自動控制原理-A1-06-2013

上海大學機電工程與自動化學院鄒斌

2013年11月1自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型——穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差第4次電子信箱：zoubin@手機定性的基本概念控制系統(tǒng)在外部擾動作用下偏離其原來的平衡狀態(tài)，當攏動作用消失后，系統(tǒng)仍能自動恢復到原來的初始平衡狀態(tài)。穩(wěn)定性的條件假設系統(tǒng)在初始條件為零時，受到單位脈沖信號δ(t)的作用，此時系統(tǒng)的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應，這相當于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，顯然，當t→∞時，若：系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。線性系統(tǒng)只有一個平衡態(tài)！非線性系統(tǒng)可能有多個平衡態(tài)！線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：

系統(tǒng)特征方程的根全部具有負實部，

即:閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部在S平面左半部。當閉環(huán)極點有負實部，則有：S平面系統(tǒng)特征方程自動控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：

系統(tǒng)特征方程的根全部具有負實部，

即:閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部在S平面左半部。但是，閉環(huán)極點也不好求？要求高階代數(shù)方程呀勞斯陣列性質(zhì)：第一列符號改變次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程含有正實部根的個數(shù)。如果符號相同系統(tǒng)具有正實部特征根的個數(shù)等于零系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號不同符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實部特征根的個數(shù)系統(tǒng)不穩(wěn)定?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：勞思陣列第一列元素不改變符號?！暗谝涣兄懈鲾?shù)”注：通常a0>0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡述為勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。勞斯表“第一列中各數(shù)”的性質(zhì)勞斯判據(jù)判定穩(wěn)定性設系統(tǒng)特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8412勞斯表介紹勞斯表特點4

每兩行個數(shù)相等1

右移一位降兩階2

行列式第一列不動3

次對角線減主對角線5

分母總是上一行第一個元素7

第一列出現(xiàn)零元素時，用正無窮小量ε代替。6

一行可同乘以或同除以某正數(shù)ε2+8ε7ε-8(2+8)-ε7ε27ε127

-8ε勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:有正有負一定不穩(wěn)定!缺項一定不穩(wěn)定!系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件:勞斯表第一列元素不變號!若變號系統(tǒng)不穩(wěn)定!變號的次數(shù)為特征根在s右半平面的個數(shù)!特征方程各項系數(shù)均大于零!-s2-5s-6=0穩(wěn)定嗎？特殊情況1：第一列出現(xiàn)0特殊情況：第一列出現(xiàn)0。各項系數(shù)均為正數(shù)解決方法：用任意小正數(shù)代之。勞斯表出現(xiàn)零行設系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞斯表s0s1s2s3s451756116601勞斯表何時會出現(xiàn)零行?2出現(xiàn)零行怎么辦?3如何求對稱的根?②由零行的上一行構(gòu)成輔助方程:①

有大小相等符號相反的特征根時會出現(xiàn)零行s2+1=0對其求導得零行系數(shù):2s1211繼續(xù)計算勞斯表1第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯啦!!!由綜合除法可得另兩個根為s3,4=-2,-3解輔助方程得對稱根:s1,2=±j勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定勞斯陣列出現(xiàn)全零行:系統(tǒng)在s平面有對稱分布的根大小相等符號相反的實根共軛虛根對稱于實軸的兩對共軛復根

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析自動控制原理講義鄒斌上海大學機電工程學院地址：上海市延長路149號電子郵件:zoubin@電話義時間趨于無窮大（足夠長）時的固定響應稱為控制系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)態(tài)誤差：當系統(tǒng)在特定類型輸入信號作用下，達到穩(wěn)定狀態(tài)時系統(tǒng)精度的度量。GH(s)R(s)C(s)E(s)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)階躍輸入斜坡輸入加速度輸入穩(wěn)態(tài)誤差不僅同系統(tǒng)參數(shù)與結(jié)構(gòu)有關還與系統(tǒng)的輸入有關！控制系統(tǒng)的型號V=0

0型系統(tǒng)V=1

I型系統(tǒng)V=2

Ⅱ型系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有差系統(tǒng)V=0I型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一階有差系統(tǒng)V=1II型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差二階有差系統(tǒng)V=2典型輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)誤差系數(shù)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)E(s)=R(s)1+G(s)H(s)1若系統(tǒng)穩(wěn)定,則可用終值定理求essess=lims1+ksνG0H0R(s)→0sR(s)=R/sr(t)=R·1(t)ess=1+ksνRlim→0sr(t)=V·tR(s)=V/s2ess=

s·Vlim→0sksνr(t)=At2/2R(s)=A/s3ess=

s2·Alim→0sksνkpkvka取不同的νr(t)=R·1(t)ess=1+ksνRlim→0sr(t)=V·tess=

s·Vlim→0sksνr(t)=At2/2ess=

s2·Alim→0sksνⅠ型0型Ⅱ型R·1(t)

R1+kV

kV·t000∞Ak∞∞At2/2R·1(t)V·tAt2/2kkk000∞∞∞靜態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)：123Kp=?Kv=?Ka=?非單位反饋怎么辦？啥時能用表格？表中誤差為無窮時系統(tǒng)還穩(wěn)定嗎?非單位反饋與單位反饋G(s)R(s)C(s)E(s)H(s)如果不是單位負反饋，但是誤差是給定值與反饋量之差，則上述的結(jié)論依然成立。

誤差定義G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)輸入端定義：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)H(s)1R(s)ˊˊ輸出端定義：E(s)=C希-C實=-C(s)R(s)H(s)ˊG(s)R(s)E(s)C(s)C(s)E(s)=R(s)-C(s)G1(s)H(s)R(s)C(s)G2(s)N(s)En(s)=C希-C實=–Cn(s)總誤差怎么求？擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差定義1）只有三種值：0、常數(shù)（1/k1）、；2）擾動作用引起的常數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差只與增益K1有關。擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差表控制器G1(s)的放大系數(shù)擾動誤差阻尼振蕩求在單位階躍擾動作用下的擾動誤差essn比例積分環(huán)節(jié)提高穩(wěn)態(tài)精度比較兩個系統(tǒng)，在單位階躍輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差。閉環(huán)回路提高穩(wěn)態(tài)精度如果穩(wěn)態(tài)增益G0（0）將隨時間消逝而偏離1，穩(wěn)態(tài)誤差不再等于0須重新調(diào)整系統(tǒng)。單位階躍輸入下設在回路的傳遞函數(shù)中有如下的變化:K=10，K=1單位階躍輸入下設在回路的傳遞函數(shù)中有如下的變化：K=10，K=1，且有Kp=100/K若位置隨動系統(tǒng)：雷達跟蹤系統(tǒng)、船舵操縱系統(tǒng)。

輸入量補償?shù)膹秃峡刂魄梆?順饋若系統(tǒng)在控制信號作用下干擾量補償?shù)膹秃峡刂魄梆?順饋物理上難實現(xiàn)（分子階次高于分母的階次），近似取減小和消除誤差的方法(1,2)1按擾動的全補償N(s)R(s)Gn(s)T1s+1k1s(T2s+1)k2C(s)E(s)令R(s)=0,En(s)=-C(s)=s(T1s+1)(T2s+1)+k1k2(T1s+1)+k1Gn(s)N(s)令分子=0，得Gn(s)=-(T1s+1)/k1這就是按擾動的全補償全t從0→∞全過程各種干擾信號2按擾動的穩(wěn)態(tài)補償設系統(tǒng)穩(wěn)定，N(s)=1/s,則essn=－limsC(s)=－lims→0s→0k1k21+k1Gn(s)

∴Gn(s)=-1/k1令N(s)=0,Er(s)=令分子=0，得Gr(s)=s(T2s+1)/k23按輸入的全補償N(s)R(s)Gr(s)T1s+1k1s(T2s+1)k2C(s)E(s)設系統(tǒng)穩(wěn)定，R(s)=1/s2則essr=limsEr(s)=lims→0s→01-k2SGr(s)k1k2k2S∴Gr(s)=4按輸入的穩(wěn)態(tài)補償s(T1s+1)(T2s+1)