微積分 第六章 定積分 4節(jié)

二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓–萊布尼茲公式一、引例第四節(jié)微積分基本定理要求：理解積分上限函數(shù)，會求它的導(dǎo)數(shù)，

掌握牛頓-萊布尼茨公式.在變速直線運動中,已知位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為變速直線運動的速度與路程問題一、引例上式表明：v(t)在區(qū)間上的定積分值可以表示為它的一個原函數(shù)在積分區(qū)間的兩個端點處的函數(shù)值之差.這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.(牛頓-萊布尼茲公式)

定理函數(shù),則x1.積分變限函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)在區(qū)間[a,b]上可積，由積分區(qū)間的可加性，對任意定積分存在.二、積分變限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是定義在[a,b]記作上的函數(shù),即稱為積分上限函數(shù).x是定義在[a,b]記作上的函數(shù),即稱為積分上限函數(shù).同理,可以定義區(qū)間[a,b]上的函數(shù)稱為積分下限函數(shù).積分變限函數(shù)xx

思考：討論這類函數(shù)的可導(dǎo)性.證定理1(原函數(shù)存在定理)因為從而

積分中值定理定積分性質(zhì)3故

定理1指出:連續(xù)函數(shù)f(x)一定有原函數(shù),就是f(x)的一個原函數(shù).函數(shù)這為通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路.?0例如推論?例解例解例解例解這是型不定式,分析應(yīng)用洛必達法則注含積分變限函數(shù)求極限的題目通常要涉及洛必達法則.并從判斷分子分母是否為無窮小入手.證:根據(jù)定理1,故因此得記作三、微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式)

定理2.函數(shù),則微積分基本公式表明注一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量.

仍成立.

橋梁作用:求定積分轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)（求導(dǎo)數(shù)或微分的逆運算）計算方法:公式提供一種計算定積分的簡單、快捷方法例計算解:例計算正弦曲線的面積.解:注:N-L公式的適用條件思考:

★在區(qū)間[-1,1]上,函數(shù)在點x=0處為無窮間斷,不滿足可積條件.

例

解注如被積函數(shù)是分段函數(shù),應(yīng)分段分成幾個再用牛頓—萊布尼茨公式.積分,

分段函數(shù)分段積分

練習(xí)解如被積函數(shù)有絕對值,注再用去掉后,N-L公式.應(yīng)分區(qū)間將絕對值例解此極限實為一積分和的極限.定積分是代數(shù)和的推廣,無窮小的無限項的代數(shù)和.即它表示每項為●用定積分求極限時,●需將(1)式中的兩個任意量用特殊的值處理.例6.汽車以每小時36

km的速度行駛,速停車,解:

設(shè)開始剎車時刻為則此時刻汽車速度剎車后汽車減速行駛,其速度為當(dāng)汽車停住時,即得故在這段時間內(nèi)汽車所走的距離為剎車,問從開始剎到某處需要減設(shè)汽車以等加速度車到停車走了多少距離?內(nèi)容小結(jié)則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式

牛頓－萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系．2.積分上限函數(shù)(變上限積分)

積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意其推論——也是考試的熱點.備用題解：1.設(shè)求定積分為常數(shù),設(shè),則故應(yīng)用積分法定此常數(shù).例解求極限

2002年考研數(shù)學(xué)(三)5分

例確