概率論 第二講 等可能概型

第二講

等可能概型一等可能概型的概述二古典概率三幾何概率等可能概型的概述一、定義：樣本空間中的每個(gè)樣本點(diǎn)在一次試驗(yàn)后以相等的可能性出現(xiàn)，即等可能性。二、注意：搞清楚樣本空間，事件，基本事件的關(guān)系。

一.古典概率隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小常用區(qū)間[0，1]中的一個(gè)數(shù)值來(lái)刻劃，這個(gè)數(shù)值稱為概率，記為

p（A）。自然地規(guī)定P（Ω）=1，

P（φ）=0。

0≤p(A)≤1

（2）拋一枚勻稱的硬幣，出現(xiàn)正面和反面的可能性相同。這兩個(gè)試驗(yàn)的共同特點(diǎn)是：①每次試驗(yàn)只有有限種可能的試驗(yàn)結(jié)果，即樣本點(diǎn)總數(shù)有限。②每次試驗(yàn)中各基本事件出現(xiàn)的可能性是相同的，即等可能性。

在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，有很大一類隨機(jī)現(xiàn)象具有一些共同的特征，可以直接計(jì)算出事件的概率。比如：（1）一盒燈泡100個(gè)，任取一個(gè)檢查其質(zhì)量，則100個(gè)燈泡被抽取的機(jī)會(huì)相同。

在概率論中，把具有上述兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)叫做古典型試驗(yàn)，它的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型。在古典概型中，記n為樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)，如果事件A中包含nA個(gè)樣本點(diǎn)，（或稱有利于A的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為nA

）那么規(guī)定

P（A）=nA/n

例1.盒中裝有5個(gè)球，三白兩紅，從中任取一個(gè)，問(wèn)：取到白球的概率是多少？若從中任取兩個(gè)，問(wèn)兩個(gè)球全是白球的概率是多少？（考慮50個(gè)球的情形：計(jì)數(shù)原理和排列組合）解：

P=3/5

P2=3*2/(5*4)=3/101.從n個(gè)元素中任取k個(gè)，有

種不同的結(jié)果；2.一件事情分幾個(gè)步驟完成，則互相之間用乘法，一件事情有若干種方法來(lái)完成，則互相之間用加法，這就是所謂的計(jì)數(shù)原理。

例2.一個(gè)盒子中裝有10個(gè)晶體管，其中3個(gè)是不合格品。從這個(gè)盒子中依次隨機(jī)地取2個(gè)，在有放回與無(wú)放回抽樣的二種情況下求2個(gè)中恰有1個(gè)是不合格品的概率。注意抽樣的區(qū)別：有放回抽樣和無(wú)放回抽樣。有放回的情況下

p=(7×3+3×7)/102=0.42在無(wú)放回的情況下

p=(7×3+3×7)/(10×9)=0.47

例3.兩封信隨機(jī)地向四個(gè)郵筒投寄，求A∶第二個(gè)郵筒恰好被投入一封信的概率，B∶兩封信在同一郵筒的概率。解：

P(A)=(3+3)/42=3/8

P(B)=4/42=1/4在古典概型中顯然有

P(ā)=(n-nA)/n=1-p(A)

例4，擲兩顆骰子，試求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率。解：樣本空間共含36個(gè)樣本點(diǎn)，點(diǎn)數(shù)之和大于等于10含樣本點(diǎn)(5，5），（4，6），（6，4），（5，6），（6，5），（6，6）共6個(gè)。

P=1-6/36=5/6例5，某城市的電話號(hào)碼升為6位數(shù)，且第一位為6或8。求（1）隨機(jī)抽取的一個(gè)電話號(hào)碼為不重復(fù)的六位數(shù)的概率；（2）隨機(jī)抽取的電話號(hào)碼末尾數(shù)是8的概率。

解（1）（2）6888例6（女士品茶問(wèn)題）一位常喝奶茶的女士聲稱她能辨別出沖好的奶茶是先放茶還是先放奶，并且她在10次試驗(yàn)中都正確地辨別了出來(lái)，問(wèn)她的說(shuō)法是否可信？每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果，或者先放茶后放奶，或者先放奶后放茶，十次試驗(yàn)共有不同結(jié)果。而10次都正確的結(jié)果只有一種！解：假設(shè)該女士的說(shuō)法不可信，即該女士純粹是猜測(cè)，則每次試驗(yàn)的兩個(gè)可能結(jié)果：茶＋牛奶或牛奶＋茶是等可能的．Ａ＝｛該女士在１０次試驗(yàn)中都正確的辨別出來(lái)｝，則

p（Ａ）=1/210=0.0009766

這是一個(gè)小概率事件．概率論中“實(shí)際推斷原理”:一個(gè)小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是不會(huì)發(fā)生的．因此按“實(shí)際推斷原理”事件Ａ實(shí)際不會(huì)發(fā)生，這與實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果相矛盾，因此假設(shè)“女士純粹是猜測(cè)”不成立，有理由斷言該女士的說(shuō)法是可信的．例7（抽獎(jiǎng)券問(wèn)題）某超市有獎(jiǎng)銷售，投放n張獎(jiǎng)券只有一張有獎(jiǎng)。每位顧客可抽一張。求第k位顧客中獎(jiǎng)的概率。（無(wú)放回抽樣）（1≤k≤n）二.幾何概率

例：在一個(gè)勻稱陀螺的圓周上均勻的刻上區(qū)間[0，3）上的各數(shù)字，旋轉(zhuǎn)該陀螺，考察陀螺停下時(shí)接觸地面的點(diǎn)的刻度恰好為2的概率。

以等可能性為基礎(chǔ)，借助于幾何上的度量來(lái)合理地規(guī)定的概率，稱為幾何概率。一般地，設(shè)樣本空間是某個(gè)區(qū)域Ω（直線、平面或空間）每個(gè)樣本點(diǎn)等可能地出現(xiàn)，規(guī)定事件A的概率為

P（A）=m（A）/m（Ω）這里m（·）分別表示長(zhǎng)度、面積或體積。

例8，在半圓區(qū)域0≤y≤內(nèi)隨機(jī)地投入一點(diǎn)，求該點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與x軸的夾角不超過(guò)的概率.

02a

例9．在單位圓O的一條