2023學年內蒙古包頭市青山區(qū)中考二模數學試題含解析及點睛

2023中考數學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．如圖，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠CDE的大小是（）A．40° B．43° C．46° D．54°2．一、單選題點P（2，﹣1）關于原點對稱的點P′的坐標是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）3．tan60°的值是()A． B． C． D．4．如圖，⊙O的直徑AB=2，C是弧AB的中點，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，以E為圓心，AE為半徑作扇形EAB，π取3，則陰影部分的面積為（）A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣ D．5．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanB等于()A． B．C． D．6．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=10°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數是①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：1．A．1 B．2 C．1 D．47．工人師傅用一張半徑為24cm，圓心角為150°的扇形鐵皮做成一個圓錐的側面，則這個圓錐的高為（）cm．A． B． C． D．8．四組數中：①1和1；②﹣1和1；③0和0；④﹣和﹣1，互為倒數的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．①③④9．如圖，點A，B在雙曲線y=（x＞0）上，點C在雙曲線y=（x＞0）上，若AC∥y軸，BC∥x軸，且AC=BC，則AB等于（）A． B．2 C．4 D．310．如圖，正六邊形ABCDEF內接于，M為EF的中點，連接DM，若的半徑為2，則MD的長度為A． B． C．2 D．1二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．已知扇形的弧長為2π，圓心角為60°，則它的半徑為________．12．如圖，O是坐標原點，菱形OABC的頂點A的坐標為（﹣3，4），頂點C在x軸的負半軸上，函數y＝（x＜0）的圖象經過頂點B，則k的值為_____．13．如圖，在正方形中，對角線與相交于點，為上一點，，為的中點．若的周長為18，則的長為________．14．關于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的兩個實數根分別是x1、x2，且x12+x22=4，則x12﹣x1x2+x22的值是_____．15．如圖，以AB為直徑的半圓沿弦BC折疊后，AB與相交于點D．若，則∠B＝________°．16．分解因式：4ax2-ay2=________________.17．如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點．若AD=6，DE=5，則CD的長等于．三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）八年級（1）班研究性學習小組為研究全校同學課外閱讀情況，在全校隨機邀請了部分同學參與問卷調查，統(tǒng)計同學們一個月閱讀課外書的數量，并繪制了以下統(tǒng)計圖．請根據圖中信息解決下列問題：（1）共有名同學參與問卷調查；（2）補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖；（3）全校共有學生1500人，請估計該校學生一個月閱讀2本課外書的人數約為多少．19．（5分）從化市某中學初三（1）班數學興趣小組為了解全校800名初三學生的“初中畢業(yè)選擇升學和就業(yè)”情況，特對本班50名同學們進行調查，根據全班同學提出的3個主要觀點：A高中，B中技，C就業(yè)，進行了調查（要求每位同學只選自己最認可的一項觀點）；并制成了扇形統(tǒng)計圖（如圖）．請回答以下問題：（1）該班學生選擇觀點的人數最多，共有人，在扇形統(tǒng)計圖中，該觀點所在扇形區(qū)域的圓心角是度．（2）利用樣本估計該校初三學生選擇“中技”觀點的人數．（3）已知該班只有2位女同學選擇“就業(yè)”觀點，如果班主任從該觀點中，隨機選取2位同學進行調查，那么恰好選到這2位女同學的概率是多少？（用樹形圖或列表法分析解答）．20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，線段BC與拋物線的對稱軸交于點E、P為線段BC上的一點（不與點B、C重合），過點P作PF∥y軸交拋物線于點F，連結DF．設點P的橫坐標為m．（1）求此拋物線所對應的函數表達式．（2）求PF的長度，用含m的代數式表示．（3）當四邊形PEDF為平行四邊形時，求m的值．21．（10分）如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延長線于點E，與⊙O相交于G、F兩點．（1）求證：AB與⊙O相切；（2）若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長？22．（10分）如圖1，在長方形ABCD中，，，點P從A出發(fā)，沿的路線運動，到D停止；點Q從D點出發(fā)，沿路線運動，到A點停止．若P、Q兩點同時出發(fā)，速度分別為每秒、，a秒時P、Q兩點同時改變速度，分別變?yōu)槊棵搿?P、Q兩點速度改變后一直保持此速度，直到停止)，如圖2是的面積和運動時間(秒)的圖象．(1)求出a值；(2)設點P已行的路程為，點Q還剩的路程為，請分別求出改變速度后，和運動時間(秒)的關系式；(3)求P、Q兩點都在BC邊上，x為何值時P，Q兩點相距3cm？23．（12分）如圖，中，，于，，為邊上一點．（1）當時，直接寫出，．（2）如圖1，當，時，連并延長交延長線于，求證：．（3）如圖2，連交于，當且時，求的值．24．（14分）已知AC＝DC，AC⊥DC，直線MN經過點A，作DB⊥MN，垂足為B，連接CB．（1）直接寫出∠D與∠MAC之間的數量關系；（2）①如圖1，猜想AB，BD與BC之間的數量關系，并說明理由；②如圖2，直接寫出AB，BD與BC之間的數量關系；（3）在MN繞點A旋轉的過程中，當∠BCD＝30°，BD＝時，直接寫出BC的值．

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、C【解析】

根據DE∥AB可求得∠CDE＝∠B解答即可．【詳解】解：∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B＝46°，故選：C．【點睛】本題主要考查平行線的性質：兩直線平行，同位角相等．快速解題的關鍵是牢記平行線的性質．2、A【解析】

根據“關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數”解答．【詳解】解：點P（2，-1）關于原點對稱的點的坐標是（-2，1）．故選A．【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數．3、A【解析】

根據特殊角三角函數值，可得答案．【詳解】tan60°=故選：A．【點睛】本題考查了特殊角三角函數值，熟記特殊角三角函數值是解題關鍵．4、A【解析】∵O的直徑AB=2，∴∠C=90°，∵C是弧AB的中點，∴，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB=∠EBA=22.5°，∴∠AEB=180°?(∠BAC+∠CBA)=135°，連接EO，∵∠EAB=∠EBA，∴EA=EB，∵OA=OB，∴EO⊥AB，∴EO為Rt△ABC內切圓半徑，∴S△ABC=(AB+AC+BC)?EO=AC?BC，∴EO=?1，∴AE2=AO2+EO2=12+(?1)2=4?2，∴扇形EAB的面積==，△ABE的面積=AB?EO=?1，∴弓形AB的面積=扇形EAB的面積?△ABE的面積=，∴陰影部分的面積=O的面積?弓形AB的面積=?()=?4，故選：A.5、B【解析】法一，依題意△ABC為直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=，∵，∴sinB=,∵tanB==故選B法2，依題意可設a=4,b=3,則c=5，∵tanb=故選B6、D【解析】

①根據作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線.故①正確.②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=10°，∴∠CAB=60°.又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2=∠CAB=10°，∴∠1=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°.故②正確.③∵∠1=∠B=10°，∴AD=BD.∴點D在AB的中垂線上.故③正確.④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=10°，∴CD=AD.∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD.∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD.∴S△DAC：S△ABC．故④正確.綜上所述，正確的結論是：①②③④，，共有4個．故選D.7、B【解析】分析：直接利用圓錐的性質求出圓錐的半徑，進而利用勾股定理得出圓錐的高．詳解：由題意可得圓錐的母線長為：24cm，設圓錐底面圓的半徑為：r，則2πr=，解得：r=10，故這個圓錐的高為：（cm）．故選B．點睛：此題主要考查了圓錐的計算，正確得出圓錐的半徑是解題關鍵．8、C【解析】

根據倒數的定義，分別進行判斷即可得出答案．【詳解】∵①1和1；1×1=1，故此選項正確；②-1和1；-1×1=-1，故此選項錯誤；③0和0；0×0=0，故此選項錯誤；④?和?1，-×（-1）=1，故此選項正確；∴互為倒數的是：①④，故選C．【點睛】此題主要考查了倒數的概念及性質．倒數的定義：若兩個數的乘積是1，我們就稱這兩個數互為倒數．9、B【解析】【分析】依據點C在雙曲線y=上，AC∥y軸，BC∥x軸，可設C（a，），則B（3a，），A（a，），依據AC=BC，即可得到﹣=3a﹣a，進而得出a=1，依據C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC=BC=2，進而得到Rt△ABC中，AB=2．【詳解】點C在雙曲線y=上，AC∥y軸，BC∥x軸，設C（a，），則B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（負值已舍去）∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2，故選B．【點睛】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，注意反比例函數圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．10、A【解析】

連接OM、OD、OF，由正六邊形的性質和已知條件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函數求出OM，再由勾股定理求出MD即可．【詳解】連接OM、OD、OF，∵正六邊形ABCDEF內接于⊙O，M為EF的中點，∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，∴∠MOD=∠OMF=90°，∴OM=OF?sin∠MFO=2×=，∴MD=，故選A．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質、三角函數、勾股定理；熟練掌握正六邊形的性質，由三角函數求出OM是解決問題的關鍵．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、6.【解析】分析:設扇形的半徑為r，根據扇形的面積公式及扇形的面積列出方程，求解即可.詳解:設扇形的半徑為r，根據題意得：60πr解得：r=6故答案為6.點睛:此題考查弧長公式，關鍵是根據弧長公式解答.12、﹣1【解析】

根據點C的坐標以及菱形的性質求出點B的坐標，然后利用待定系數法求出k的值即可．【詳解】解：∵A（﹣3，4），∴OC==5，∴CB=OC=5，則點B的橫坐標為﹣3﹣5=﹣8，故B的坐標為：（﹣8，4），將點B的坐標代入y=得，4=，解得：k=﹣1．故答案為：﹣1．13、【解析】

先根據直角三角形的性質求出DE的長，再由勾股定理得出CD的長，進而可得出BE的長，由三角形中位線定理即可得出結論．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，．在中，為的中點，∴．∵的周長為18，，∴，∴．在中，根據勾股定理，得，∴，∴．在中，∵，為的中點，又∵為的中位線，∴．故答案為：.【點睛】本題考查的是正方形的性質，涉及到直角三角形的性質、三角形中位線定理等知識，難度適中．14、1【解析】【分析】根據根與系數的關系結合x1+x2=x1?x2可得出關于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根據方程有實數根結合根的判別式即可得出關于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范圍，從而可確定k的值．【詳解】∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的兩個實數根分別是x1、x2，∴x1+x2=2k，x1?x2=k2﹣k，∵x12+x22=1，∴（x1+x2）2-2x1x2=1，（2k）2﹣2（k2﹣k）=1，2k2+2k﹣1=0，k2+k﹣2=0，k=﹣2或1，∵△=（﹣2k）2﹣1×1×（k2﹣k）≥0，k≥0，∴k=1，∴x1?x2=k2﹣k=0，∴x12﹣x1x2+x22=1﹣0=1，故答案為：1．【點睛】本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，熟練掌握“當一元二次方程有實數根時，根的判別式△≥0”是解題的關鍵．15、18°【解析】

由折疊的性質可得∠ABC=∠CBD，根據在同圓和等圓中，相等的圓周角所對的弧相等可得，再由和半圓的弧度為180°可得的度數×5=180°，即可求得的度數為36°，再由同弧所對的圓周角的度數為其弧度的一半可得∠B=18°.【詳解】解：由折疊的性質可得∠ABC=∠CBD，∴，∵，∴的度數+的度數+的度數=180°，即的度數×5=180°，∴的度數為36°，∴∠B=18°.故答案為:18.【點睛】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．還考查了圓弧的度數與圓周角之間的關系.16、a（2x+y）（2x-y）【解析】

首先提取公因式a，再利用平方差進行分解即可．【詳解】原式=a（4x2-y2）

=a（2x+y）（2x-y），

故答案為a（2x+y）（2x-y）．【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．17、1．【解析】

由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=2；然后在直角△ACD中，利用勾股定理來求線段CD的長度即可．【詳解】∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=2．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=2，則根據勾股定理，得．故答案是：1．三、解答題（共7小題，滿分69分）18、（1）100；（2）補圖見解析；（3）570人.【解析】

（1）由讀書1本的人數及其所占百分比可得總人數；（2）總人數乘以讀4本的百分比求得其人數，減去男生人數即可得出女生人數，用讀2本的人數除以總人數可得對應百分比；（3）總人數乘以樣本中讀2本人數所占比例．【詳解】（1）參與問卷調查的學生人數為（8+2）÷10%=100人，故答案為：100；（2）讀4本的女生人數為100×15%﹣10=5人，讀2本人數所占百分比為20+補全圖形如下：（3）估計該校學生一個月閱讀2本課外書的人數約為1500×38%=570人．【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?9、（4）A高中觀點．4．446；（4）456人；（4）16【解析】試題分析：（4）全班人數乘以選擇“A高中”觀點的百分比即可得到選擇“A高中”觀點的人數，用460°乘以選擇“A高中”觀點的百分比即可得到選擇“A高中”的觀點所在扇形區(qū)域的圓心角的度數；（4）用全校初三年級學生數乘以選擇“B中技”觀點的百分比即可估計該校初三學生選擇“中技”觀點的人數；（4）先計算出該班選擇“就業(yè)”觀點的人數為4人，則可判斷有4位女同學和4位男生選擇“就業(yè)”觀點，再列表展示44種等可能的結果數，找出出現4女的結果數，然后根據概率公式求解．試題解析：（4）該班學生選擇A高中觀點的人數最多，共有60%×50=4（人），在扇形統(tǒng)計圖中，該觀點所在扇形區(qū)域的圓心角是60%×460°=446°；（4）∵800×44%=456（人），∴估計該校初三學生選擇“中技”觀點的人數約是456人；（4）該班選擇“就業(yè)”觀點的人數=50×（4-60%-44%）=50×8%=4（人），則該班有4位女同學和4位男生選擇“就業(yè)”觀點，列表如下：共有44種等可能的結果數，其中出現4女的情況共有4種．所以恰好選到4位女同學的概率=212考點：4．列表法與樹狀圖法；4．用樣本估計總體；4．扇形統(tǒng)計圖．20、（1）y=-x2+2x+1；（2）-m2+1m．（1）2.【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；（2）根據自變量與函數值的對應關系，可得C點坐標，根據平行于y軸的直線上兩點之間的距離是較大的縱坐標減較的縱坐標，可得答案；（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得F點坐標，根據平行于y軸的直線上兩點之間的距離是較大的縱坐標減較的縱坐標，可得DE的長，根據平行四邊形的對邊相等，可得關于m的方程，根據解方程，可得m的值．【詳解】解：（1）∵點A（-1，0），點B（1，0）在拋物線y=-x2+bx+c上，∴，解得，此拋物線所對應的函數表達式y(tǒng)=-x2+2x+1；（2）∵此拋物線所對應的函數表達式y(tǒng)=-x2+2x+1，∴C（0，1）．設BC所在的直線的函數解析式為y=kx+b，將B、C點的坐標代入函數解析式，得，解得，即BC的函數解析式為y=-x+1．由P在BC上，F在拋物線上，得P（m，-m+1），F（m，-m2+2m+1）．PF=-m2+2m+1-（-m+1）=-m2+1m．（1）如圖，∵此拋物線所對應的函數表達式y(tǒng)=-x2+2x+1，∴D（1，4）．∵線段BC與拋物線的對稱軸交于點E，當x=1時，y=-x+1=2，∴E（1，2），∴DE=4-2=2．由四邊形PEDF為平行四邊形，得PF=DE，即-m2+1m=2，解得m1=1，m2=2．當m=1時，線段PF與DE重合，m=1（不符合題意，舍）．當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．考點：二次函數綜合題．21、（2）證明見試題解析；（2）．【解析】

（2）過點O作OM⊥AB于M，證明OM=圓的半徑OD即可；（2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF，得到四邊形OMBN是矩形，在直角△OBM中利用三角函數求得OM和BM的長，進而求得BN和ON的長，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，則BF即可求解．【詳解】解：（2）過點O作OM⊥AB，垂足是M．∵⊙O與AC相切于點D，∴OD⊥AC，∴∠ADO=∠AMO=90°．∵△ABC是等邊三角形，∴∠DAO=∠MAO，∴OM=OD，∴AB與⊙O相切；（2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF．∵O是BC的中點，∴OB=2．在直角△OBM中，∠MBO=60°，∴∠MOB=30°，BM=OB=2，OM=BM=，∵BE⊥AB，∴四邊形OMBN是矩形，∴ON=BM=2，BN=OM=．∵OF=OM=，由勾股定理得NF=．∴BF=BN+NF=．考點：2．切線的判定與性質；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．綜合題．22、（1）6；（2）；；（3）10或；【解析】

（1）根據圖象變化確定a秒時，P點位置，利用面積求a；（2）P、Q兩點的函數關系式都是在運動6秒的基礎上得到的，因此注意在總時間內減去6秒；（3）以（2）為基礎可知，兩個點相距3cm分為相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程．【詳解】（1）由圖象可知，當點P在BC上運動時，△APD的面積保持不變，則a秒時，點P在AB上．，∴AP=6，則a=6；（2）由（1）6秒后點P變速，則點P已行的路程為y1=6+2（x﹣6）=2x﹣6，∵Q點路程總長為34cm，第6秒時已經走12cm，故點Q還剩的路程為y2=34﹣12﹣；（3）當P、Q兩點相遇前相距3cm時，﹣（2x﹣6）=3，解得x=10，當P、Q兩點相遇后相距3cm時，（2x﹣6）﹣（）=3，解得x=，∴當x=10或時，P、Q兩點相距3cm【點睛】本題是雙動點問題，解答時應注意分析圖象的變化與動點運動位置之間的關系．列函數關系式時，要考慮到時間x的連續(xù)性才能直接列出函數關系式．23、（1），；（2）證明見解析；（3）．【解析】

（1）利用相似三角形的判定可得，列出比例式即可求出結論；（2）作交于，設，則，根據平行線分線段成比例定理列出比例式即可求出AH和EH，然后根據平行線分線段成比例定理列出比例式即可得出結論；（3）作于，根據相似三角形的判定可得，列出比例式可得，設，，，即可求出x的值，根據平行線分線段成比例定理求出，設，，，然后根據勾股定理求出AC，即可得出結論．【詳解】（1）如圖1中，當時，．，，，，，，．故答案為：，．（2）如圖中，作交于．，，∴tan∠B=，tan∠ACE=tan∠B=∴BE=2CE，，，設，則，，，，，，，．（3）如圖2中，作于．，，，，，，，，，，，設，，，則有，解得或(舍棄)，，，，，，，，，，，設，，，在中，，，，，．【點睛】此題考查的是相似三角形的應用和銳角三角函數，此題難度較大，掌握相似三角形的判定及性質、平行線分線段成比例定理和利用銳角三角函數解直角三角形是解決此題的關鍵．24、（1）相等或互補；（2）①BD+AB＝BC；②AB﹣BD＝BC；（3）BC＝或.【解析】

（1）分為點C，D在直線MN同側和點C，D