冷卻對于超聲速流動，在一定馬赫數(shù)范圍內(nèi)使用壁面冷卻可以穩(wěn)定邊界層，避免或推遲邊界層分離。不管采用哪種邊界層控制方法，目的都是防止邊界層過度增長和分離，使邊界層外的主流更貼近物面而減小壓差阻力。層流邊界層只能承受很小的正壓梯度，紊流邊界層可承受大一些的正壓梯度。邊界層分離6.3二維曲面邊界層流動

6.3.3層流邊界層的卡門-波爾豪森近似解法

對于流體繞任意二維形狀物體運(yùn)動的層流邊界層，微分方程一般不存在相似解，工程上以往采用邊界層積分方程求解，如卡門-波爾豪森法，該方法假定邊界層流速為四次多項式分布，即

邊界層流動式中h=y/d(x),0≤h

≤1。邊界條件為

6.3二維曲面邊界層流動

應(yīng)用邊界條件確定多項式各系數(shù)，并作以下量綱一參數(shù)變換卡門

波爾豪森解法得層流邊界流速多項式分布的具體形式為L=L(x)為速度分布形狀因子，反映壓差相對于粘性力的大小。對選定的x斷面，L為常數(shù)。L和dU/dx的變化主要取決于物面形狀。L=0表示平面邊界層流動，或者是任意形狀二維物體繞流的勢流速度達(dá)到了最大或最小值斷面。6.3二維曲面邊界層流動

分析表明，L=-12時，二維曲面定常繞流層流邊界層出現(xiàn)分離，邊界層積分方程在分離區(qū)不再適用；當(dāng)L>12時，出現(xiàn)u/U>1，顯然這是不允許的。因此，L的界限為-12≤L≤12。

在速度分布多項式中引入形狀因子L并未增加新的變量，L中的未知量d最終由邊界層積分方程的求解而確定。將速度分布多項式代入邊界層位移厚度、動量厚度、壁面切應(yīng)力定義式后進(jìn)行積分或運(yùn)算，同時對速度分布形狀因子L進(jìn)行微分，最后應(yīng)用邊界層動量積分方程，就得到二維曲面繞流層流邊界層的求解方程組，即卡門波爾豪森解法6.3二維曲面邊界層流動

卡門

波爾豪森解法初始截面條件為x

=

0：d

=

0,L=

0(尖前緣)；或x

=

0：U

=

0,L

=

7.052(鈍前緣)。6.3二維曲面邊界層流動

求解時，首先解得二維曲面物體的勢流速度分布U(x)及其一階導(dǎo)數(shù)U’和二階導(dǎo)數(shù)U’’，然后對速度分布因子L的微分方程進(jìn)行數(shù)值求解得到L(x)，再由L的定義式解得d、由L代入速度分布多項式解得u/U，最后由簡化后的邊界層動量積分方程、邊界層的位移厚度式和動量厚度式解得d1、d2和t0，并由限制條件t0=

0(或L=

-12)得到邊界層分離點(diǎn)位置xs，至此，整個層流邊界層問題得解。卡門波爾豪森解法6.3二維曲面邊界層流動

6.3.4湍流邊界層的海特近似解法流體繞二維曲面湍流邊界層的近似解法屬半經(jīng)驗(yàn)方法，涉及的經(jīng)驗(yàn)公式多且在不斷完善。

海特卷吸法以邊界層動量積分方程和卷吸積分式為基本方程。因這2個基本方程是不封閉的，故采用壁面切應(yīng)力經(jīng)驗(yàn)公式Cf

=

Cf

(H,Red2)作為補(bǔ)充方程，同時還進(jìn)一步假定一個卷吸速度分布，其中的也由經(jīng)驗(yàn)公式給出。以上基本方程和經(jīng)驗(yàn)公式一起構(gòu)成數(shù)學(xué)上封閉的方程組，在給定初值后就能進(jìn)行數(shù)值求解。邊界層流動6.3二維曲面邊界層流動

卷吸積分關(guān)系式

卷吸速度UE是單位時間內(nèi)通過邊界層邊界的單位面積從外部勢流進(jìn)入邊界層的體積流量，如圖6-15所示，圖中虛線部分為控制體。由質(zhì)量守恒易得海特近似解法上式稱為卷吸(流量)積分關(guān)系式。海特應(yīng)用的卷吸速度分布以及湍流邊界層形狀參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式分別為6.3二維曲面邊界層流動

海特近似解法

圖6-15湍流邊界層的卷吸速度

當(dāng)?shù)刈枇ο禂?shù)經(jīng)驗(yàn)公式

海特建議采用的當(dāng)?shù)刈枇ο禂?shù)經(jīng)驗(yàn)公式為6.3二維曲面邊界層流動

求解方法

將邊界層動量積分方程和卷吸關(guān)系式改寫成海特近似解法然后進(jìn)行數(shù)值求解。具體步驟為，先求解邊界層外部勢流得到U(x)，再由給出的初始截面(通常為轉(zhuǎn)捩截面)上的d2和H值開始進(jìn)行數(shù)值積分(例如采用常用的龍格-庫塔積分方法進(jìn)行)，求解，直至Cf

=0、得到分離點(diǎn)位置為止。實(shí)際計算表明，分離點(diǎn)出現(xiàn)的位置對應(yīng)的H值位于1.8和2.8之間。6.3二維曲面邊界層流動

第6章邊界層流動

6.1邊界層基本概念

6.2二維平面邊界層流動

6.3二維曲面邊界層流動

6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

6.4.1雷諾潤滑方程

6.4.2二維圓柱滑動軸承潤滑

6.5圓柱和圓球繞流阻力流體力學(xué)6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

直接接觸的固體壁面作相對運(yùn)動時，因壁面粗糙部分的碰撞及不同壁面材料間的粘合而產(chǎn)生較大摩擦阻力，若不采取潤滑措施減小摩擦將引起壁面過快磨損或高溫?fù)p毀。軸與軸承之間普遍采用潤滑來減少摩擦，其中滾動軸承一般采用表面潤滑，軸與軸承在運(yùn)行時仍保持接觸；滑動軸承則采用液力潤滑，軸與軸承在正常運(yùn)行時不直接接觸。潤滑流體同時起減小摩擦和散熱的作用。滑動壁面間的液力潤滑是依靠流動流體在被潤滑面鍥形縫隙間產(chǎn)生較大的壓強(qiáng)來隔開壁面而實(shí)現(xiàn)的，如圖6-16所示。邊界層流動6.4.1雷諾潤滑方程

滑動軸承與軸的壁面形成小角度鍥形，當(dāng)軸的壁面相對于軸承壁面作切向運(yùn)動時，不斷地將潤滑油“擠入”收縮的鍥形縫隙、產(chǎn)生流體支撐力。如圖6-16所示建立二維滑動液力潤滑坐標(biāo)系，并作以下假定——

1)油膜厚度很?。篽<<l，因此可不考慮壁面的曲率，周向速度可視為平面速度；2)壓強(qiáng)沿油膜厚度方向y不變化、沿縱向x和橫向z的變化與y無關(guān)，即?p/?y=0，?p/?x=f1(x,z)，?p/?z=f2(x,z)；邊界層流動6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

3)慣性力遠(yuǎn)小于粘性力，即潤滑油膜內(nèi)為層流，除粘性力和流體壓力外不受其他力作用；

4)潤滑壁面與油膜之間無滑動；

5)油膜內(nèi)流速u沿x和z方向的變化很小，即

：?u/?x<<?u/?y、?u/?z<<?u/?y；并且uy

0。雷諾潤滑方程圖6-16鍥形縫隙內(nèi)流體流動6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

雷諾潤滑方程對圖6-16所示的鍥形縫隙內(nèi)油膜流動，根據(jù)以上假定簡化N-S方程，有積分兩次并利用邊界條件y=0:ux

=U1,uz=W1

和y=h:ux=U2,uz=W2得流速分布為油膜內(nèi)ux和p沿x方向的變化如圖6-17所示。ux由線性和拋物線兩部分合成；p先增后減。6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

雷諾潤滑方程圖6-17鍥形縫隙內(nèi)ux和p沿x方向的變化6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

雷諾潤滑方程對連續(xù)方程沿油膜厚度即y方向積分，有將前面兩個流速分布式分別代入上式的積分項并進(jìn)行積分，就得上式就是雷諾潤滑方程，它給出了作相對運(yùn)動的兩個物面形成的鍥形小縫隙內(nèi)流體流動應(yīng)滿足的動力學(xué)條件。在給定物面相對運(yùn)動規(guī)律、鍥形縫隙高度變化、流體粘度，以及邊界條件壓強(qiáng)的情況下，可以進(jìn)行理論求解。6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

6.4.2二維圓柱滑動軸承潤滑圖6-18a表示二維圓柱滑動軸承及軸的一個切面。軸以角速度w繞軸心線轉(zhuǎn)動，潤滑油在軸與軸承的縫隙中連續(xù)流動。軸受載轉(zhuǎn)動時，軸心與軸承中心不重合，二者存在一偏心距e(0≤e≤d)。軸與軸承間縫隙的高度各處不同，轉(zhuǎn)軸不斷地把潤滑油從縫隙寬的一端“擠入”窄的一端，在此過程產(chǎn)生較大的流體壓強(qiáng)“托住”轉(zhuǎn)軸、支承軸的負(fù)載。因軸與軸承之間的縫隙高度h遠(yuǎn)小于軸的直徑d，故可把沿圓周方向變化的徑向縫隙轉(zhuǎn)換成沿展開平面平行方向的變化，如圖6-18b所示。邊界層流動6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

二維圓柱滑動軸承潤滑圖6-18二維圓柱滑動軸承及軸的切面及展開圖6-18b中，下邊界代表轉(zhuǎn)軸周線的平面展開、以勻速向右作平移運(yùn)動，上邊界代表軸承周線、靜止不動，二邊界之間的間隙高度h(x)可從圖6-18a中求得，即6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

忽略滑油流速和壓強(qiáng)沿z方向的變化及粘度隨溫度的變化，并令ux=u,?p/?x=dp/dx,U1=U,U2=0，則潤滑油膜內(nèi)流速分布和雷諾潤滑公式分別簡化為將油膜高度h(x)式代入上式后積分兩次就得到二維滑動軸承與軸的縫隙內(nèi)壓強(qiáng)分布，即6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

二維圓柱滑動軸承潤滑雷諾在1886年首先得到二維滑動軸承潤滑方程的級數(shù)解，后來薩莫費(fèi)爾德在1904年得到以下被廣泛應(yīng)用的解析解對上式沿周向積分可計算單位軸向長度上由壓強(qiáng)產(chǎn)生的承載力F(參數(shù)符號見圖6-19)可見，滑動軸承與軸的設(shè)計參數(shù)一定時，其承載力F隨潤滑油粘度m和轉(zhuǎn)軸周向速度U的增加而增大，其代價則是消耗更大的摩擦功。6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

二維圓柱滑動軸承潤滑圖6-19軸表面壓力和摩擦力對軸承與軸縫隙內(nèi)流速分布式進(jìn)行微分，得作用于軸表面的切應(yīng)力：6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

二維圓柱滑動軸承潤滑若將摩阻力矩寫成干摩擦定律形式，即Mf=f

F

r則潤滑摩擦阻力的摩阻系數(shù)f為可見f僅與滑動軸承與軸的設(shè)計參數(shù)有關(guān)。對t0沿周向積分就得到作用于單位軸向長度上的摩擦阻力力矩，其大小為6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

二維圓柱滑動軸承潤滑第6章邊界層流動

6.1邊界層基本概念

6.2二維平面邊界層流動

6.3二維曲面邊界層流動

6.4二維圓柱滑動軸承潤滑

6.5圓柱和圓球繞流阻力

6.5.1圓柱繞流

6.5.2圓球繞流

6.5圓柱和圓球繞流阻力

物體在流體中運(yùn)動時要受到阻力，通常將這種阻力分為摩擦阻力和壓差阻力。前者與流體粘性直接相關(guān)，后者與粘性也常有脫不開的關(guān)系。此外，物體在流體中作非定常運(yùn)動時會受到流體慣性引起的非定常阻力；物體在液體中運(yùn)動時會引起表面波而受到興波阻力；物體在氣體中作超聲速運(yùn)動時會產(chǎn)生氣體激波而引起激波阻力；有限翼展機(jī)翼在運(yùn)動時由于端面脫落渦的產(chǎn)生而引起誘導(dǎo)阻力。邊界層流動6.5圓柱和圓球繞流