重慶科創(chuàng)職業(yè)學院01-2數制編碼與邏輯代數

第一章數制編碼與邏輯代數

——第二部分邏輯代數1.4邏輯代數

1.4.1基本邏輯

1.4.2基本邏輯的運算規(guī)則

1.4.3基本邏輯函數及其表示方法

1.4.4邏輯函數的基本公式和定律

1.4.5邏輯函數的三個規(guī)則

1.4.6邏輯函數化簡常用公式

1.4.7邏輯函數的公式化簡法1.5邏輯函數的卡諾圖化簡方法

1.5.1邏輯函數的標準與或式

1.5.2圖解法（卡諾圖法）

1.5.3包含無關項的邏輯函數的化簡1.4邏輯代數基本概念

邏輯：事物的因果關系 邏輯運算的數學基礎：邏輯代數 在二值邏輯中的變量取值：

0/11.4.1基本邏輯

與（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示開關A合上，A=0表示開關A斷開；

以Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；

三種電路的因果關系不同：與條件同時具備，結果發(fā)生Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY0000100011或條件之一具備，結果發(fā)生Y=AORB=A+BABY0000110111非條件不具備，結果發(fā)生

AY01101.4.2基本邏輯運算的運算規(guī)則記好八字口訣：與：有0則0，全1則1

或：全0則0，有1則1推導一般形式：A·1=()A·0=()A·A=()A+1=()A+0=()A+A=()AA01AA10A一、基本邏輯運算的運算規(guī)則二、幾種常用的復合邏輯運算與非 或非 與或非異或Y=ABABY0000110110同或Y=A⊙BABY0010100011異或和同或運算相關結論A⊙0=()A⊙1=()A⊙A=()A⊙A=（）A⊕B=A⊕B=A⊙B=A⊙BA⊙B=A⊙B=A⊕B=A⊕B01AA⊕0=()A⊕

1=()A⊕

A=()A⊕

A=（）A10一邏輯函數（邏輯表達式）Y=F(A,B,C,······)

若以邏輯變量為輸入，運算結果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數關系。注：在二值邏輯中，輸入/輸出都只有兩種取值：0/1。1.4.3邏輯函數及其表示方法常量，原變量，反變量？二、邏輯函數的表示方法真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖計算機軟件中的描述方式各種表示方法之間可以相互轉換真值表輸入變量ABC····輸出Y1Y2

····遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應的取值邏輯式將輸入/輸出之間的邏輯關系用與/或/非的運算式表示就得到邏輯式。邏輯圖用邏輯圖形符號表示邏輯運算關系，與邏輯電路的實現相對應。波形圖將輸入變量所有取值可能與對應輸出按時間順序排列起來畫成時間波形?？ㄖZ圖EDA中的描述方式

HDL(HardwareDescriptionLanguage)

VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)

VerilogHDL EDIF DTIF

。。。

舉例：舉重裁判電路ABCY00000010010001101000101111011111各種表現形式的相互轉換：真值表邏輯式例：奇偶判別函數的真值表A=0,B=1,C=1使

A′BC=1A=1,B=0,C=1使AB′C=1A=1,B=1,C=0使

ABC′=1這三種取值的任何一種都使Y=1,所以

Y=?ABCY00000010010001111000101111011110真值表邏輯式：找出真值表中使Y=1的輸入變量取值組合。每組輸入變量取值對應一個乘積項，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。將這些變量相加即得Y。把輸入變量取值的所有組合逐個代入邏輯式中求出Y，列表邏輯式邏輯圖1.用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。邏輯式邏輯圖2.從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯運算式。波形圖真值表從波形圖上找出每個時間段里輸入變量與函數輸出的取值，將輸入、輸出取值對應列表輸入變量的取值與對應輸出值按照時間順序依次排列起來1.4.4邏輯函數的基本公式和定律一基本公式根據與、或、非的定義，得表2.3.1的布爾恒等式證明方法：推演真值表序號公式序號公式101′

=0;0′=110

A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A變量與常量的關系結合律交換律分配律反演律重疊率此頁中′符號表示取非運算。公式（17）的證明（公式推演法）：序號公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C吸收律還原律冗余律此頁中′符號表示取非運算。1.4.5邏輯函數的三個規(guī)則一代入規(guī)則在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。應用舉例：式（17）A+BC=(A+B)(A+C) A+B(CD)=(A+B)(A+CD) =(A+B)(A+C)(A+D)？應用舉例：式（8）？因此也可以推得（式中M為任意表達式）：二反演規(guī)則等式中

?

＋

＋

?0

1

1

0原變量反變量反變量原變量2個或2個以上變量的非號照寫

常量：運算符：

⊙⊕⊕⊙保持運算優(yōu)先順序不變得到原函數的反函數表達式例2求F=A+B+C+D+E的反演CF的反演=?D

?

?EAB?注意：不是單個變量上的反號應保持不變例1求

F=AB+

?C?D+0的反演F的反演=(A+B)?(CD

+)

?1例3：三對偶規(guī)則等式中0

1

1

0變量不變

常量：

?

＋

＋

?運算符：

⊙⊕⊕⊙2個或2個以上變量非號照寫

保持運算優(yōu)先順序不變得到原函數的對偶函數表達式例1求F=A?(B+C)的對偶式F’F’=A+B?C例2求F=A?+A(0+C)的對偶式F’BF’=（A+?(A+1?C)B）例3F=A?B?C求的對偶F’

F’=A+B+C

對偶規(guī)則應用舉例性質推理①：F與F’

互為對偶②：兩個邏輯式相等，它們的對偶也一定相等（意義：邏輯函數基本公式的擴展，等式證明和化簡中簡化復雜的乘積項展開過程）A+BCD=(A+B)(A+C)(A+D)例

A?(B+C+D)=AB+AC+AD對偶對偶1.4.6邏輯函數化簡常用公式吸收律還原律冗余率冗余擴展一、最簡的概念一個邏輯函數有多種不同的表達式F=AB+AC=AB+AC=(A+B)+(A+C)…..與或式…..與非/與非式…..或/與非式…..或非/或式=(A+B)?(A+C)=(A+B)?(A+C)=(A+B)+(A+C)=A?B+A?C=AB?AC…..或與式....或非/或非式…..與/或非式…..與非/與式=AB?ACF=(A+B)?(A+C)1.4.7邏輯函數的公式法化簡同一類型的表達式也不是唯一的F=AB+AC=AB+AC+BC=ABC+ABC+ABC+ABC………..①………..②………..③

+F1

+F3

+F2

F1最簡，元件少，可靠化簡方法

代數法卡諾圖法目的：①降低成本②提高可靠性邏輯函數的最簡形式最簡與或

------包含的乘積項已經最少，每個乘積項的因子也最少，稱為最簡的與-或邏輯式。1、并項法邏輯函數的公式化簡法就是運用邏輯代數的基本公式、定理和規(guī)則來化簡邏輯函數。利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項合并為一項，并消去一個變量。

若兩個乘積項中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項可以合并成一項，并消去互為反變量的因子。二、邏輯函數的代數化簡法運用摩根定律運用分配律運用分配律2、吸收法如果某乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。運用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝ＡＢ，消去多余的變量。

如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子，則這個因子是多余的。3、配項法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項配上其所缺的變量，以便用其它方法進行化簡。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項配上其所能合并的項。（3）利用公式ＡB＋ＡC+BC＝ＡB+AC，為某項配上其所能合并的項。4、消去冗余項法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項ＢＣ消去?！剑记衫?F=A+ABC+ACD+CE+DE=A+ACD+CE+DE=A+CD+CE+DE=A+CD+E(C+D)=A+CD+ECD=A+CD+E反復應用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。

×例2F=AB+AC+BC+BC+BD+BD+ADE(F+G)=A+BC+BC+BD+BD+ADE(F+G)=A(BC)+BC+BC+BD+BD+ADE(F+G)=A+BC+BC+BD+BD+CD=A+BC+BC+BD+BD+CD=A+BC+BC+BD+CD×=A+BC+BD+CD×例3F=(B+D)(B+D+A+G)(C+E)(C+G)(A+E+G)F’=BD+BDAG+CE+CG+AEG=BD+CE+CG+AEG=BD+CE+CG(F’)’=(B+D)(C+E)(C+G)例4F=A+AB+AC+BD+ACEF+BE+DEF=A+C+BD+BE歸納：

優(yōu)點是——不受變量數目的約束；當對公理、定理和規(guī)則十分熟練時，化簡比較方便。

缺點是——沒有一定的規(guī)律和步驟，技巧性很強，而且在很多情況下難以判斷化簡結果是否最簡。公式法化簡法

一、最小項m：m是乘積項包含n個因子n個變量必以原變量和反變量的形式在m中出現一次且只出現一次對于n變量函數有2n個最小項1.5.1邏輯函數的標準與或式

邏輯函數的兩種標準形式

最小項之和-與或式最大項之積-或與式1.5邏輯函數的標準與或式最小項舉例：兩變量A,B的最小項三變量A,B,C的最小項最小項的編號：最小項取值對應編號ABC十進制數0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7①任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。③全部最小項的和必為1。ABCABC②任意兩個不同的最小項的乘積必為0。④兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。二、最小項的性質在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為1。全體最小項之和為1

。任何兩個最小項之積為0

。兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。

------相鄰：僅一個變量不同的最小項如三、標準與或式——邏輯函數最小項之和的形式

求取方法1：例：利用公式可將任何一個函數化為標準與或式——邏輯函數最小項之和的形式：例：利用公式可將任何一個函數化為標準與或式——邏輯函數最小項之和的形式：例：利用公式可將任何一個函數化為標準與或式——邏輯函數最小項之和的形式：例：標準與或式——邏輯函數最小項之和的形式：

求取方法2：利用真值表——使函數值為1的變量取值對應的最小項之和如果列出了函數的真值表，則只要將函數值為1的那些最小項相加，便是函數的最小項表達式。m1＝ABCm5＝ABCm4＝ABCm2＝ABC將真值表中函數值為0的那些最小項相加，便可得到反函數的最小項表達式。一、用卡諾圖表示邏輯函數所有最小項1、卡諾圖的構成

將邏輯函數真值表中的最小項重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構成的圖形就是卡諾圖。

2、卡諾圖的特點

卡諾圖的特點是任意兩個相鄰的最小項在圖中也是相鄰的。（相鄰項是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項）。1.5.2圖解法——卡諾圖法每個4變量的最小項有4個最小項與它相鄰最左列的最小項與最右列的相應最小項也是相鄰的最上面一行的最小項與最下面一行的相應最小項也是相鄰的3、最小項的卡諾圖表示每個2變量的最小項有兩個最小項與它相鄰每個3變量的最小項有3個最小項與它相鄰二、用卡諾圖表示邏輯函數（1）將函數變換為與或表達式（不必變換為最小項之和的形式）；

（2）根據邏輯式中的變量數，畫出變量的卡諾圖；（3）在卡諾圖上將函數表達式中出現最小項對應的方格內填入1，其余的方格內填入0或不填。1、用卡諾圖表示邏輯函數的步驟：m1m3m4m6m7m11m14m15變換為與或表達式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子

說明：如果求得了函數Ｙ的反函數Ｙ，則對Ｙ中所包含的各個最小項，在卡諾圖相應方格內填入0，其余方格內填入1。2、卡諾圖的性質（1）任何兩個（21個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。（2）任何4個（22個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。ＡＤＢＤＢＤ

相鄰最小項的數目必須為個才能合并為一項，并消去n個變量。包含的最小項數目越多，即由這些最小項所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯表達式就越簡單。這就是利用卡諾圖化簡邏輯函數的基本原理。小結三、邏輯函數的卡諾圖化簡法1、用卡諾圖化簡邏輯函數的方法和步驟：1）、畫出邏輯函數的卡諾圖；

2）、合并卡諾圖中的相鄰最小項（即將卡諾圖中相鄰的1方格畫在一個圈中）；

3）、將合并化簡后的各與項進行邏輯加，便求得邏輯函數的最簡與--或式。邏輯表達式或真值表卡諾圖112、化簡示例合并最小項①圈越大越好，但每個圈中標１的方格數目必須為個。②同一個方格可同時畫在幾個圈內，但每個圈都要有新的方格，否則它就是多余的。③不能漏掉任何一個標１的方格。最簡與或表達式ＢＤＣＤＡＣＤ冗余項2233將代表每個圈的乘積項相加兩點說明

①在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成的與或表達式各不相同，哪個是最簡的，要經過比較、檢查才能確定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最簡ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最簡

②在有些情況下，不同圈法得到的與或表達式都是最簡形式。即一個函數的最簡與或表達式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ約束項任意項邏輯函數中的無關項：約束項和任意項可以寫入函數式，也可不包含在函數式中，因此統(tǒng)稱為無關項。在邏輯函數中，對輸入變量取值的限制（即不允許出現這些輸入變量取值），在這些取值下為1的最小項稱為約束項。在輸入變量某些取值下，函數值為1或為0不影響邏輯電路的功能，在這些取值下