機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件第5章：系統(tǒng)的穩(wěn)定性

第五章

系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)5.3Nyquist（乃奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)5.5系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念一穩(wěn)定的概念A(yù)b、不穩(wěn)定的擺AAA″a、穩(wěn)定的擺收斂（穩(wěn)定）等幅振蕩（臨界穩(wěn)定）發(fā)散（不穩(wěn)定）x0(t)t用圖形表示：注意：線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的內(nèi)部條件，與輸入無關(guān)系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象，必須有適當(dāng)?shù)姆答佔(zhàn)饔每刂评碚撍懻摰姆€(wěn)定性是指輸入為零時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定二穩(wěn)定的定義和條件1定義在初始條件下，且不存在輸入作用，系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)隨時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨向于零，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之，則為不穩(wěn)定。2條件線性定常系統(tǒng)經(jīng)過Laplace變換（考慮到初始條件）其中：N(s)----與初始條件有關(guān)的s的多項(xiàng)式當(dāng)輸入為零時(shí)：Si--------系統(tǒng)的根Ai-------與初始條件有關(guān)的系數(shù)L-1當(dāng)Re[si]<0時(shí)穩(wěn)定不穩(wěn)定時(shí)間響應(yīng)txo(t)特征根的分布ReImtxo(t)ReIm穩(wěn)定txo(t)ReIm不穩(wěn)定txo(t)ReIm臨界穩(wěn)定ttxo(t)xo(t)ReImReIm系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)的全部特征根都必須具有負(fù)實(shí)部；反之，若系統(tǒng)特征根只要有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定例系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定s1=-1s2=-2s3=-5s1=1s2=-2s3=-55.2Routh(勞斯）穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)是基于方程式根和系數(shù)之間的關(guān)系建立的一、系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程

D(s)=ansn+an-1sn-1+……..+a1s+a0當(dāng)ai>0(i=1,2……n)時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定例：特征方程D(s)=s5+7s4+3s2+2s+1，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性∵s3的系數(shù)為0，不滿足勞斯判據(jù)的必要條件∴系統(tǒng)不穩(wěn)定例：特征方程D(s)=s5+7s4+6s3+3s2+2s+1，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性用勞斯判據(jù)的必要條件無法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、勞斯表閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程

D(s)=ansn+an-1sn-1+……..+a1s+a0二系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件2、Routh穩(wěn)定判據(jù)

Routh表中的第一列各元的符號(hào)均為正數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

若第一列各元的符號(hào)有改變，則改變的次數(shù)等于特征方程有右根的個(gè)數(shù)。++例系統(tǒng)的特征方程為D(s)=s5+7s4+6s3+3s2+2s+1，試判斷的穩(wěn)定性11∵勞斯表第一列元素不全為正，則系統(tǒng)不穩(wěn)定s5162

s4731s2s3s1s0有兩個(gè)右根二階系統(tǒng)：特征方程D(s)=a2s2+a1s+a0系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：a2>0,a1>0,a0>0階次較低的系統(tǒng)，Routh判據(jù)可表示為：勞斯陣列為：s2

a0

a2s1

a1 0s0

a2三階系統(tǒng)：

特征方程D(s)=a3s3+a2s2+a1s+a0a3>0,a2>0,a1>0,a0>0a2a1-a3a0>0系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：s3

a3

a1s2

a2

a0s1s0a0例：控制系統(tǒng)的方框圖如下，試確定當(dāng)輸入為單位速度信號(hào)時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess<0.2s的K值的范圍-Ks(s+5)(s+1)Xi(s)Xo(s)解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳函Gk(s)可確定為I型系統(tǒng)則在單位速度信號(hào)輸入時(shí)，系統(tǒng)的速度偏差系數(shù)為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為K>25系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍∴系統(tǒng)穩(wěn)定且ess<0.2的K的取值范圍為25<0<30穩(wěn)定條件5×6-1×K>0K>00<K<30例3：設(shè)某系統(tǒng)的特征方程如下，試確定待定參數(shù)及，以便使系統(tǒng)穩(wěn)定。D(s)=s3+(+1)s2+(+-1)s+-1=0s31+-1s2+1-1s1+1(+)(+1)(+-1)-(-1)=(+)0so-1系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件+1>0-1>0(+)>0>0>1>-1>0>1+>0三、Routh判據(jù)的特殊情況1、勞斯陣列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各項(xiàng)不等于零或不全為零。處理方法：用一個(gè)很小的正數(shù)

代替該行第一列的零，并據(jù)此計(jì)算出陣列中的其余各項(xiàng)。然后令

0，按前述方法進(jìn)行判別。如果零(

)上下兩項(xiàng)的符號(hào)相同，則系統(tǒng)存在一對(duì)虛根，處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果零(

)上下兩項(xiàng)的符號(hào)不同，則表明有一個(gè)符號(hào)變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例系統(tǒng)的特征方程s4+2s3+s2+2s+1=0，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性∵第一列元素不全為正數(shù)∴系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)右根s4111s322s201s1s01+++-+2、勞斯陣列表某一行全為零勞斯陣列出現(xiàn)全零行表明系統(tǒng)在s平面有對(duì)稱分布的根，即存在大小相等符號(hào)相反的實(shí)根和（或）一對(duì)共軛虛根和（或）對(duì)稱于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根；或存在更多這種大小相等，但在s平面位置徑向相反的根。j0-aaReIm0-jajaj0-aa-jbjb處理方法：利用該零行上面一行元素構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，取輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)代替該零行，繼續(xù)計(jì)算勞斯陣列中其余各項(xiàng)。令輔助多項(xiàng)式等于零得到輔助方程，解此方程可得這些成對(duì)的特征根。顯然，輔助多項(xiàng)式的階次總是偶數(shù)。例如：∴閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定

系統(tǒng)具有兩對(duì)共軛虛根5.3Nyquist穩(wěn)定判據(jù)一幅角原理其中：zi---零點(diǎn)pi---極點(diǎn)令：設(shè)F(s)在[s]平面上（除有限個(gè)奇點(diǎn)外）為單值的連續(xù)正則函數(shù)，并設(shè)[s]平面上解析點(diǎn)s映射到[F(s)]平面上為點(diǎn)F(s)，或?yàn)閺脑c(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量F(s).若在[s]平面上任意選定一封閉曲線Ls，只要此曲線不經(jīng)過F(s)的奇點(diǎn)，則在[F(s)]平面上必有一對(duì)應(yīng)的映射曲線LF，也是一封閉曲線。當(dāng)解析點(diǎn)s按順時(shí)針沿Ls變化一周時(shí)，向量F(s)將按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)N周，即F(s)以原點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)N周，這就等于曲線LF順時(shí)針包圍原點(diǎn)N次。Lsj[s]ReImF(s)s1F(s1)LFs2F(s2)若令：Z為包圍于Ls內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，P為包圍于Ls的極點(diǎn)數(shù)，則：N=Z-P向量F(s)的相位角為：假設(shè)Ls內(nèi)只包含了一個(gè)零點(diǎn)zi，其他零極點(diǎn)均位于Ls之外。jωσziz2p1p2s-zis-p1[s]Ls當(dāng)s沿Ls按順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí):向量(s-zi)的相位角變化了-2，而其他各向量的相位角變化為0。即向量F(s)的相位角總的變化量為-2.jωσziz2p1p2s-z1s-p1ImReF(si)[s][F(s)]LsLF若[s]平面上的封閉曲線包圍著F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)，則在[F(s)]平面上的映射曲線LF將繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)Z圈。若[s]平面上的封閉曲線包圍著F(s)的P個(gè)極點(diǎn)，則在[F(s)]平面上的映射曲線LF將繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)P圈。若Ls包圍了F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，則在[F(s)]平面上的映射曲線LF將繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)N=Z-P圈。二、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1、開環(huán)、閉環(huán)傳函零、極點(diǎn)與F(s)函數(shù)之間關(guān)系G(s)H(s)-Xi(s)X0(s)開環(huán)傳函的表達(dá)形式為GK(s)=G(s)H(s)閉環(huán)傳函為令輔助函數(shù)F(s)=1+GK(s)GB(s)F(s)GK(s)零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)相同相同2、Nyqusit穩(wěn)定判據(jù)j[s]+j∞0-j∞L1L2R=∞設(shè)F(S)在[s]右半平面有Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)時(shí)，當(dāng)s沿[s]平面上的Nyquist軌跡移動(dòng)一周時(shí)，在[F]平面上的影射曲線LF順時(shí)針包圍原點(diǎn)

N=（Z-P）圈∵系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：Z=0∴

N=-P即系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，F(xiàn)平面上的曲線逆時(shí)針包圍原點(diǎn)P圈ReIm[F]F(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)=F(s)-1F(s)ImRe[GH](-1,j0)GK(s)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)由-∞到+∞時(shí)，若[GH]平面上的開環(huán)頻率特性GK(j)逆時(shí)針方向包圍（-1，j0)點(diǎn)P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。P為GK(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。

（若由0到+∞時(shí)，則為P/2圈）注意：由-∞到從0的Nyquist軌跡與由0到+∞的Nyquist軌跡互為以實(shí)軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱曲線表述1：開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist軌跡不包圍（-1.j0)點(diǎn)。P=0開環(huán)穩(wěn)定由N=Z-P得：N=0例1：一個(gè)開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)的Nyquist曲線如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性∵Nyquist曲線不包圍（-1,j0)點(diǎn)∴閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(-1,j0)0∞ImRe-∞(-1,j0)∞∴閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定-∞∵Nyquist曲線順時(shí)針包圍（-1，j0)點(diǎn)2圈例2：0ImReP=0若：開環(huán)不穩(wěn)，存在著右極點(diǎn)，數(shù)量為P閉環(huán)穩(wěn)定的條件是：Z=0由N=Z-P，得到閉環(huán)穩(wěn)定的條件：N=-P表述2開環(huán)不穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：開環(huán)Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)P圈（P為開環(huán)正極點(diǎn)個(gè)數(shù)）開環(huán)不穩(wěn)，有一個(gè)正極點(diǎn)（P=1）∞∵Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)1圈∴閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定0(-2,j0)-∞ImRe(-1,j0)開環(huán)不穩(wěn)，有一個(gè)正極點(diǎn)（P=1）-∞∵Nyquist曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)1圈∴閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定0∞(-2,j0)ImRe(-1,j0)-∞∵Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)1圈(N=1)∴閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定P=1=NReIm(-1,j0)=0∞P=1例0ImRe∞開環(huán)傳函：當(dāng)=0時(shí)，|Gk(s)|=∞=0+(0+)三開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)的Nyquist圖當(dāng)s沿?zé)o窮小半圓逆時(shí)針方向移動(dòng)時(shí)G(j0-)=∞∠λ×90oG(j0)=∞∠0oG(j0+)=∞∠λ×(-90o)0-0+ReIm在[GH]平面上的Nyquist軌跡將沿?zé)o窮大半徑從=0-(或=0)按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)λ×180o(或λ×90o）到=0+。-0-λ=1∵Nyquist軌跡順時(shí)針包圍（-1，j0)點(diǎn)2圈∴閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定0+ImRe(-1,j0)例:系統(tǒng)的開環(huán)傳函為試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。=0-=-∞P=1∵開環(huán)Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)1圈∴閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(-1,j0)ReIm=0+=∞例：開環(huán)傳函的Nyquist圖如下圖所示，試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。P=0λ=1=0-=-∞∵N=-2≠P()=-180+(arctan4-arctan-arctan2)＞-180o

(0+)(-1,j0)Re=0+=∞例：開環(huán)傳函圖如圖所示，試確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Im的Nyquist∴閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定四穿越的概念開環(huán)Nyquist軌跡在（-1,j0)點(diǎn)以左穿過負(fù)實(shí)軸的稱為穿越正穿越----相位增加負(fù)穿越-----相位減小相位大相位小ReIm(-1,j0)+1-1+0.5-0.5Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的表述形式3：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，Nyquist曲線（由-到+）在負(fù)實(shí)軸上的正、負(fù)穿越次數(shù)之差等于開環(huán)正極點(diǎn)個(gè)數(shù)。即：當(dāng)P=N+-N-時(shí)(由-到+）,系統(tǒng)穩(wěn)定或當(dāng)0.5P=N+-N-時(shí)（由0到+）,系統(tǒng)穩(wěn)定N+=2N-=4∵N+-N-=-2

P=1∴系統(tǒng)不穩(wěn)定-1+1-1-1,j0)P=1ImReλ=1=0+=∞=0-=-∞-1-1+1五關(guān)于Nyquist判據(jù)的幾點(diǎn)說明Nyquist判據(jù)是在[GH]平面內(nèi)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性Nyquist判據(jù)應(yīng)用簡單開環(huán)不穩(wěn)定時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)仍然可穩(wěn)定六、影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的因數(shù)1、開環(huán)增益KK=1K=10穩(wěn)定不穩(wěn)定K↑→系統(tǒng)穩(wěn)定性↓G(s)=Ks(s+1)(s+2)0+ReIm0+2、系統(tǒng)的型次系統(tǒng)的型次↑→系統(tǒng)穩(wěn)定性↓穩(wěn)定不穩(wěn)定=0-=-∞=0+=+∞ImRe=0+=+∞ImRe=0-=-∞3、系統(tǒng)的階次

階次的增大→系統(tǒng)穩(wěn)定性↓當(dāng)開環(huán)為最小相位系統(tǒng)時(shí)，在三階或三階以上時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)才可能不穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定ReIm=0=+∞=-∞ReIm=0=+∞=-∞(-1,j0)不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定穩(wěn)定T1<T2T1=T2T1>T2()=arctanT1-arctanT2-180ReIm=0+=0-=+∞φ(0+)>-180o=-∞=0ImRe=0+=+∞=0-φ(0+)<-180o=-∞4、各環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)大小5、開環(huán)傳函零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)零點(diǎn)多，可緩解不穩(wěn)定的傾向例如：5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)一、Nyquist圖和Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系1-1234=

=0+ReIm-180°-90°L()()123400°

Nyquist圖上以原點(diǎn)為圓心的單位圓對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)幅頻特性圖上的0分貝線。單位圓以外的Nyquist曲線，對(duì)應(yīng)L()>0的部分；單位圓內(nèi)部的Nyquist曲線對(duì)應(yīng)L()<0的部分。

Nyquist圖上負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)相頻特性圖上的－180°線。

Nyquist曲線與(-1,j0)點(diǎn)以左實(shí)軸的穿越點(diǎn)相當(dāng)于L()>0的所有頻率范圍內(nèi)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線與－180°線的穿越點(diǎn)。1-1234=

=0+ReIm-180°-90°L()()123400°

Nyquist圖中的正穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性曲線當(dāng)增大時(shí)從下向上穿越－180°線(相角滯后減小)；負(fù)穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性曲線當(dāng)

增大時(shí)，從上向下穿越－180°線(相角滯后增大)。1-1234=

=0+ReIm-180°-90°L()()123400°

Nyquist曲線的輔助線反映在對(duì)數(shù)相頻特性曲線上。即將對(duì)數(shù)相頻特性曲線的起始點(diǎn)(0+)與(0+)+v90°線相連(v為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)。1-1234=

=0+ReIm-180°-90°L()()123400°C---------剪切頻率（幅值交界頻率）g--------相位交界頻率ReImL()0cgcg()二、Bode判據(jù)不穩(wěn)定系統(tǒng)，C>gP=0=1ImRe（-1,j0)=0+=0-Cg穩(wěn)定系統(tǒng)，C<gImRe（-1,j0)P=0=1=0+gC=0-∵C<g∴系統(tǒng)穩(wěn)定L()()Cg-π0∵C>g∴系統(tǒng)不穩(wěn)定L()()gC-π0Bode穩(wěn)定判據(jù)表述1：

當(dāng)開環(huán)穩(wěn)定時(shí)，若在L()>0的所有頻率下，其相頻曲線都在-線以上的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定L()()Cg0-π系統(tǒng)不穩(wěn)定L()()gC0-π表述2：開環(huán)不穩(wěn)定時(shí)，閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：在L()>0的所有頻率下，系統(tǒng)的相頻特性曲線在-線上的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于系統(tǒng)開環(huán)正極點(diǎn)個(gè)數(shù)的一半正穿越次數(shù)開環(huán)正極點(diǎn)個(gè)數(shù)負(fù)穿越次數(shù)N+=1,N-=2大小≠閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定N+-N-=-1L()0P=2()+1-1-15.5系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性K<6,穩(wěn)定K>6,不穩(wěn)定K=6,臨界穩(wěn)定ImRe結(jié)論：開環(huán)Nyquist曲線與(-1,j0)點(diǎn)的接近程度可以反映系統(tǒng)閉環(huán)的相對(duì)穩(wěn)定性，即穩(wěn)定程度一、相位裕度幅值穿越頻率c開環(huán)Nyquist曲線與單位圓的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率c稱為幅值穿