3凸集+凸函數(shù)+凸規(guī)劃

第3講凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃

凸集(ConvexSet)

凸函數(shù)(ConvexFunction)

凸規(guī)劃(ConvexProgramming)凸性(Convexity)是最優(yōu)化理論必須涉及到基本概念.具有凸性的非線性規(guī)劃模型是一類特殊的重要模型，它在最優(yōu)化的理論證明及算法研究中具有非常重要的作用.凸集---定義線性組合(linearCombination)仿射組合(AffineCombination)凸組合(ConvexCombination)凸錐組合(ConvexConeCombination)凸集---定義例

二維情況下，兩點(diǎn)x1,x2的

(a)線性組合為全平面；

(b)仿射組合為過這兩點(diǎn)的直線；

(c)凸組合為連接這兩點(diǎn)的線段；

(b)凸錐組合為以原點(diǎn)為錐頂并通過這兩點(diǎn)的錐.凸集---定義凸集---定義定義1設(shè)集合若對于任意兩點(diǎn)及實(shí)數(shù)都有：則稱集合為凸集．常見的凸集：單點(diǎn)集{x}，空集

，整個歐氏空間Rn，超平面：半空間：例：證明超球?yàn)橥辜C明：設(shè)為超球中的任意兩點(diǎn)，則有：即點(diǎn)屬于超球,所以超球?yàn)橥辜辜?---舉例(1)任意多個凸集的交集為凸集．

(2)設(shè)是凸集，是一實(shí)數(shù)，則下面的集合是凸集：凸集-----性質(zhì)(3)推論：設(shè)是凸集，則也是凸集，其中是實(shí)數(shù)．

(4)

S是凸集當(dāng)且僅當(dāng)S中任意有限個點(diǎn)的凸組合仍然在S中.P23,定理2.9凸集-----性質(zhì)注：和集和并集有很大的區(qū)別，凸集的并集未必是凸集，而凸集的和集是凸集．例：表示軸上的點(diǎn)．表示軸上的點(diǎn)．則表示兩個軸的所有點(diǎn)，它不是凸集；而凸集．凸集-----性質(zhì)定義設(shè)S

中任意有限個點(diǎn)的所有凸組合所構(gòu)成的集合稱為S的凸包，記為H(S),即凸集-----凸包(ConvexHull)定理2.1.4

H(S)是Rn

中所有包含S的凸集的交集.H(S)是包含S的最小凸集.定義錐、凸錐凸集-----凸錐(ConvexCone)定義分離(Separation)凸集-----凸集分離定理性質(zhì)定理2.1.5凸集-----凸集分離定理(2)是點(diǎn)到集合的最短距離點(diǎn)的充要條件為：注：閉凸集外一點(diǎn)與閉凸集的極小距離，即投影定理。定理2.1.5直觀解釋我們不妨把一個閉凸集想象為一個三維的充滿了氣體的氣球（不一定為標(biāo)準(zhǔn)球形，但必須是凸的），那么，在氣球外一點(diǎn)，到氣球各點(diǎn)（包括內(nèi)部）的距離是不一樣的，但直覺告訴我們，肯定在氣球上有一點(diǎn)，它到該點(diǎn)的距離是所有距離中最小的。這是凸集的特有性質(zhì)。如果不是凸集，就不會這樣了，比如一個平面上對稱心形的圖形（它不是凸的）外一點(diǎn)，至少可以找到2點(diǎn)，使其到外面那一點(diǎn)的距離最小。凸集-----凸集分離定理凸集分離定理

定理2.1.6凸集-----凸集分離定理ylS點(diǎn)與閉凸集的分離定理凸集分離定理應(yīng)用---Farkas引理定理2.1.7凸集-----凸集分離定理應(yīng)用Farkas引理在我們即將學(xué)習(xí)的最優(yōu)性條件中是重要的基礎(chǔ).Farkas引理–幾何解釋設(shè)A的第i個行向量為ai,i=1,2,…,m,則(2.1.4)式有解當(dāng)且僅當(dāng)凸錐{x|Ax≤0}與半空間{x|bTx>0}的交不空.即(2.1.4)式有解當(dāng)且僅當(dāng)存在向量x,它與各ai的夾角鈍角或直角，而與b的夾角為銳角.

(2.1.5)式有解當(dāng)且僅當(dāng)b在由a1,a2,…,am所生成的凸錐內(nèi).a2(2.1.4)有解，(2.1.5)無解a1amb凸集-----凸集分離定理應(yīng)用a1a2amb(2.1.4)無解，(2.1.5)有解凸集分離定理應(yīng)用---Gordan

定理定理2.1.8凸集-----凸集分離定理應(yīng)用利用Farkas引理可推導(dǎo)下述的Gordan定理和擇一性定理.凸集分離定理應(yīng)用---擇一性定理定理2.1.9凸函數(shù)凸函數(shù)(ConvexFunction)----定義2.4設(shè)是非空凸集，若對任意的及任意的都有：則稱函數(shù)為上的凸函數(shù)．注：將上述定義中的不等式反向，可以得到凹函數(shù)的定義．凸函數(shù)嚴(yán)格凸函數(shù)設(shè)是非空凸集，若對任意的及任意的都有：則稱函數(shù)為上的凸函數(shù)．注：將上述定義中的不等式反向，可以得到嚴(yán)格凹函數(shù)的定義．凸函數(shù)

對一元函數(shù)在幾何上表示連接的線段．所以一元凸函數(shù)表示連接函數(shù)圖形上任意兩點(diǎn)的線段總是位于曲線弧的上方．幾何性質(zhì)表示在點(diǎn)處的函數(shù)值．

f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)f(X)Xαf(x1)

+(1-α)f(x2)f(X1)f(X2)

X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2任意兩點(diǎn)的函數(shù)值的連線上的點(diǎn)都在曲線的上方αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)αf(x1)

+(1-α)f(x2)例4.2.1(a)凸函數(shù)(b)凹函數(shù)該定義的一個應(yīng)用——證明不等式例：證明Young不等式推廣：H?lder不等式P412.37證法：在Young不等式中令例：設(shè)試證明在上是嚴(yán)格凸函數(shù)．證明:設(shè)且都有：因此,在上是嚴(yán)格凸函數(shù)．凸函數(shù)例：試證線性函數(shù)是上的凸函數(shù)．證明:設(shè)則故,是凸函數(shù)．類似可以證明也是凹函數(shù).凸函數(shù)凸函數(shù)定理1設(shè)是凸集上的凸函數(shù)充要條件性質(zhì)詹生(Jensen)不等式不等式應(yīng)用:設(shè)，證明:P412.36凸函數(shù)定理2性質(zhì)正線性組合凸函數(shù)定理3設(shè)是凸集上的凸函數(shù)，則對任意，水平集是凸集．水平集(LevelSet)稱為函數(shù)f在集合S上關(guān)于數(shù)的水平集.注：定理3的逆命題不成立.下面的圖形給出了凸函數(shù)的等值線的圖形，可以看出水平集是凸集.凸函數(shù)凸函數(shù)定理1:設(shè)是定義在凸集上，令則:(1)是定義在凸集是凸集上的凸函數(shù)的充要條件是對任意的一元函數(shù)為上的凸函數(shù).(2)設(shè)若在上為嚴(yán)格凸函數(shù)，則在上為嚴(yán)格凸函數(shù)．凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理該定理的幾何意義是：凸函數(shù)上任意兩點(diǎn)之間的部分是一段向下凸的?。购瘮?shù)定理4設(shè)在凸集上可微，則：在上為凸函數(shù)的充要條件是對任意的都有：嚴(yán)格凸函數(shù)(充要條件)??凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理---一階條件注：定理4提供了一個判別可微函數(shù)是否為凸

函數(shù)的依據(jù).凸函數(shù)定理4-----

幾何

解釋一個可微函數(shù)

是凸函數(shù)當(dāng)且

僅當(dāng)函數(shù)圖形

上任一點(diǎn)處的

切平面位于曲

面的下方.凸函數(shù)定理4-----

幾何

解釋一個可微函數(shù)

是凸函數(shù)當(dāng)且

僅當(dāng)函數(shù)圖形

上任一點(diǎn)處的

切平面位于曲

面的下方.定理5:設(shè)在開凸集內(nèi)二階可微,則是內(nèi)的凸函數(shù)的充要條件為:對任意的Hesse矩陣半正定,其中：凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理---二階條件定理2.3.6:設(shè)在開凸集內(nèi)二階可微,若在內(nèi)正定,則在內(nèi)是嚴(yán)格凸函數(shù)．注:反之不成立．例：f(x)是嚴(yán)格凸的，但在點(diǎn)處不是正定的凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理---二階條件例：凸函數(shù)凸函數(shù)的判別定理---二階條件凸規(guī)劃凸規(guī)劃(ConvexProgramming)設(shè)為凸集，為上的凸函數(shù)，則稱規(guī)劃問題為凸規(guī)劃問題．例：為上的凸函數(shù)，為無約束凸規(guī)劃問題．例：凸規(guī)劃凸規(guī)劃例：凸規(guī)劃定理2.4(1)凸規(guī)劃問題的任一局部極小點(diǎn)是全局極小點(diǎn)，且全體極小點(diǎn)的集合為凸集．(2)若是凸集上的嚴(yán)格凸函數(shù)，且凸規(guī)劃問題局部極小點(diǎn)x*存在，則x*是唯一的全局極小點(diǎn)．凸規(guī)劃的基本性質(zhì)定理凸規(guī)劃的任一局部最優(yōu)解都是它的整體最優(yōu)解。證明：設(shè)x*是凸規(guī)劃的一個局部解，則存在δ