自動(dòng)控制-05b典型環(huán)節(jié)分解

5-3.1、開環(huán)系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)分解一、典型環(huán)節(jié)

由于開環(huán)傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，因此系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)或?yàn)閷?shí)數(shù)或?yàn)閺?fù)數(shù)。根據(jù)開環(huán)零極點(diǎn)可以將分子分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，得典型環(huán)節(jié)。常見的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)K，積分環(huán)節(jié)1/s，慣性環(huán)節(jié)1/(Ts+1)，比例微分環(huán)節(jié)1+τs，微分環(huán)節(jié)s，振蕩環(huán)節(jié)，延遲環(huán)節(jié)

求環(huán)節(jié)的幅相頻率特性時(shí)，可在極坐標(biāo)系中用幅值和相角的表達(dá)式逐點(diǎn)計(jì)算描出，也可以在復(fù)平面上用實(shí)頻和虛頻逐點(diǎn)計(jì)算描出。

求幅相頻率特性一般可參照下列步驟進(jìn)行：

(1)求環(huán)節(jié)（系統(tǒng)）的傳遞函數(shù)；

(2)用取代傳遞函數(shù)中s，求出頻率特性表達(dá)式

(3)將分成實(shí)部和虛部。若遇到的分母為復(fù)數(shù)或虛數(shù)的情況時(shí)，應(yīng)將其作有理化處理。

(4)將所求得的實(shí)頻特性和虛頻特性代入幅頻特性和相頻特性的表達(dá)式，求得和,然后選取不同的值并計(jì)算和，在極坐標(biāo)上描點(diǎn)并連成曲線。

1、比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性表達(dá)式為

→

對(duì)數(shù)幅頻特性為一水平線，相頻特性與橫坐標(biāo)重合。比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為一點(diǎn)。二、典型環(huán)節(jié)的頻率特性

圖5-9比例環(huán)節(jié)頻率特性

2、慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性的表達(dá)式為

分母有理化：

式中

故

由于

所以有

化簡(jiǎn)后有

圖5-10慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性所以，在復(fù)平面上，慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是符合圓的方程，圓心在處，半徑為1/2。

其中

故

3、積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性表達(dá)式為

圖5-11積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性4、振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性為

直接利用幅角運(yùn)算方法求和

圖5-12振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性

與時(shí)域響應(yīng)中衡量系統(tǒng)性能采用時(shí)域性能指標(biāo)類似，頻率特性在數(shù)值上和曲線形狀上的特點(diǎn)，常用頻域性能指標(biāo)來衡量，它們?cè)诤艽蟪潭壬夏軌蜷g接地表明系統(tǒng)動(dòng)靜態(tài)特性。系統(tǒng)的頻率特性曲線如下圖所示。1.諧振頻率是幅頻特性A(ω)出現(xiàn)最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率；2.諧振峰值指幅頻特性的最大值。值大，表明系統(tǒng)對(duì)頻率的正弦信號(hào)反映強(qiáng)烈，即系統(tǒng)的平穩(wěn)性差，階躍響應(yīng)的超調(diào)量越大；幾個(gè)性能指標(biāo)示意圖頻率特性曲線

3.頻帶指幅頻特性A(ω)的幅值衰減到起始值的0.707倍所對(duì)應(yīng)的頻率。大，系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)快速變化信號(hào)的能力強(qiáng)、失真小。即系統(tǒng)的快速性好，階躍響應(yīng)的上升時(shí)間短，調(diào)節(jié)時(shí)間短；4.A(0)指零頻(ω=0)時(shí)的幅值。A(0)表示系統(tǒng)階躍響應(yīng)的終值，A(0)與1相差的大小，反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，A(0)越接近于1，系統(tǒng)的精度越高。5、微分環(huán)節(jié)

（1）純微分環(huán)節(jié)

純微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性表達(dá)式為

從而得

其中圖5-13微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性故(2)一階微分環(huán)節(jié)

其傳遞函數(shù)為

其頻率特性式

其中

圖5-14一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性6、延遲環(huán)節(jié)

其傳遞函數(shù)為

其頻率特性

其中

圖5-15延遲環(huán)節(jié)的幅相頻率特性三、典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性

對(duì)數(shù)頻率特性由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性構(gòu)成。對(duì)數(shù)幅頻特性常采用分段直線來近似表示。

1、比例環(huán)節(jié)的Bode圖

前面我們已求得

比例環(huán)節(jié)所以圖5-16比例環(huán)節(jié)的Bode圖2、慣性環(huán)節(jié)的Bode圖

由于

所以

利用上式可計(jì)算并描出較精確的對(duì)數(shù)幅頻特性。但實(shí)際一般采用漸近線近似法。思路如下：

在低頻段，很小。當(dāng)即時(shí)略去此時(shí)

在高頻段，很大。當(dāng)即時(shí)略去1。此時(shí)

高頻漸近線與低頻漸近線在處相交，這交點(diǎn)處的頻率稱為交接頻率。用漸進(jìn)特性近似表示存在誤差。

在兩旁附近的誤差值如表5-2所示。

0.10.250.50.811.252410準(zhǔn)確特性/dB-0.04-0.26-0.97-2.15-3.01-4.09-6.99-12.30-20.04近似特性/dB00000-1.94-6.02-12.04-20.00誤差/dB-0.04-0.26-0.97-2.15-3.01-2.15-0.97-0.26-0.04表5-2近似誤差值圖5-17慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線慣性環(huán)節(jié)的相頻特性根據(jù)據(jù)式可得表5-3的數(shù)據(jù)。

表5-3慣性環(huán)節(jié)相頻特性數(shù)據(jù)

0.1/T0.25/T0.5/T1/T2/T4/T10/T-5.7-14-26.6-45-63.4-76-84.3伯德圖如圖5-18所示。

圖5-18慣性環(huán)節(jié)的Bode圖3、積分環(huán)節(jié)Bode圖

已知

則

圖5-19積分環(huán)節(jié)的Bode圖4、微分環(huán)節(jié)的Bode圖

（1）純微分環(huán)節(jié)

已知

則

圖5-20純微分環(huán)節(jié)的Bode圖（2）一階微分環(huán)節(jié)

利用漸近線分段表示對(duì)數(shù)幅頻特性

圖5-20一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖5、振蕩環(huán)節(jié)Bode圖振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線也可采用分段直線近似法描繪，如圖5-22。

低頻段，當(dāng)，即時(shí)，略去項(xiàng)，此時(shí)

高頻段，當(dāng)，即時(shí)，略去1和項(xiàng)，此時(shí)斜率為40dB，交接頻率為，在此附近會(huì)導(dǎo)致較大的誤差。當(dāng)時(shí)按上面公式計(jì)算而按準(zhǔn)確方程有，則，即誤差的大小與阻尼比有關(guān)。若在之間，漸近線