數(shù)學(xué)物理方程一些典型方程和定解條件的建立

第一章：一些典型方程和定解條件的建立肖龍勝xls.work@§1.1

數(shù)學(xué)物理方程的建立數(shù)學(xué)物理方程的建立定解條件的建立定解問題本章提要：對實際問題（物理及一般問題），分析考察量的變化規(guī)律，建立相應(yīng)的微分方程寫出考察量所滿足的相關(guān)條件根據(jù)微分方程和相關(guān)條件，求出考察量的解討論解的適用條件精確描述線性增長階段例子:人口增長問題

(Malthus模型)什么是數(shù)學(xué)物理方法？用數(shù)學(xué)物理方法處理實際問題:第一步它是最重要的一步也是最困難的一步：數(shù)學(xué)物理方程的建立數(shù)學(xué)物理方法的核心：§1.1

數(shù)學(xué)物理方程的建立統(tǒng)計法：對所考察的問題進(jìn)行統(tǒng)計學(xué)研究，分析考察量的變化規(guī)律，寫出它所滿足的微分方程。這種方法具有非常廣泛的用途，包括生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)等。微元法：在系統(tǒng)中分出一個微元，分析它與附近部分的相互作用，寫出作用規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式（比如牛頓第二定律表達(dá)式），它就是系統(tǒng)的微分方程。規(guī)律法：直接利用物理學(xué)規(guī)律寫出考察量所遵循的數(shù)學(xué)物理方程，比如利用電磁波的麥克斯韋方程，寫出電位、電場強度、磁場強度等物理量的微分方程。建立數(shù)理方程的方法基本方程（泛定方程）的建立

物理模型（現(xiàn)象、過程）

數(shù)學(xué)形式表述（建立偏微分方程并求解）目的：培養(yǎng)分析、歸納、綜合、演繹、抽象、猜測、試探、估算的科學(xué)方法。微元法步驟：(1）確定研究對象（物理量），建立合適的坐標(biāo)系；（2）在系統(tǒng)內(nèi)部，任取一微元，利用物理規(guī)律，分析其與相鄰部分間的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化簡整理，得到偏微分方程。

不含初始條件不含邊界條件物理狀態(tài)描述:設(shè)有一根均勻、柔軟的細(xì)弦，平衡時沿直線拉緊，除受到重力外，不受其它外力影響，在鉛直平面內(nèi)作橫向、微小振動。平衡位置弦的振動：雖然經(jīng)典，但極具啟發(fā)性。一.均勻弦的橫振動方程的建立橫向指全部運動出現(xiàn)在一個平面上，而且弦上的點沿垂直于x軸的方向運動微小指振動的幅度及弦在任意位置處切線的傾角都很小，以致它們的高于一次方的項都可以忽略平衡位置:弦被繃緊，內(nèi)部有張力(設(shè)為

T)，

長度為

L，水平安置(位于

x軸)x00x初始狀態(tài):（例如）弦被拉成下列形狀：LL任意t時刻弦的形狀:

0xu現(xiàn)在的問題：任意時刻t弦上任意點x離開其平衡位置的位移u(x,t)

？xuL平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。一.均勻弦的橫振動方程的建立微元法：弦振動方程X1、建立坐標(biāo)系，選定微元2、微元s的動力學(xué)方程（牛頓第二運動定律）uosM1N1M2N2xx+dxT1T2X1、建立坐標(biāo)系，選定微元uo2、微元s的動力學(xué)方程（牛頓第二運動定律）M1sN1M2N2xx+dxT1T2(1)(2)水平方向：豎直方向：(忽略重力)弦s的質(zhì)量:0xxu水平方向：豎直方向：3、忽略與近似對于微振動:T1＝T2，說明張力不隨地點而變，它在整根弦中取同一數(shù)值。tangential導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)關(guān)于函數(shù)的某種形式的極限（實質(zhì)）函數(shù)在某點上的變化率（數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）某點上切線的斜率（幾何意義）知識復(fù)習(xí)(弦振動方程)或者，是的變化量，可以用微分近似代替，即(一維波動方程)0xxu水平方向：沒有變化豎直方向：強迫振動方程：若弦還受到時空依賴的外力的作用(設(shè)弦單位長度受力為F(x,t)，其方向豎直于x軸):強迫振動方程注:齊次方程:只含有對

u

的各種運算非齊次方程：含有對

u

運算之外的項f(x,

t),被稱為驅(qū)動項,或非零自由項弦振動方程的解

u(x,t)

表示位于

x處的“弦點”在任意

t時刻離開其平衡位置的位移。其實，弦振動方程就是波動方程，因為波是振動的傳播。因此解u(x,t)也表示空間任意點x

的波形。tu空間任意點

x的波形弦振動方程=波動方程自然界許多彈性振動，例如機械振動、建筑物的剪振動、潮汐波、地震聲波、聲波以及電磁波等都可以用波動方程來描述。波動方程的應(yīng)用:L＋二.傳輸線方程(電報方程)的建立

對于直流電或低頻的交流電,電路的基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出,同一支路中的電流相等。但對于較高頻率的電流（指頻率還未高到顯著輻射電磁波出去的程度），電路導(dǎo)線中的自感和電容的效應(yīng)不能被忽視，因而同一支路中電流呈現(xiàn)瞬態(tài)變化。現(xiàn)在考慮電流一來一往的高頻傳輸線，它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體，每單位長導(dǎo)線所具有的電阻、電感、電容、電導(dǎo)分別以R、L、C、G

表示?！瘛裎锢頎顟B(tài)描述:

設(shè)如圖傳輸線是分布參數(shù)電路，即傳輸線上電阻R、電感L、電容C和電導(dǎo)G是按單位長度計算其對應(yīng)的物理量，并且在x+dx范圍之內(nèi)的所有元件無論布局如何，均認(rèn)為其長度為dx。電容元件：電感元件：換路定理:在換路瞬間，電容上的電壓、電感中的電流不能突變。電路準(zhǔn)備知識知識復(fù)習(xí)

什么是傳輸線？傳輸線的始端接信號源，終端接負(fù)載。其間的電壓、電流信號都是時空依賴的。整個傳輸線可以看成由許多微元x級聯(lián)而成。從中取一個微元x：它的等效電路由下列

4

種原件構(gòu)成：信號源電阻:

R電感:

L電容:

C電導(dǎo):

G微元的等效線路：負(fù)載微元足夠小，每個原件的尺度均為單位長度的值微元法：傳輸線方程在長度為x的傳輸線中，電壓降：在結(jié)點：流入的電流等于流出的電流：電流-電壓耦合方程：傳輸線方程：(1)對x微分：(2)兩端乘以C：(4)兩端對t微分：(3)-(5)：（2）（3）（4）（1）（5）（6）將(2)中的代入(6)：電流方程(2)對x微分：(1)兩端乘以L：(4)兩端對t微分：(3)-(5)：（2）（3）（4）（1）（5）（6）將(1)中的代入(6)：電壓方程電流與電壓有完全相同的變化規(guī)律在高頻傳輸情況下，電阻（電導(dǎo)）所產(chǎn)生的效應(yīng)可以忽略不計，這樣高頻傳輸線的方程約化為波動方程：結(jié)論：同一個方程可以描述不同的物理現(xiàn)象L/C:分布參數(shù)

熱傳導(dǎo):

當(dāng)物體內(nèi)部各點的溫度不一樣時，熱量就會從溫度較高的地方向溫度較低的地方流動，這樣溫度是空間和時間的函數(shù)。熱傳導(dǎo)方程就是溫度所滿足的偏微分方程，它的解給出任意時刻物體內(nèi)的溫度分布。微元法:熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)的傅里葉定律:在場中之任一點處，沿任一方向的熱流強度（即在該點處單位時間內(nèi)流過與該方向垂直的單位面積的熱量）與該方向上的溫度變化率成正比

x

高溫低溫?zé)崃鳠崃餮豿方向傳遞,任意x處的溫度為u,溫度梯度為，q表示在單位時間內(nèi)流經(jīng)單位面積的熱量（熱流強度），k是熱傳導(dǎo)系數(shù)，負(fù)號表示熱流方向與溫度梯度方向（溫度增大的方向）相反。單位面積q00u熱傳導(dǎo)的傅里葉定律:溫度梯度：低溫高溫?zé)崃鲃樱焊邷氐蜏厝绻谌靠臻g或部分空間里的每一點，都對應(yīng)著整個物理量的一個確定的值，就說在這空間里確定了該物理量的一個場。如果這物理量是數(shù)量，稱這個場為數(shù)量場（標(biāo)量場）；若是矢量，稱為矢量場。例如溫度場、密度場、電位場等為數(shù)量場，力場、速度場等為矢量場。場是一種特殊物質(zhì)，看不見摸不著，但確實存在。場把物理狀態(tài)作為空間和時間的函數(shù)來描述。若物理狀態(tài)與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場（穩(wěn)定場）；反之，為動態(tài)場或時變場（不穩(wěn)定場）。關(guān)于場：分布在數(shù)量場中各點處的數(shù)量u是場中之點M的函數(shù)u=u(M）（在直角坐標(biāo)系中寫成u=u(x,y,z)）。一個數(shù)量場可以用一個數(shù)性函數(shù)來表示，假定該函數(shù)單值、連續(xù)且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。由場中使函數(shù)u取相同數(shù)值的點所組成的曲面，稱為等值面。如等溫面、等位面。u(x,y,z)=c，（c為常數(shù)）在函數(shù)u=u(x,y)所表示的平面數(shù)量場中具有相同數(shù)值的點，組成此數(shù)量場的等值線。如等高線、等溫線、等壓線等。u(x,y)=c若在數(shù)量場u(M)中的一點M處，存在這樣一個矢量G，其方向為函數(shù)u(M)在點M處變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數(shù)值。則稱矢量G為函數(shù)u(M)在點M處的梯度，記作G=gradu。梯度的定義與坐標(biāo)系無關(guān)，由數(shù)量場u(M)的分布所決定。梯度的方向就是函數(shù)在點增長最快的方向。數(shù)量場u(M)中每一點M處的梯度，垂直于過該點的等值面，且指向函數(shù)u(M)增大的方向。例如：電場中的電場強度等于電位的負(fù)梯度。在直角坐標(biāo)系中表示為：關(guān)于梯度：梯度運算的基本公式：c是常數(shù)均勻細(xì)桿的長度為L，橫截面積為S，桿的兩個端點處于x=0和x=L。假定桿在初始t=0時刻的溫度分布為(x)，在隨后的時間（t>0），熱量在桿中流動。求在任意t時刻、桿中任意位置x（0<x<L）的溫度u(x,t)。均勻細(xì)桿：熱傳導(dǎo)方程

微元長度,橫截積面,體密度:0xxQ1

Q2

在t

時間內(nèi)從

x截面流入的熱量在

時間內(nèi)從截面流出的熱量比熱定義體積元吸收的凈熱量表現(xiàn)為溫度的升高均勻細(xì)桿的熱傳導(dǎo)方程比熱容(specificheatcapacity)簡稱比熱(specificheat)，是單位質(zhì)量物質(zhì)的熱容量，即是單位質(zhì)量物體改變單位溫度時的吸收或釋放的內(nèi)能。比熱容是表示物質(zhì)熱性質(zhì)的物理量。通常用符號c表示。在英文中，比熱容被稱為：SpecificHeatCapacity(SHC）。用比熱容計算熱能的公式為：Energy=Mass×SpecificHeatCapacity×Temperaturechange可簡寫為：Energy=SHC×Mass×TempCh，即Q=cmT

知識拓展其中,而熱傳導(dǎo)方程:能量守恒要求:三維熱傳導(dǎo)方程:有源熱傳導(dǎo)方程:統(tǒng)計法：對所考察的問題進(jìn)行統(tǒng)計學(xué)研究，分析考察量的變化規(guī)律，寫出它所滿足的微分方程。這種方法具有非常廣泛的用途，包括生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)等。微元法：在系統(tǒng)中分出一個微元，分析它與附近部分的相互作用，寫出作用規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式（比如牛頓第二定律表達(dá)式），它就是系統(tǒng)的微分方程。規(guī)律法：直接利用物理學(xué)規(guī)律寫出考察量所遵循的數(shù)學(xué)物理方程，比如利用電磁波的麥克斯韋方程，寫出電位、電場強度、磁場強度等物理量的微分方程。建立數(shù)理方程的方法：電磁波的經(jīng)典理論是麥克斯韋方程，它可以用來描述所有波段的電磁現(xiàn)象：射線，x射線，紫外，可見，紅外，太赫茲(THz)，微波，毫米波,……麥克斯韋方程：規(guī)律法的例子：電子學(xué)和光子學(xué)的交叉區(qū)域基本電磁場量場的物質(zhì)方程Maxwell方程電場強度磁場強度電感應(yīng)強度磁感應(yīng)強度介質(zhì)的介電常數(shù)磁導(dǎo)率電導(dǎo)率傳導(dǎo)電流的面密度電荷的體密度Vectordifferenceoperator三.電磁場方程的建立簡單曲面的一般特征是一塊沒有重點的連續(xù)曲面。為了區(qū)分雙側(cè)曲面的兩側(cè)，常規(guī)定其中的一側(cè)作為曲面的正側(cè)，另一側(cè)作為負(fù)側(cè)。例如對于封閉曲面，按習(xí)慣總是取其外側(cè)為正側(cè)。這種規(guī)定了正側(cè)的曲面，叫做有向曲面，規(guī)定其法矢n恒指向我們研究問題時所取的一側(cè)。設(shè)有矢量場A(M)，沿其中有向曲面S某一側(cè)的曲面積分稱為矢量場A(M)向積分所沿一側(cè)穿過曲面S的通量。矢量場的通量和散度：知識拓展矢量運算基礎(chǔ)：設(shè)有矢量場A(M)，于場中一點M的某個鄰域內(nèi)作包含M點在內(nèi)的任一封閉曲面S，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域為，以V表其體積，以表從其內(nèi)穿出S的通量。若當(dāng)以任意方式縮向M點時，比式之極限存在，稱此極限為矢量場A(M)在點M處的散度，記作divA。在一般矢量場A(M)

中，對于穿出封閉曲面S的通量，當(dāng)其不為零時，根據(jù)其正或負(fù)而說S內(nèi)有產(chǎn)生通量的正源或負(fù)源。為了了解源在S內(nèi)的分布情況以及源的強弱程度等問題，引入矢量場的散度。電學(xué)中Gauss定理：穿出任一封閉曲面S的電通量，等于其內(nèi)各點電荷的代數(shù)和。由此可知，電位移矢量D的散度等于電荷分布的體密度。散度divA為一數(shù)量，表示在場中一點處通量對體積的變化率，也就是在該點處對一個單位體積來說所穿出的通量，稱為該點處源的強度。當(dāng)divA的值不為零時，其符號為正或負(fù)，順次表示該點處有散發(fā)通量的正源或有吸收通量的負(fù)源；當(dāng)divA的值為零時，表示在該點處無源.散度運算的基本公式：c是常數(shù)奧氏公式：穿出封閉曲面S的通量，等于S所圍的區(qū)域上的散度在上的三重積分。u是數(shù)性函數(shù)矢量場的環(huán)量和旋度：設(shè)有矢量場A(M)，則沿場中某一封閉的有向曲線l的曲線積分稱為矢量場按積分所取方向沿曲線l的環(huán)量。環(huán)量面密度M為矢量場A(M)中一點，在M點處取定一個方向n，再過M點任作一微小曲面S，以n為其在M點處的法矢，對此曲面，同時又以S表示其面積，其周界l之正向取作與n構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，則矢量場沿l之正向的環(huán)量與面積S之比，當(dāng)曲面S在保持M點于其上的條件下，沿著自身縮向M點時，比式之極限存在，稱此極限為矢量場A(M)在點M處沿方向n的環(huán)量面密度（環(huán)量對面積的變化率），記作n。若在矢量場A中的一點M處存在這樣一個矢量R，矢量場A在點M處沿其方向的環(huán)量面密度為最大，其模也正好是這個最大的數(shù)值。則稱矢量R為矢量場A在點M處的旋度，記作R=rotA。旋度矢量在數(shù)值和方向上表出了最大的環(huán)量面密度斯托克斯公式：旋度之于環(huán)量面密度，猶如梯度之于方向?qū)?shù)旋度運算的基本公式：c是常數(shù)u是數(shù)性函數(shù)函數(shù)u(x,y,z)和矢量E(x,y,z)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)稱為哈米爾頓算子或（讀作代爾）算子哈米爾頓（W.R.Hamilton）引進(jìn)了一個矢量微分算符（子）：算子本身無意義，是一種運算符號，具有矢量和微分的雙重性質(zhì)運算規(guī)則：矢量運算公式：數(shù)性微分算子：梯度：散度：旋度：矢量運算公式：拉普拉斯算符(子)：作用于函數(shù)u給出作用于函數(shù)E給出矢量運算基礎(chǔ)再將代入上式，得這是一個關(guān)于磁場強度的二階微分方程為進(jìn)一步化簡，利用Hamilton算子的運算性質(zhì)磁場強度、磁感應(yīng)強度的散度為零。如法炮制，可得關(guān)于電場強度的方程如果介質(zhì)不導(dǎo)電（σ=0），上述方程簡化為：三維波動方程將代入上式，得麥克斯韋方程:物質(zhì)方程:(矢量運算公式)(電磁場方程)規(guī)律法:電磁場方程目標(biāo):建立關(guān)于電位u

的方程由電感應(yīng)強度與電場強度的定義知：（電荷體密度）而電場強度與電位之間的關(guān)系，由下式確定由此可得：依據(jù)Hamilton算子的運算性質(zhì)：這個非齊次方程稱為泊松（Poisson）方程若靜電場是無源的，即，上式又可寫成這個齊次方程稱為拉普拉斯（Laplace）方程上式可寫成

E泊松方程:拉普拉斯方程:(非齊次:有源場)(齊次