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計(jì)算方法§5.6范數(shù)及誤差分析2/3/20231定義1.

5.6向量和矩陣的范數(shù)2/3/20232--------(1)--------(2)--------(3)2/3/20233顯然并且由于--------(4)2/3/202342/3/20235例1.求下列向量的各種常用范數(shù)解:2/3/20236定義2.2/3/20237不難驗(yàn)證其滿足定義2的4個條件稱為Frobenius范數(shù),簡稱F-范數(shù)--------(5)類似向量的2-范數(shù)2/3/20238根據(jù)向量的常用范數(shù)可以得到常用的矩陣算子范數(shù)--------(6)--------(7)--------(8)2/3/20239例3.求矩陣A的各種常用范數(shù)解:由于2/3/202310特征方程為2/3/202311容易計(jì)算計(jì)算較復(fù)雜對矩陣元素的變化比較敏感較少使用使用最廣泛性質(zhì)較好2/3/202312定義6.--------(9)顯然定理21.--------(10)2/3/202313

5.7誤差分析簡介2/3/202314即有--------(11)2/3/202315--------(12)--------(13)--------(14)所以又因?yàn)榭傻?12)和(13)兩式相乘,得相對誤差2/3/202316(14)式表明,由常數(shù)項(xiàng)產(chǎn)生的誤差,最多可將解的相對誤差放大倍--------(15)2/3/202317如果假設(shè)則由定理21,可知且(15)式化為--------(16)--------(17)2/3/202318--------(18)定義8.--------(19)2/3/202319顯然即任意矩陣的條件數(shù)必不小于1根據(jù)算子范數(shù)的不同也有不同的條件數(shù):2/3/202320--------(20)--------(21)根據(jù)定義8的定義,(14)式和(18)式可表示為-----(22)2/3/202321條件數(shù)的性質(zhì)2/3/2023222/3/2023232/3/2023242/3/2023252/3/202326“病態(tài)”方程的經(jīng)驗(yàn)判斷2/3/2023

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