高二物理波的干涉3

波的干涉一、波的迭加原理實驗證明：當介質(zhì)中存在兩個以上的波源時，這時各波源所激起的波可在同一介質(zhì)中獨立地傳播；而在各個波相互交迭的區(qū)域，各點的振動(位移或電磁場)則是各個波在該點激起的振動的矢量和。例如：(1)幾個水波可以互不干擾地相互貫穿，然后繼續(xù)按各自原來方式傳播；

(2)當交響樂隊演奏時，人耳仍能清晰地分辨出每個樂器演奏的旋律。兩水波的疊加SS12沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個脈沖波的疊加理論分析：由于波動的方程式

2y/2t=u22y/2x是線性的?？勺C明：如果y1(x、t)和y2(x、t)分別滿足波動方程，則合成波y=y1(x、t)+y2(x、t)也滿足波動方程，這就是波的波加原理的數(shù)學表示。二、波的干涉1、相干源兩個頻率相同，振動方向相同、相位相同或相位差恒定的波源。干涉現(xiàn)象：兩個相干源波在空間迭加時，在某些點處振動始終加強，而在另一些點處，振動始終減弱。光既然是電磁波，也能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。光的相干性：(1)兩獨立的光源不可能成為一對相干光源原因：原子發(fā)光是隨機的，間歇性的，兩列光波的振動方向不可能一致，周相差不可能恒定。鈉光燈A鈉光燈B兩束光不相干！(2)同一光源上兩個不同的部分，也不可能得到相干光源。鈉光燈A兩束光不相干！相干光實現(xiàn)方法：為了利用普通光源(除激光外)獲得相干光，其基本方法是把由同一光源上同一點發(fā)出的光，設(shè)法分成兩部分。(1)分波陣面法從光源發(fā)出的同一列波的波面上分割出兩個微小的部分(例如雙孔干涉)，這兩個微小部分可以看作兩個子光源，它們發(fā)出的光是相干光。(2)分振幅法設(shè)法把同一波列(一個分子或原子在持續(xù)時間內(nèi)發(fā)出的光波)的光波通過反射或折射等過程，分成兩束光波(例如薄膜干涉)。顯然，這兩列光波是相干光波，它們的能量是從同一波列的光波分出來的。

激光是目前最理想的相干光源，它不僅同一光源上同一點發(fā)出的是相干光，而且同一光源上兩個不同的部分也具有很好的相干性，甚至兩個獨立激光器的光波也能相干。y10=A10cos(2t+φ1)y20=A20

cos(2t+φ2)S1和S2發(fā)出的波到達P點的振動分別為：y1=A1cos(2t+φ1-2r1/λ)y2=A2cos(2t+φ2-2r2/λ)兩個振動在P點的相位差為：Δφ=φ2-φ1-2(r2-r1)/λP點的振動就是這兩個振動的合振動。S1S2r1r2P2、兩個相干源的干涉設(shè)波源S1、S2的振動方程為：P點合振動：頻率

—兩同頻率、同方向振動的合振動仍為同頻率的振動；振幅

—由兩分振動的相位差來決定。由于兩波源的相位差φ2-φ1是恒定的，因此，空間中任一P點兩振動的相位差也是恒量，所以，任一P點合振幅也是恒量。干涉加強與減弱條件：加強：Δφ=φ2-φ1-2(r2-r1)/λ

=±2k(k=0，1，2，3…)

合振幅A最大，A=A1+A2。減弱：Δφ=φ2-φ1-2(r2-r1)/λ=±(2k+1)(k=0，1，2，3…)

合振幅A為最小，A=|A1-A2|。如果φ1=φ2，上述條件可簡化為波程差δ：加強：δ=r2-r1=±2k(λ/2)

(k=0，1，2…)

又稱為干涉相長減弱：δ=r2-r1=±(2k+1)(λ/2)

（k=0，1，2…)

又稱為干涉相消xk=+1k=-2k=+2k=0k=-1S1S2S***I例10-4楊氏雙孔干涉實驗現(xiàn)象解：S

是單色點光源，在遮光屏B上開兩小孔

S1，S2作為相干光源。設(shè)S

到S1

和S2

的距離相等，則S1和S2可看作兩個相位相同的相干光源。問題的關(guān)鍵是計算從S1和S2到P(x,y)點的波程差

δ=r2-r1。xDSS12rr12dP(x,y)SOB通常D>>d，由幾何關(guān)系可得：r12=D2+(x-d/2)2+y2r22=D2+(x+d/2)2+y2兩式相減后，得：r22-r12=(r2-r1)(r2+r1)=2dxxDSS12rr12dP(x,y)SOrBr22-r12=(r2-r1)(r2+r1)=2dx因D>>d

r2+r12r

波程差：δ=r2-r1

dx/r當x<<D

時，r

D

波程差：δ=r2-r1

dx/DxDSS12rr12dP(x,y)SOrB波程差：δ=r2-r1

dx/DP點干涉加強的條件為：δdx/D=±2k(λ/2)明條紋中心的位置：

x=±kDλ/d(k=0，1，2，3…)其中k叫做明條紋的級次。由于上式表示一條直線方程，所以兩孔干涉在光屏上的明條紋為等間隔直條紋。相鄰明條紋的間距為：Δx=Dλ/d同理可得暗紋中心的位置：

x=±(2k+1)Dλ/2d

(k=0，1，2，3…)暗條紋也是等間隔直條紋，相鄰間距與明條紋一樣。

如果用白光做實驗，則除了k=0級次(中央明紋)的中部為白色外，其他各級次明紋將因不同波長(色光)的極大在不同位置而變成彩色。

著名的楊氏雙孔實驗，證實光的波動性。后來狹縫代替針孔稱為雙縫實驗可得更清晰且明亮干涉圖樣，請同學們想想其中的原因。

思考題在楊氏雙孔實驗（D?d）中，如果點光源S1、沿垂直畫面方向作微小位移，

2、沿平行于S1S2連線方向作微小位移，問：屏上的干涉條紋將會如果變化？k=+1k=-2k=+2k=0k=-1S1S2S***I考慮N個完全相同的相干波源排在一條線上的情形。簡化起見假定在很遠處觀察合成的波動，所以干涉的波線實際上是平行的。相鄰波源的波程差：δ=dsin

相位差：Δφ=2δ/λ=2dsin/λ式中d為相鄰波源的間距，為觀察方向。dδ3、多個相干源的干涉極小條件：NΔφ=±2k’

見圖

3

dsin=±k’λ/N

(k’N整數(shù)倍)主極大條件：Δφ=±2k

見圖

2即：dsin=±kλ

(k=0，1，2，3…)旋轉(zhuǎn)矢量的矢量和：

見圖

1Aφ圖1xo

圖2φ圖3因為每兩個主極大之間有(N-1)個極小，所以每兩個主極大之間有(N-2)個次極大。N=2dsin/dsin/N很大dsin/N=4從圖中可看出當增加波源數(shù)N時，系統(tǒng)變?yōu)楦叨确较蛐?。方向性效?yīng)被廣泛用于廣播或接收電臺上。例如：對于相距d=λ/2的四個線型天線。主極大條件：

sin=kλ/d=2k

(k=0)即：

=0及π方向上有極大值；極小條件：

sin=k’λ/Nd=k’/2

(k’=±1，±2)即：

=±π/3和±π/2方向上有極小值。于是這種天線就比較善于發(fā)射或接收垂直于連接波源線的方向上的信號，因而被稱為橫列指向天線。同樣方向性效應(yīng)也被應(yīng)用干射電望遠鏡上。四個線型天線強度隨角度分布：見下圖=-π/3

=π/3

=π/2

=π

=0

d=λ/2

三、駐波1、駐波的形成和特點(1)駐波形成的條件

兩列振幅相同，傳播方向相反的相干波的迭加。——波干涉的特例。(2)定量分析（以平面簡諧波為例）設(shè)兩列頻率、振幅及振動方向相同，傳播方向相反的平面簡諧波：y1=Acos2(t-x/)，y2=Acos2(t+x/)。合成波：y=y1+y2

=[2Acos2x/]

cos2t合成波：y=[2Acos2x/]cos2t討論：(A)各點都在作同頻率的振動

cos2t；(B)位置x點的振幅|2Acos2x/|

(C)位置x點的振動相位依賴與2Acos2x/

的正負號。正號（或負號）各處相位相同，但正、負號之間處相位反相。波節(jié)波腹(D)在x=k/2處，振幅|2Acos2x/|=2A，

振幅最大，稱為波腹；

在x=(2k+1)/4處，振幅|2Acos2x/|=0，

靜止不動，稱為波節(jié)。其中k=0，1，2…。(F)相鄰兩個波腹或波節(jié)之間的距離為/2。這為我們提供了一種測定波長的方法波節(jié)波腹波節(jié)波腹(G)駐波使波線上各點作分段振動

(兩個相鄰波節(jié)為一分段

)，在每一分段中，各點的振動相位是相同；兩個相鄰分段，振動相位正好反相。每分段中各點的振動相位是相同的，這種波稱為駐波；而相位逐點傳播的波稱為行波。(3)駐波特點頻率：各質(zhì)元頻率相同；振幅：與位置有關(guān)；相位：同一分段，相位相同；相鄰分段，相位反相。能量：波腹處，動能為零，聚集勢能；波節(jié)處，勢能為零，聚集動能。

駐波能量不斷在相鄰波腹與波節(jié)之間相互轉(zhuǎn)換，沒有單一方向的能量傳播。入射波y反射波y(4)半波損失繩子波在固定端反射：疊加后的波形在反射端形成波節(jié)。在反射端入射波和反射波周相相反，即入射波到達兩種媒質(zhì)分界面時發(fā)生相位突變，稱為半波損失。墻體)波密媒質(zhì)(反射波疊加后的波形入射波自由端yy繩子波在自由端反射在反射端形成波腹。在反射端入射波和反射波周相相同，無半波損失。“半波損失”將決定于波的種類和兩種介質(zhì)的有關(guān)性質(zhì)以及入射角的大小。機械波：波密介質(zhì)

—密度ρ與波速u的乘積ρu較大的介質(zhì)。

波疏介質(zhì)

—乘積ρu較小的介質(zhì)。光波：光密介質(zhì)

—折射率n較大的介質(zhì)；

光疏介質(zhì)

—折射率n較小的介質(zhì)?？梢宰C明：當波從波(光)疏介質(zhì)垂直入射到波(光)密介質(zhì)而反射時，則反射波有

相位突變，相應(yīng)有半波波程的損失。這樣在分界處出現(xiàn)波節(jié)，這種現(xiàn)象稱為“半波損失”。例10-5一平面波沿x軸正方向傳播，傳到波密介質(zhì)分界面M在B點發(fā)生反射。已知坐標原點O到介質(zhì)分界面M的垂直距離L=1.75m，波長λ=1.4m，原點O處的振動方程為：

yo=510-3cos(500t+/4)m，并設(shè)反射波不衰減，試求：(1)入射波和反射波的波動方程；(2)O和B之間其余波節(jié)的位置；(3)離原點為0.875m

處質(zhì)點的振幅。LOBMu

解：(1)已知原點振動方程為：yo=510-3

cos(500t+/4)m則入射波的波動方程為：y入=510-3cos[2(250t-x/1.4)+/4]

m反射波：考慮C點，反射波引起C點振動的相位落后于O點振動的相位為2(2L-x)/λ+

，所以反射波的波動方程為：y反

=510-3cos[500t+/4-2(2L-x)/λ+]=510-3cos[2(250t+x/1.4)+/4]

mLOBMu

Cx(2)x處反射波與入射波引起振動相位差：Δφ=(2x/1.4+/4)-(-2x/1.4+/4)=4x/1.4干涉減弱條件可得波節(jié)位置滿足條件為：4x/1.4=(2k+1)波節(jié)位置：

x=0.35(2k+1)m，(k=0，1，2…)=0.35，1.05，1.75m所以O(shè)和B之間其余波節(jié)位置：x1=0.35

m,x2=1.05

m。(3)在x=0.875m

處，反射波和入射波間的相位差：

Δφ=40.8751.4

=5/2合振幅：

A=(A入2+A反2+2A入A反cosΔφ)1/2

=1.414A入

=1.414510-3

=7.0710-3m2、簡正模式駐波的頻率由系統(tǒng)的固有性質(zhì)和邊界條件決定。例如：一根兩端固定，長為l的緊張弦上的駐波，必須使兩端成為波節(jié)，即弦長必須是半波長的整數(shù)倍：l=kλ/2λk=2l/k(k=1，2，3…)對應(yīng)的駐波頻率：(u為弦線中的波速)k

=ku/2l(k=1，2，3…)/23/2k=1k=2k=3k

=ku/2l(k=1，2，3…)簡正模式：頻率由上式?jīng)Q定的振動方式，稱為該系統(tǒng)的。其中最低的頻率1稱為系統(tǒng)的基頻，2，3

，4

…稱為二次、三次，四次，…諧頻。簡正模式是駐波系統(tǒng)可能發(fā)生的振動方式。共振：當外界驅(qū)動源頻率等于(或很接近)系統(tǒng)的某一模式的頻率時，系統(tǒng)就發(fā)生幅度很大的駐波。通常把這種現(xiàn)象也叫做共振。在彈簧和質(zhì)點系統(tǒng)中只有一個共振頻率，而駐波系統(tǒng)可有許多共振頻率。一般情況下，任一振動可以表示為它的各種簡正模式的迭加。各個模式的強弱和相位則由系統(tǒng)的具體條件和激發(fā)方式?jīng)Q定。弦樂器就是基于這一原理制作的。當弦樂器因拉弦而激起振動時，就發(fā)出一定的聲音來，它包含各種頻率。基音：

對應(yīng)最低頻率1，決定聲音的音高；泛音：對應(yīng)頻率k稱為第k泛音，泛音決定各種樂器的音色。例如同奏一個“C”音，提琴和胡琴就很不同，這就是因為它們所包含的泛音不同的緣故。對于管、鼓、膜或空腔等駐波系統(tǒng)，也同樣有簡正模模式和共振現(xiàn)象?？梢宰C明：對于矩形膜上簡正模式為：

=u(k12/a2+k22/b2)1/2/2其中a和b分別為矩形的長與寬，k1和k2是整數(shù)。

對于矩形空腔內(nèi)的簡正模式為：

=u(k12/a2+k22/b2+k32/c2)1/2/2其中a、b和c分別為矩形空膜的長、寬和高，k1，k2和k3是整數(shù)。解：當繩索上激起強駐波時，可把繩索看作兩端固定的系統(tǒng)，可得：k=k(T/η)1/2/2l

式中k是所激起駐波包含的半波數(shù)。例10-6設(shè)A、B間繩索長l=1米，繩索線密度η=5克/米，所持砝碼為1千克。為在繩索上激一個半波，二個半波和三個半波的強駐波，問發(fā)生器的頻率(即音叉的振動頻率)應(yīng)分別為多少?lABPmk=k(T/η)1/2/2l已知：l=1m，T=1kg×9.8m/s2=9.8N，

η=5g/m=5×10-3kg/m，

k=1，2，3代入上式，得：

1

=1(9.8/510-3)1/2/21=22.1Hz

2

=2(9.8/510-3)1/2/21

=44.3Hz

3

=3(9.8/510-3)1/2/21

=66.5Hz四、薄膜干涉1、光程和光程差前面討論波的干涉條件時，僅限于相干波在同一介質(zhì)內(nèi)傳播的情況。下面將討論相干光經(jīng)過不同介質(zhì)后產(chǎn)生的干涉現(xiàn)象光程：光在折射率為n的介質(zhì)中傳播，通過幾何路程為x，則光的相位改變了：

Δφ=2x/’

(’為介質(zhì)中的波長)

Δφ=2nx/

(為真空中的波長)Δφ=2

nx/

(為真空中的波長)定義：光程=nx，即折算到真空中的路程。Δφ與光程差δ之間的關(guān)系：Δφ=2δ/

同相位的相干光，明暗條紋的干涉條件：

Δφ=2δ/=±2k

（明條紋）

Δφ=2δ/=±(2k+1)（暗條紋）用光程差δ來表示，即：

δ=±2k/2

（明條紋）

δ=±(2k+1)/2（暗條紋）其中k=0，1，2，3…。解：δ=(S1A-e)+ne-S2A因為A點在S1S2

的中垂線上，所以

S1A=S2A故光程差為：

δ=(n-1)e因此在A點的相位差Δφ為：

Δφ=2πδ/λ=2π(n-1)e/λ例10-7：相干光源S1和S2，波長為λ，在S1S2

的中垂線上有一點A，若在S1A連線上垂直插入一厚為e折射率為n的介質(zhì)，求兩相干光源在A點的相位差Δφ。AS1S2neadeg與bh幾何路程不等，但光程相等。abc三點在同一波陣面上，相位相等，到達F

點相位相等，形成亮點，所以透鏡的引入不會引起附加的光程差。agcbh.....eF屏.d.透鏡的等光程性:F屏acb...傾斜入射時：abc

三點在同一波陣面上，相位相等，到達F

點相位相等，形成亮點，透鏡的引入同樣不會引起附加的光程差。透鏡的等光程性:

δ=n2(AC+CB)-n1DB由幾何關(guān)系：AC=CB=e/cos

rDB=ABsini=2etg

rsini，折射定律：n1sini=n2sinr可得光程差：δ=2n2ecos

rCDABriib1a1n12nern3=n1ab設(shè)透明薄膜材料的兩個表面互相平行，來自擴展光源(面光源)上某點發(fā)出的a、b兩束平行光分別入射到薄膜表面上的A和B點，兩束反射線a1和b1之間光程差δ為：2、薄膜干涉的光程差可證明：1、當n1

>n2

>n3

或

n1

<n2

<

n3

時，反射沒有附加半波損失；2、其它情況下，反射要考慮附加半波損失。n2

n1

n3

透射光：光程差δ’為：δ’=δ+λ/2

所以：反射光干涉加強時，透射光干涉減弱；反射光干涉減弱時，透射光干涉加強。δ=2n2ecos

r薄膜干涉分類

(1)等厚干涉

當光線入射角i一定時，相同厚度e薄膜處有同一光程差，這樣干涉現(xiàn)象稱為等厚干涉，等厚干涉條紋在薄膜表面附近。

(2)等傾干涉

當薄膜厚度均勻一定時，相同的入射角i的光線有同一光程差，這樣的干涉現(xiàn)象稱為等傾干涉，等傾干涉條紋在無限遠處，可用透鏡聚集在焦平面上得到一同心園形干涉條紋。當平行光垂直(i=0)入射劈面上，由于劈尖上下介質(zhì)相同(n1=n3)，反射干涉應(yīng)考慮附加半波損失。干涉明紋：δ=2n2e+λ/2=2k(λ/2)干涉暗紋：δ=2n2e+λ/2=(2k+1)(λ/2)3、等厚干涉實例分析例10-8劈尖干涉（n1=n3，劈尖角很?。└缮姘导yn2ek+1ek

θθ平行光干涉明紋：δ=2n2e+λ/2=2k(λ/2)干涉暗紋：δ=2n2e+λ/2=(2k+1)(λ/2)

上兩式表明：每級明或暗條紋都與一定的膜厚e相對應(yīng)。因而在介質(zhì)膜上表面的同一條等厚線上，就形成同一級次的一條干涉條紋。這樣形成的干涉條紋叫做等厚條紋。

在棱邊處e=0，兩相干光的光程差δ=λ/2，即相位差為π，因而形成暗條紋。干涉暗紋n2ek+1ek

θθ平行光條紋間距l(xiāng)

：

e=ek+1-ek=lsinl=(ek+1-ek)sin

=Δe/sin

式中θ為劈尖頂角，Δe為與相鄰明紋或暗紋對應(yīng)的厚度差。對于相鄰的兩條明紋：

2n2ek+1+λ/2=(k+1)λ2n2ek+λ/2=kλΔe=ek+1-ek=λ/2n2

l=λ/2n2sin通常很小

sin≈

l≈

λ/2n2

n2ek+1ek

θθ平行光討論：條紋間距、條紋密度與劈尖角關(guān)系上式表明，劈尖干涉形成的干涉條紋是等間距的，條紋間距與劈尖角θ有關(guān)。θ越大，條紋間距越小，條紋越密。當θ大到一定程度后，條紋就密不可分了。所以干涉條紋只能在劈尖角度很小時才能觀察到。條紋間距：l≈

λ/2n2夾角變小，條紋變寬，條紋向右移動夾角變小，條紋變寬，條紋向右移動夾角變小，條紋變寬，條紋向右移動夾角變小，條紋變寬，條紋向右移動夾角變小，條紋變寬，條紋向右移動夾角變小，條紋變寬，條紋向右移動夾角變小，條紋變寬，條紋向右移動夾角變小，條紋變寬，條紋向右移動夾角變小，條紋變寬，條紋向右移動夾角變小，條紋變寬，條紋向右移動夾角變小，條紋變寬，條紋向右移動夾角變小，條紋變寬，條紋向右移動夾角變小，條紋變寬，條紋向右移動夾角變大，條紋變密條紋向左移動夾角變大，條紋變密條紋向左移動夾角變大，條紋變密條紋向左移動夾角變大，條紋變密條紋向左移動夾角變大，條紋變密條紋向左移動夾角變大，條紋變密條紋向左移動夾角變大，條紋變密條紋向左移動夾角變大，條紋變密條紋向左移動夾角變大，條紋變密條紋向左移動夾角變大，條紋變密條紋向左移動劈尖干涉應(yīng)用（1）已知劈尖的折射率n2和入射光的波長λ，又測出條紋間距l(xiāng)，則可求得劈尖角θ。在工程上，常利用這一原理測定細絲直徑，薄片厚度等。（2）利用等厚條紋特點檢驗工作的平整度，這種檢驗方法能檢查出不超過λ/4的凹凸缺陷。應(yīng)該出現(xiàn)暗紋的位置實際的暗紋位置試件標準件利用干涉現(xiàn)象檢驗平面的平整度假設(shè)n2<n1，n2<n3例如：介質(zhì)為空氣情形，有附加半波損失，所以反射干涉的光程差為：δ=2n2e+λ/2明環(huán)：2n2e+λ/2=kλ

（k=1，2，3…）暗環(huán)：2n2e+λ/2=(2k+1)λ/2

（k=0，1，2…）erRλn1n2n3AO在中心處，e=0，光程差為λ/2，形成暗斑。例10-9牛頓環(huán)干涉環(huán)半徑r與對應(yīng)介質(zhì)厚度e的關(guān)系：根據(jù)勾股定理有：

r2=R2-(R-e)2

=2Re-e2因為R>>e，可略去e2，

r2=2Re可得明環(huán)半徑為：

r=[(2k-1)Rλ/2n2

]1/2,

(k=1，2，3…)

暗環(huán)半徑為：

r=[kRλ/n2

]1/2，(k=0，1，2…)

由于半徑r與環(huán)的級次k的平方根成正比，所以越向外環(huán)越密。erRλn1n2n3AO透鏡曲率半徑變小時干涉條紋變密透鏡曲率半徑變小時干涉條紋變密透鏡曲率半徑變小時干涉條紋變密透鏡曲率半徑變小時干涉條紋變密透鏡曲率半徑變小時干涉條紋變密透鏡曲率半徑變小時干涉條紋變密透鏡曲率半徑變小時干涉條紋變密透鏡曲率半徑變小時干涉條紋變密透鏡曲率半徑變小時干涉條紋變密透鏡