雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)兩種方法

..雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)O·O··xy如圖建立直角坐標(biāo)系,其x軸上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)與的點(diǎn)為兩波源。這兩個(gè)波源的振動(dòng)情況完全相同,則這兩個(gè)波源發(fā)生干涉時(shí)的加強(qiáng)區(qū)為到兩個(gè)波源的距離差為波長(zhǎng)整數(shù)倍〔零除外的雙曲線簇。其中、為所有雙曲線的公共焦點(diǎn)。這個(gè)雙曲線簇的方程為：O·O··xy用直線去截這簇雙曲線,直線與雙曲線的交點(diǎn)為加強(qiáng)的點(diǎn)。將代入雙曲線簇的方程,有：解得：上式中,d的數(shù)量級(jí)為,為。故,x的表達(dá)式簡(jiǎn)化為：其中的數(shù)量級(jí)為,d的數(shù)量級(jí)為。故,x的表達(dá)式簡(jiǎn)化為：可見(jiàn),交點(diǎn)橫坐標(biāo)成一等差數(shù)列,公差為,這說(shuō)明：〔1條紋是等間距的；〔2相鄰兩條紋的間距為。至此,證明了條紋間距公式：。楊氏雙縫干涉條紋間距到底是不是相等的？海軍航空工程學(xué)院李磊梁吉峰選自《物理教師》20XX第11期在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中,在現(xiàn)行的高中物理教科書中得出相鄰的明紋〔或者暗紋中心間距為：Δx＝Lλ/d,其中L為雙縫與屏的間距,d為雙縫間距,對(duì)單色光而言,其波長(zhǎng)λ為定值,所以我們得出的結(jié)論是干涉圖樣為等間距的一系列明暗相同的條紋,但是在現(xiàn)行的高中物理教科書中所給的干涉條紋的照片卻并非如此,如圖1。我們可以看到只是在照片中央部分的干涉條件是等間距的,但是在其邊緣部分的條紋的間距明顯與中央部分的條紋間距不同。問(wèn)題到底出在哪里呢？首先我們來(lái)看現(xiàn)行的教科書上對(duì)于楊氏雙縫干涉的解釋,如圖2。設(shè)定雙縫S1、S2的間距為d,雙縫所在平面與光屏P平行。雙縫與屏之間的垂直距離為L(zhǎng),我們?cè)谄辽先稳∫稽c(diǎn)P1,設(shè)定點(diǎn)P1與雙縫S1、S2的距離分別為r1和r2,O為雙縫S1、S2的中點(diǎn),雙縫S1、S2的連線的中垂線與屏的交點(diǎn)為P0,設(shè)P1與P0的距離為x,為了獲得明顯的干涉條紋,在通常情況下L>>d,在這種情況下由雙縫S1、S2發(fā)出的光到達(dá)屏上P1點(diǎn)的光程差Δr為S2M＝r2－r1≈dsinθ,〔1其中θ也是OP0與OP1所成的角。因?yàn)閐<<L,θ很小,所以sinθ≈tanθ＝EQ\F<x,L>〔2因此Δr≈dsinθ≈dEQ\F<x,L>當(dāng)Δr≈dEQ\F<x,L>＝±kλ時(shí),屏上表現(xiàn)為明條紋,其中k＝0,1,2,……,〔3當(dāng)Δr≈dEQ\F<x,L>＝±〔k＋EQ\F<1,2>λ時(shí),屏上表現(xiàn)為暗條紋,其中是k＝0,1,2,……?！?′我們繼續(xù)算得光屏上明條紋和暗條紋的中心位置。當(dāng)x＝±kEQ\F<L,d>λ時(shí),屏上表現(xiàn)為明條紋,其中k＝0,1,2,…。〔4當(dāng)x＝±〔k＋EQ\F<1,2>EQ\F<L,d>λ時(shí),屏上表現(xiàn)為暗條紋,其中k＝0,1,2,…。〔4′我們還可以算出相鄰明條紋〔或者暗條紋中心問(wèn)的距離為Δx＝xk＋1－xk＝EQ\F<L,d>λ?！?至此我們得出結(jié)論：楊氏雙縫干涉條紋是等間距的。問(wèn)題就在于以上的推導(dǎo)過(guò)程中,我們用過(guò)兩次近似,第1次是在運(yùn)用公式Δr＝r2－r1≈dsinθ的時(shí)候,此式近似成立的條件是∠S1P1S2很小,因此有S1M⊥S2P1,S1M⊥OP1,因此∠P0OP1＝∠S2S1M,如果要保證∠S1P1S2很小,只要滿足d<<L即可,因此Δr≈dsinθ是滿足的。第2次近似是因?yàn)閐<<L,θ很小,所以sinθ≈tanθ。下面我們通過(guò)表1來(lái)比較sinθ與tanθ的數(shù)值。表1θ1°2°3°4°5°6°7°sinθ0.0174520.0348990.0523590.0697560.0871550.1045280.121869tanθ0.0174550.0349200.0524070.0699260.0874880.1051040.122784θ8°9°10°11°sinθ0.1391730.1564340.1736480.190808tanθ0.1405400.1583840.1763260.194380從表1中我們可以看出當(dāng)θ＝6°時(shí),EQ\F<tanθ－sinθ,sinθ>≈0.6%。因此當(dāng)θ≥6°時(shí),相對(duì)誤差就超過(guò)了0.6%,因此我們通常說(shuō)sinθ＝tanθ成立的條件是θ≤5°,當(dāng)θ＞5°時(shí),sinθ≈tanθ就不再成立。而在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中,θ很小所對(duì)應(yīng)的條件應(yīng)該是x<<L,這應(yīng)該對(duì)應(yīng)于光屏上靠近P0的點(diǎn),在此種情況下上述的推導(dǎo)過(guò)程是成立的,干涉條紋是等間距的。而當(dāng)x較大時(shí),也就是光屏上離P0較遠(yuǎn)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的θ角也較大,當(dāng)θ＞5°時(shí),sinθ≈tanθ就不再成立,上述推導(dǎo)過(guò)程也就不完全成立了,〔2式就不能再用了。此時(shí)sinθ＝所以,Δr≈dsinθ＝＝±kλ,屏上表現(xiàn)為明條紋,其中k＝0,1,2,…,Δr≈dsinθ＝＝±〔k＋EQ\F<1,2>λ,屏上表現(xiàn)為暗條紋,其中k＝0,1,2,…。因此可以得到光屏上明紋或者暗紋的中心位置為x＝±,屏上表現(xiàn)為明條紋,其中k＝0,1,2,…,x＝±,屏上表現(xiàn)為暗條紋,其中k＝0,1,2,…。則相鄰的明條紋中心問(wèn)距為Δx明＝xk＋1明一xk明＝－鄰暗條紋中心間距為Δx暗＝xk＋1暗一xk暗＝－由上式可見(jiàn)相鄰的明、暗條紋就不再是等間距的了,這也正如教科書上的照片所示的條紋分布。下面我們通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)定量計(jì)算等間距條紋的條數(shù)。例1：用氦氖激光器〔頻率為4.74×1014Hz的紅光照射間距為2mm的雙縫時(shí),試求我們能觀察到的等間距的條紋的條數(shù)。解：因?yàn)棣＝dsin