自動(dòng)控制原理原理第8章

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析8．1非線(xiàn)性系統(tǒng)概述8.1.1典型非線(xiàn)性特性1.飽和特性不再隨輸入的的絕對(duì)值增大到某一值后，輸出當(dāng)輸入變化而變化，即輸出達(dá)到飽和，這種現(xiàn)象稱(chēng)為飽和。如晶體管放大器、電機(jī)的轉(zhuǎn)速與控制電壓的關(guān)系都具有飽和特性的，如圖。實(shí)際飽和特性理想飽和特性≤a飽和特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：（1）由于飽和區(qū)等效增益的減小，提高了暫態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性，即有抑制系統(tǒng)振蕩的作用。（2）由于飽和區(qū)等效增益的減小，使穩(wěn)態(tài)控制精度下降。2.死區(qū)特性（不靈敏區(qū)）死區(qū)特性當(dāng)輸入信號(hào)的絕對(duì)值小于死區(qū)范圍時(shí)，輸出為零；當(dāng)輸入信號(hào)的絕對(duì)值大于死區(qū)范圍時(shí)，輸出信號(hào)才隨輸入信號(hào)線(xiàn)性變化。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為≥≤

控制系統(tǒng)中的測(cè)量元件、執(zhí)行部件以及放大器都存在著不靈敏區(qū)。

死區(qū)特性元件等效于一個(gè)變?cè)鲆嬖谒绤^(qū)范圍內(nèi)，等效增益為零，大于死區(qū)后，等效增益隨輸入信號(hào)的增大在增大，但等效增益總是小于原來(lái)的值。

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析死區(qū)特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：（1）由于等效增益的減小，增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了穩(wěn)態(tài)控制精度。（2）由于等效增益的減小，提高了系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性，使振蕩性能減弱。（3）因?yàn)樗绤^(qū)可以濾掉小幅值的干擾信號(hào)，所以使系統(tǒng)的抗擾能力提高。3.間隙特性（回環(huán)特性）間隙特性形成的原因常常是由于滯后的作用造成的。如磁性材料的滯后現(xiàn)象，所以回環(huán)特性又叫磁滯特性。在機(jī)械傳動(dòng)裝置中，由于傳動(dòng)間隙或干摩擦也造成回環(huán)特性。如圖。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析間隙特性間隙特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：（1）間隙會(huì)引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定或自振蕩。由于輸出總是滯后于輸入的，從頻率特性上看相當(dāng)于系統(tǒng)中引入了一個(gè)相位滯后環(huán)節(jié)，使系統(tǒng)相位裕量減小，暫態(tài)響應(yīng)振蕩性能加劇。（2）由于滯后原因間隙會(huì)降低系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度。繼電器理想繼電器死區(qū)繼電器帶滯環(huán)的繼電器4.繼電器特性第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析繼電器特性對(duì)系統(tǒng)總是不利的。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析8.1.2非線(xiàn)性系統(tǒng)的特點(diǎn)1．穩(wěn)定性線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與初始條件及輸入量無(wú)關(guān)。非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性除了與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)外，還與初始條件及輸入量有關(guān)。例8-1

有非線(xiàn)性系統(tǒng)，其微分方程為試分析在不同的初始狀態(tài)下（如、和）系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）當(dāng)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)，微分方程的特征根為負(fù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，其動(dòng)態(tài)過(guò)程按指數(shù)規(guī)律衰減。如圖。不同初始狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)過(guò)程第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析項(xiàng)的系數(shù)（2）當(dāng)時(shí)，，微分方程變?yōu)楸３趾阒?。如圖。（3）當(dāng)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)，為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，其動(dòng)態(tài)過(guò)程微分方程的特征根按指數(shù)規(guī)律發(fā)散。如圖。2．自持振蕩（自振）對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)，除了穩(wěn)定和不穩(wěn)定這兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以外，還有一種穩(wěn)定的持續(xù)振蕩狀態(tài)，即自持振蕩或自激振蕩（簡(jiǎn)稱(chēng)自振）。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析自振就是在沒(méi)有外加信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生的不衰減的周期振蕩。

在很多情況下不希望系統(tǒng)產(chǎn)生自振，因?yàn)閺?qiáng)烈的振蕩會(huì)使設(shè)備損壞。但有時(shí)也可以利用自振改善系統(tǒng)性能，如用高頻小振幅的顫振克服摩擦或間隙對(duì)系統(tǒng)的影響。所以自振的分析研究是非線(xiàn)性系統(tǒng)研究的一個(gè)重要問(wèn)題。3．疊加原理不適用非線(xiàn)性系統(tǒng)的暫態(tài)特性是與初始條件有關(guān)的，當(dāng)初始偏差小時(shí)單調(diào)變化，初始偏差大時(shí)很可能就出現(xiàn)振蕩。所以，疊加原理不適用。

鑒于非線(xiàn)性系統(tǒng)的特點(diǎn)，其研究的重點(diǎn)和方法與線(xiàn)性系統(tǒng)有所不同，一般主要研究非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩問(wèn)題，決定它的穩(wěn)定范圍，自振的振幅和頻率等。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析8．2描述函數(shù)法描述函數(shù)法是在頻率域中分析非線(xiàn)性系統(tǒng)的一種工程近似方法，是頻率法在一定假設(shè)條件下在非線(xiàn)性系統(tǒng)中的推廣應(yīng)用。8.2.1描述函數(shù)的基本概念1．諧波線(xiàn)性化諧波線(xiàn)性化就是在輸入正弦函數(shù)的情況下，將非線(xiàn)性元件輸出的非正弦周期信號(hào)用其中的基波分量來(lái)代替，而略去信號(hào)中的高次諧波。設(shè)一個(gè)非線(xiàn)性元件，其輸出輸入關(guān)系表示為，

時(shí)

輸入為，輸出為，它是一個(gè)非正弦的周期函數(shù)。展成富氏級(jí)數(shù)：第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析其中：

設(shè)非線(xiàn)性特性均為對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)，，忽略高次諧波，則第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析2．描述函數(shù)定義非線(xiàn)性元件在正弦輸入時(shí)，輸出的基波分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比，稱(chēng)為該非線(xiàn)性元件的描述函數(shù)。表示，即描述函數(shù)用符號(hào)如果非線(xiàn)性元件不包含儲(chǔ)能機(jī)構(gòu)，即描述，描述函數(shù)只是輸入正弦信號(hào)幅值的函數(shù)，即而與頻率無(wú)關(guān)。

的特性可以用代數(shù)方程描述函數(shù)可看作是一個(gè)“復(fù)放大系數(shù)”或“復(fù)增益”。8.2.2典型非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)計(jì)算步驟：（1）設(shè)輸入為，根據(jù)非線(xiàn)性輸入輸出特性，畫(huà)出其輸出

波形并寫(xiě)出其表達(dá)式。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析（2）計(jì)算輸出的基波分量（設(shè)非線(xiàn)性特性具有斜對(duì)稱(chēng)）。特性，即（3）根據(jù)描述函數(shù)的定義式求出該非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)。1．飽和特性的描述函數(shù)輸入、輸出特性如圖。（1）在正弦輸入信號(hào)作用下，其輸出波形如圖。

寫(xiě)出輸出表達(dá)式為

≤≤≤≤第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析飽和特性及輸入、輸出波形（b）（a）（c）第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析（2）由于飽和特性為單值斜對(duì)稱(chēng)，所以，由圖知，當(dāng)時(shí)，，所以，。

（3）其描述函數(shù)為第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析2．死區(qū)特性的描述函數(shù)死區(qū)特性的輸入、輸出特性及在正弦函數(shù)輸入時(shí)的輸出波形如圖。死區(qū)特性及輸入、輸出波形第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析≤≤≤≤其輸出表達(dá)式為死區(qū)特性為單值斜對(duì)稱(chēng)，故第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析死區(qū)特性描述函數(shù)為

3．間隙特性的描述函數(shù)間隙特性的輸入、輸出特性及在正弦函數(shù)輸入時(shí)的輸出波形如圖。其輸出表達(dá)式為第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析間隙特性及輸入、輸出波形第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析≤≤≤≤由圖可得，所以，

由于間隙特性為非單值斜對(duì)稱(chēng)，所以、均不為零。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析間隙特性的描述函數(shù)為這是一個(gè)與輸入正弦函數(shù)的振幅有關(guān)的復(fù)函數(shù)，說(shuō)明輸出的基波分量對(duì)輸入是有相位差的，輸出滯后于輸入。

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析4．繼電器特性的描述函數(shù)繼電器特性的輸入、輸出特性及在正弦函數(shù)輸入時(shí)的輸出波形如圖。繼電器特性及輸入、輸出波形maa第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析其輸出表達(dá)式為

≤≤≤≤；；≤≤由圖可得：

因繼電器特性為非單值斜對(duì)稱(chēng)，所以，，

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析繼電器特性的描述函數(shù)為當(dāng)m和a取不同值時(shí)，可得到其它幾種繼電特性的描述函數(shù)。當(dāng)時(shí)，為理想繼電器特性，

其描述函數(shù)為第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析當(dāng)時(shí)，為帶死區(qū)的繼電器特性，其描述函數(shù)為

當(dāng)時(shí)，為帶滯環(huán)的繼電器特性，其描述函數(shù)為

當(dāng)系統(tǒng)中有兩個(gè)或多個(gè)非線(xiàn)性元件并聯(lián)的結(jié)構(gòu)時(shí)，可以等效為一個(gè)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)，其等效描述函數(shù)為各并聯(lián)非線(xiàn)性特性描述函數(shù)之和?；蛘咭粋€(gè)復(fù)雜的非線(xiàn)性特性可以分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單非線(xiàn)性特性的疊加。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析8.2.3描述函數(shù)法分析非線(xiàn)性系統(tǒng)描述函數(shù)法主要用來(lái)研究非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題、是否產(chǎn)生自振、產(chǎn)生自振時(shí)的振幅和頻率的確定，以及如何抑制自振等。1．系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)及描述函數(shù)法應(yīng)用的基本條件非線(xiàn)性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖：

NW考慮只分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性及自振問(wèn)題，令外部作用量為零?？赏ㄟ^(guò)對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)的變換和歸化和非線(xiàn)性部分的串聯(lián)而形成的回路。

得到，表示為線(xiàn)性部分基于諧波線(xiàn)性化，系統(tǒng)處于自振時(shí)，非線(xiàn)性部分和線(xiàn)性部分的輸入輸出均為同頻率的正弦量，在此條件下，非線(xiàn)性部分的特性可用描述函數(shù)表示，線(xiàn)性部分的特性可用頻率特性表示，其典型結(jié)構(gòu)等效為第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析這就是分析非線(xiàn)性系統(tǒng)自振時(shí)的理論模型，以后的分析是基于此模型的。

描述函數(shù)法應(yīng)用的基本假設(shè)條件：（1）非線(xiàn)性系統(tǒng)為典型結(jié)構(gòu)圖形式。（3）線(xiàn)性部分具有良好的低通濾波特性。2．非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析設(shè)非線(xiàn)性系統(tǒng)為典型結(jié)構(gòu)圖形式，仿線(xiàn)性系統(tǒng)的奈氏穩(wěn)定判據(jù)，寫(xiě)出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為或?qū)懗?/p>

（2）對(duì)于非線(xiàn)性②無(wú)慣性；③其輸入輸出靜特性是斜對(duì)稱(chēng)的（即為對(duì)稱(chēng)奇函來(lái)說(shuō)，①其輸出的高次諧波振幅小于基波振幅；數(shù)）。

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)而言，，復(fù)平面上（-1，j0）點(diǎn)是判斷線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性的參考點(diǎn)。

對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)，由于，特征方程的右邊為

現(xiàn)仍假設(shè)線(xiàn)性部分為最小相位系統(tǒng)，那么，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的不再。是參考點(diǎn)（-1，j0），而是一條參考線(xiàn)（線(xiàn)，即負(fù)倒描述函數(shù)曲線(xiàn)）。表明系統(tǒng)有正的特征根，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)增幅振蕩，不穩(wěn)定。和判斷線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性相似，①如果曲線(xiàn)包圍了線(xiàn)，如圖。

則系統(tǒng)穩(wěn)定。

③如果兩線(xiàn)有交點(diǎn)，表明系統(tǒng)有可能產(chǎn)生自持振蕩。是否產(chǎn)生自持振蕩，要判斷交點(diǎn)是具有收斂特性還是發(fā)散特性。

②如果曲線(xiàn)不包圍線(xiàn)，如圖。

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析3．自振分析當(dāng)曲線(xiàn)和線(xiàn)相交時(shí)，系統(tǒng)有可能產(chǎn)生穩(wěn)定的自振蕩，是否產(chǎn)生自振要判斷交點(diǎn)的特性。以上右圖為例討論。如果交點(diǎn)具有發(fā)散特性，如P點(diǎn)。不可能產(chǎn)生穩(wěn)定的自振蕩。如果交點(diǎn)具有收斂特性，如Q點(diǎn)。會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)定的自振蕩。其振幅和頻率由交點(diǎn)處線(xiàn)上的值和線(xiàn)上的值確定。

該系統(tǒng)的工作狀態(tài)根據(jù)初始振幅不同會(huì)有兩種狀態(tài)存在：第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析①當(dāng)初始振幅（設(shè)P點(diǎn)振幅為XP）時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，的增長(zhǎng)而衰減振蕩，直至衰減到零。

狀態(tài)隨時(shí)間

不同初始振幅情況下的狀態(tài)變化曲線(xiàn)如圖。②當(dāng)時(shí)，

系統(tǒng)最終會(huì)穩(wěn)定在Q點(diǎn)作自振蕩，自振的振幅和頻率分別為Q點(diǎn)的和。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析4．應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線(xiàn)性系統(tǒng)舉例例8-2具有飽和特性的非線(xiàn)性系統(tǒng)如圖所示，試（1）判斷當(dāng)

線(xiàn)性部分時(shí)，系統(tǒng)是否產(chǎn)生自振？如產(chǎn)生自振，求自振的頻率和振幅。（2）確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)，的取值。

解：（1）飽和非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)為

由非線(xiàn)性特性知，，，代入上式可得負(fù)倒描述函數(shù)為第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析因飽和特性為單值斜對(duì)稱(chēng)特性，其和為實(shí)函數(shù)。

當(dāng)振幅在（1～∞）范圍變化時(shí)，變化范圍為（-0.5～-∞）。

曲線(xiàn)如圖。

線(xiàn)性部分頻率特性為

將代入并繪制其幅相頻率特性曲線(xiàn)如圖。

兩線(xiàn)交點(diǎn)計(jì)算如下：

解得：令：代入其實(shí)部得：第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)即為（-1，j0）點(diǎn)，可判斷此交點(diǎn)具有收斂特性，故產(chǎn)生自振。

自振的頻率即為兩線(xiàn)交點(diǎn)處的頻率，即線(xiàn)上的振幅，計(jì)算如下：，自振的振幅即為兩線(xiàn)交點(diǎn)處令

即解得，即為自振的振幅。

（2）當(dāng)曲線(xiàn)與曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)就不會(huì)產(chǎn)生自振，

并且曲線(xiàn)時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

曲線(xiàn)不包圍第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析值即為臨界穩(wěn)定值。即當(dāng)時(shí)的解得為臨界穩(wěn)定值，

當(dāng)時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。

例8-3非線(xiàn)性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖。

非線(xiàn)性特性的參數(shù)自振，若存在自振，計(jì)算自振的頻率和振幅。

。試分析該系統(tǒng)是否存在解：帶死區(qū)的繼電器特性的描述函數(shù)為0.750.7570.760.950.9911.11.71.8431.9-0.97-0.92-0.90-0.65-0.65-0.65-0.66-0.86-0.92-0.94第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析則負(fù)倒描述函數(shù)為將代入得：根據(jù)式計(jì)算一組數(shù)據(jù)如表：

根據(jù)表數(shù)據(jù)可畫(huà)出曲線(xiàn)如圖。

時(shí)，達(dá)到最大。

150180190200250300500-0.36-0.10-0.0400.100.120.07-1.55-1.13-1.02-0.92-0.57-0.37-0.09第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析線(xiàn)性部分的頻率特性為

計(jì)算一組數(shù)據(jù)如表：

根據(jù)上表數(shù)據(jù)可畫(huà)出線(xiàn)性部分幅相頻率特性如圖。

，

可看出，線(xiàn)與線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)A和B可判斷交點(diǎn)A具有發(fā)散特性，交點(diǎn)B具有收斂特性，所以系統(tǒng)在B點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生自振。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析計(jì)算交點(diǎn)上的頻率和振幅：交點(diǎn)A和交點(diǎn)B上的頻率相同，但振幅不同。解得，代入其實(shí)部得令：線(xiàn)與線(xiàn)的交點(diǎn)即為（-0.92，j0）。

交點(diǎn)上的振蕩頻率即為計(jì)算交點(diǎn)A和交點(diǎn)B的振幅：令：解得：

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析當(dāng)初始振幅時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；

當(dāng)初始振幅時(shí)，會(huì)在B點(diǎn)產(chǎn)生穩(wěn)定的自振，其振蕩的頻率為，振幅為。

例8-4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。非線(xiàn)性特性為帶滯環(huán)的繼電器特性，其中的參數(shù)

，，試判斷該系統(tǒng)是否存在自振，若存在自振，計(jì)算自振的頻率和振幅。

解：帶滯環(huán)的繼電器特性的描述函數(shù)為其負(fù)倒描述函數(shù)為

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析代入?yún)?shù)，，得可畫(huà)出曲線(xiàn)如圖。

線(xiàn)性部分的頻率特性為

可計(jì)算一組數(shù)據(jù)畫(huà)出線(xiàn)性部分幅相頻率特性如圖。

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析可看出，線(xiàn)與線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)，且具有收斂特性，所以系統(tǒng)存在自振。

令在交點(diǎn)處的和的實(shí)部和虛部分別相等，可求得自振的頻率和振幅。即

解得：，。即自振的頻率為，振幅為。

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析8．3相平面法設(shè)二階系統(tǒng)微分方程的一般形式為

是和的線(xiàn)性或非線(xiàn)性函數(shù)。

狀態(tài)變量為

和。在任一瞬間，可用這兩個(gè)狀態(tài)變量來(lái)描述該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

將二階微分方程式轉(zhuǎn)換成兩個(gè)一階微分方程：

把時(shí)間變量作為參變量消去，可得上三式是等價(jià)的，

（1）（2）（3）即式（1）的解既可用和的關(guān)系來(lái)表示，和的關(guān)系來(lái)表示。

也可用把直角坐標(biāo)和系統(tǒng)的某一狀態(tài)在相平面上對(duì)應(yīng)確定出一個(gè)點(diǎn)，稱(chēng)為相點(diǎn)（或表示點(diǎn)、描述點(diǎn)）。

的平面叫做相平面。相平面：相點(diǎn)：第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析隨著時(shí)間的變化，狀態(tài)也相應(yīng)變化，在平面上便描繪出一條軌跡，叫做相軌跡。

相軌跡：如果以各種可能初始狀態(tài)為起始點(diǎn)，則可以得到一族相軌跡。把相平面和相軌跡曲線(xiàn)族總稱(chēng)為相平面圖。

相平面圖：相平面法：就是利用相平面圖來(lái)分析研究系統(tǒng)暫態(tài)特性的一種方法。

相平面法是一種時(shí)域分析法，也是一種圖解法，但只適用于二階系統(tǒng)。

8.3.1相軌跡的特征以線(xiàn)性二階系統(tǒng)為例來(lái)討論相軌跡的特征。其微分方程為

只研究其暫態(tài)解，考慮齊次方程

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析令得將其化為兩個(gè)一階微分方程式

把時(shí)間變量作為參變量消去，得到和之間的關(guān)系方程，即為相軌跡方程。

在相平面上畫(huà)出的關(guān)系曲線(xiàn)即為相軌跡曲線(xiàn)。

和消去得上式即為相軌跡斜率方程，用解析法或圖解法求解即可求出的關(guān)系曲線(xiàn)（即相軌跡）。

和第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析下面分六種可能的情況來(lái)討論相軌跡的特征及與時(shí)間函數(shù)之間的關(guān)系。

1．無(wú)阻尼（）情況微分方程式的特征根為一對(duì)共軛虛根，如圖。

相軌跡斜率方程變?yōu)椴捎梅e分法求解并整理得式中，是由初始條件（）決定的常數(shù)。

此式即為相軌跡方程，是一個(gè)橢圓方程。

當(dāng)初始條件不同時(shí)，相軌跡為一族同心的橢圓，

如圖。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析無(wú)阻尼（）情況設(shè)初始位置在點(diǎn)，相應(yīng)的狀態(tài)變化曲線(xiàn)如圖。

2．欠阻尼（）情況微分方程式的特征根為一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，見(jiàn)圖。

其解為

其中，，和由初始條件確定。

其相軌跡為向心螺旋線(xiàn)見(jiàn)圖。

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析欠阻尼（）情況設(shè)初始位置為，相應(yīng)的狀態(tài)變化曲線(xiàn)如圖。

呈現(xiàn)為衰減振蕩過(guò)程。

3．過(guò)阻尼（）情況微分方程式的特征根為兩個(gè)負(fù)實(shí)根，如圖。

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析過(guò)阻尼（）情況即：圖8-22過(guò)阻尼（微分方程式的解為

其中，A1和A2由初始條件確定。對(duì)應(yīng)的相平面圖如圖。

設(shè)初始位置分別在M1和M2點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)x(t)變化曲線(xiàn)如圖。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析4．負(fù)阻尼情況一（）微分方程式的特征根為一對(duì)正實(shí)部的共軛復(fù)根，如圖

。負(fù)阻尼（）情況相軌跡也為螺旋線(xiàn)，只是相軌跡移動(dòng)方向隨著時(shí)間t的增長(zhǎng)向外發(fā)散的，如圖。狀態(tài)變化曲線(xiàn)如圖，呈增幅振蕩過(guò)程。

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析5．負(fù)阻尼情況二（）微分方程式的特征根為兩個(gè)正實(shí)根，如圖（a）。

負(fù)阻尼（）情況相平面圖如圖（b）。設(shè)初始位置位于M1或M2區(qū)域，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變化曲線(xiàn)如圖（c）呈發(fā)散過(guò)程。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析6．正反饋的情況變正反饋時(shí)系統(tǒng)微分方程為特征根為兩個(gè)異號(hào)實(shí)根，即

如圖（a）

兩個(gè)異號(hào)實(shí)根情況第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析微分方程式的解為

A1和A2由初始條件確定。其相平面圖如圖（b），為一族“雙曲線(xiàn)”。設(shè)初始位置在M0，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)x(t)的變化曲線(xiàn)如圖（c）。

當(dāng)時(shí)，兩個(gè)特征根為數(shù)值相等的異號(hào)實(shí)根，雙曲線(xiàn)變?yōu)榈冗呺p曲線(xiàn)。

相軌跡的特征：

（1）奇點(diǎn)

奇點(diǎn)就是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。在相平面上就是相軌跡是相交的點(diǎn)。在奇點(diǎn)上滿(mǎn)足：

根據(jù)此式可確定奇點(diǎn)的位置。根據(jù)奇點(diǎn)附近的相軌跡形狀不同把奇點(diǎn)分為六類(lèi)：第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析s穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)中心點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析

確定奇點(diǎn)類(lèi)型的方法：

設(shè)奇點(diǎn)位置在坐標(biāo)原點(diǎn)（如不在原點(diǎn)先變換到原點(diǎn)）。首先將非線(xiàn)性微分方程在原點(diǎn)附近線(xiàn)性化處理，再根據(jù)線(xiàn)性化微分方程的特征方程式的根在復(fù)平面上的位置來(lái)確定奇點(diǎn)的類(lèi)型。設(shè)線(xiàn)性化后微分方程的特征方程為

和為常數(shù)，其根設(shè)為和，存在六種情況如下：

①為一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，相應(yīng)的奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。和②為一對(duì)正實(shí)部的共軛復(fù)根，相應(yīng)的奇點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)和③

和均為負(fù)實(shí)根，相應(yīng)的奇點(diǎn)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。④

均為正實(shí)根，相應(yīng)的奇點(diǎn)為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。和和⑤

和為一對(duì)共軛虛根，相應(yīng)的奇點(diǎn)為中心點(diǎn)。⑥為兩個(gè)異號(hào)實(shí)根，相應(yīng)的奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。①如果奇點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)，可通過(guò)變量代換先移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)，再進(jìn)行線(xiàn)性化處理，然后再利用上述方法判斷奇點(diǎn)類(lèi)型。②當(dāng)線(xiàn)性化后的特征方程的根至少有一個(gè)為零時(shí)，則不能用上述方法判斷奇點(diǎn)類(lèi)型。因?yàn)榇藭r(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的高階項(xiàng)。注意：對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，奇點(diǎn)只有一個(gè)，零輸入條件時(shí)，奇點(diǎn)即為坐標(biāo)原點(diǎn)。而對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)，兩線(xiàn)交點(diǎn)有可能不只一個(gè)，可能會(huì)有多個(gè)。例8-5繪制下面微分方程所描述系統(tǒng)的相平面圖。解：（1）計(jì)算奇點(diǎn)位置奇點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足的條件

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析代入微分方程得第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析解得奇點(diǎn)為和

兩個(gè)奇點(diǎn)。

（2）判斷奇點(diǎn)類(lèi)型先判斷奇點(diǎn)（0，0）的類(lèi)型。在原點(diǎn)附近將原微分方程線(xiàn)性化得：

特征方程為，求其特征根為

為一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，奇點(diǎn)(0,0)類(lèi)型為穩(wěn)定焦點(diǎn)。對(duì)于奇點(diǎn)(-2,0)，先進(jìn)行變量代換，將其移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)，再線(xiàn)性化處理判斷奇點(diǎn)類(lèi)型。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析，即令

，

將其代入原微分方程，變?yōu)閯t在坐標(biāo)系中，奇點(diǎn)即為(0,0)。然后線(xiàn)性化處理得特征方程為特征根為為兩個(gè)異號(hào)實(shí)根，所以奇點(diǎn)（-1，0）類(lèi)型為鞍點(diǎn)。相平面圖如圖所示。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析可看出當(dāng)初始位置位于內(nèi)部穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)將收斂到奇點(diǎn)(0,0)，否則，系統(tǒng)是發(fā)散的。（2）相軌跡不相交除奇點(diǎn)外，相軌跡是不會(huì)相交的。（3）特征區(qū)奇點(diǎn)附近的相軌跡除中心點(diǎn)情況外，所有描述點(diǎn)不是沿相軌跡趨于奇點(diǎn)（叫吸引），就是沿相軌跡離開(kāi)奇點(diǎn)（叫發(fā)散）。說(shuō)明在奇點(diǎn)周?chē)嘬壽E具有共性，形成一個(gè)特征區(qū)（叫做吸引區(qū)或發(fā)散區(qū)）。（4）相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向

在相平面的上半平面，相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)橄蛴遥?/p>

在相平面的下半平面，相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)橄蜃蟆?/p>

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析（5）相軌跡通過(guò)x軸的斜率。

當(dāng)相軌跡通過(guò)x軸時(shí)，相軌跡通常是垂直通過(guò)的。在x

軸上的各點(diǎn)，滿(mǎn)足，除奇點(diǎn)外，相軌跡斜率為，所以相軌跡總是垂直通過(guò)x

軸的。（6）極限環(huán)極限環(huán)在相平面上具有特殊的幾何圖形，即是一個(gè)孤立的封閉曲線(xiàn)。極限環(huán)表示一個(gè)等幅振蕩。ⅠⅡⅢ假設(shè)相平面被劃分為三個(gè)線(xiàn)性區(qū)域，如圖。如果給定區(qū)域（如Ⅰ區(qū)）它的相軌跡具有的奇點(diǎn)在本區(qū)域內(nèi)，則稱(chēng)為實(shí)奇點(diǎn)。實(shí)奇點(diǎn)：

如果奇點(diǎn)位于給定區(qū)域之外（如在Ⅱ區(qū)或Ⅲ區(qū)），則稱(chēng)為虛奇點(diǎn)。虛奇點(diǎn)：第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析判斷極限環(huán)存在的一個(gè)充分條件：當(dāng)具有不穩(wěn)定的實(shí)奇點(diǎn)和穩(wěn)定的虛奇點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)必然存在極限環(huán)。系統(tǒng)從某一狀態(tài)過(guò)渡到另一狀態(tài)所經(jīng)歷的時(shí)間（即調(diào)節(jié)時(shí)間）可利用相軌跡求得。（7）調(diào)節(jié)時(shí)間設(shè)狀態(tài)從狀態(tài)過(guò)渡到狀態(tài)，其調(diào)節(jié)時(shí)間計(jì)算公式為：如果已知相軌跡方程，可通過(guò)積分即可計(jì)算出調(diào)節(jié)時(shí)間。①積分計(jì)算法②圖解計(jì)算法已知相軌跡如圖，由相軌跡可得到與的關(guān)系曲線(xiàn)，如圖。

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析（a）（b）則曲線(xiàn)所包圍的面積s即為調(diào)節(jié)時(shí)間。8.3.2相軌跡的繪制相軌跡的繪制方法解析法圖解法1．解析法解析法包括直接積分法和消t法兩種方法。（1）直接積分法

由微分方程式轉(zhuǎn)換成兩個(gè)一階微分方程得到相軌跡斜率方程，即：第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析┅┅（*）直接對(duì)（*）式進(jìn)行積分可求得相軌跡方程，再根據(jù)此式就可在相平面上繪制相軌跡了。（2）消t法

根據(jù)微分方程式先求解出狀態(tài)和函數(shù)，然后消去時(shí)間變量得到相軌跡方程

，再根據(jù)此式畫(huà)相軌跡。例8-6繪制

所描述系統(tǒng)的相平面圖。解：采用解析法（1）直接積分法。即

兩邊積分得即為相軌跡方程，A為積分常數(shù)，由初始條件確定。

原方程可變換為第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析其相平面圖如圖。為開(kāi)口向左的一族拋物線(xiàn)。2．圖解法工程中常用的圖解法有：等斜線(xiàn)法和法。

等斜線(xiàn)法的基本思想：將相軌跡的曲線(xiàn)形式用一系列短的折線(xiàn)近似代替。等斜線(xiàn)是指相平面上相軌跡斜率相等的各點(diǎn)的連線(xiàn)。相軌跡斜率方程為令：得等斜線(xiàn)的方程為

為相軌跡斜率，為常數(shù)。

給定一組的值，便可得到一族等斜線(xiàn)。相軌跡通過(guò)每條不同的等斜線(xiàn)時(shí)，其斜率均為該條等斜線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的值。

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析當(dāng)給定初始條件確定出相軌跡的初始位置后，由該點(diǎn)出發(fā)的相軌跡畫(huà)法如下：按照初始位置所在的等斜線(xiàn)上相軌跡的斜率c方向畫(huà)一個(gè)小線(xiàn)段，交于下一條等斜線(xiàn)上一點(diǎn)；再由這一點(diǎn)出發(fā)，按照此條等斜線(xiàn)上相軌跡的斜率c方向畫(huà)一個(gè)小線(xiàn)段，交于再下一條等斜線(xiàn)上一點(diǎn)。依次連續(xù)畫(huà)下去，就可以畫(huà)出一條從給定初始條件出發(fā)的相軌跡。以線(xiàn)性二階系統(tǒng)為例應(yīng)用等斜線(xiàn)法畫(huà)相軌跡。相軌跡斜率方程為

令相軌跡斜率為常數(shù)c，即第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析得等斜線(xiàn)方程為

令得等斜線(xiàn)方程為

當(dāng)c取一組數(shù)據(jù)可作等斜線(xiàn)族如圖。

等斜線(xiàn)畫(huà)出后，繪制相軌跡：（1）根據(jù)初始條件確定相軌跡的起始位置，設(shè)為點(diǎn)。

（2）過(guò)A點(diǎn)按A點(diǎn)所在等斜線(xiàn)上的c值（c=-1）畫(huà)一斜率為c的直線(xiàn)段與下一條等斜線(xiàn)交于一點(diǎn)B。線(xiàn)段即為相軌跡上的一段；然后再?gòu)腂點(diǎn)出發(fā)按B點(diǎn)所在等斜線(xiàn)上的c值（c=-1.2）畫(huà)一斜率為c的直線(xiàn)段與下一條等斜線(xiàn)交于一點(diǎn)c。依次類(lèi)推繪制下去，一條相軌跡就畫(huà)出來(lái)了，如圖。更精確一些，可按相鄰等斜線(xiàn)上所標(biāo)c值的平均值作為斜率畫(huà)直線(xiàn)段。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析例8-7用等斜線(xiàn)法繪制下述微分方程所描述系統(tǒng)的相平面圖。解：

分區(qū)域繪制。（1）≥的區(qū)域。

微分方程為

相軌跡斜率方程為

令其等于常數(shù)c，得等斜線(xiàn)方程為畫(huà)出右半平面等斜線(xiàn)如圖。

（2）的區(qū)域。

微分方程為相軌跡斜率方程為

令其等于常數(shù)c，得等斜線(xiàn)方程為

畫(huà)出左半平面等斜線(xiàn)如圖。

第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析（3）繪制相軌跡。

取不同的初始位置為相軌跡起點(diǎn)，按等斜線(xiàn)法繪制相軌跡，即可得到該系統(tǒng)的相平面圖，如圖。該系統(tǒng)相軌跡存在兩條漸近線(xiàn)，討論如下。

相軌跡的漸近線(xiàn)為一條特殊的等斜線(xiàn)，即當(dāng)?shù)刃本€(xiàn)的斜率與相軌跡的斜率相等的那條等斜線(xiàn)即為相軌跡的漸近線(xiàn)。左半平面的等斜線(xiàn)方程為令其斜率等于相軌跡的斜率c，即，可解得和兩個(gè)根，再代入等斜線(xiàn)方程，得即為相軌跡漸近線(xiàn)的方程。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析8.3.3非線(xiàn)性系統(tǒng)的相平面分析相平面法分析非線(xiàn)性系統(tǒng)的一般步驟：（1）將非線(xiàn)性特性分成若干個(gè)線(xiàn)性段，分別寫(xiě)出其數(shù)學(xué)表達(dá)式。（2）選擇相平面合適的坐標(biāo)。一般選擇和非線(xiàn)性元件輸入信號(hào)有關(guān)的量。

（3）根據(jù)每個(gè)區(qū)域的線(xiàn)性微分方程確定奇點(diǎn)的位置及類(lèi)型。（4）在各區(qū)域內(nèi)畫(huà)出各自的相軌跡。（5）把相鄰區(qū)域的相軌跡在區(qū)域邊界上作適當(dāng)?shù)倪B接。例8-8一非線(xiàn)性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖。試畫(huà)相平面圖并分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析解：（1）將死區(qū)非線(xiàn)性特性分段線(xiàn)性表示，寫(xiě)出其數(shù)學(xué)表達(dá)式為（2）選相平面坐標(biāo)為（，）。

由非線(xiàn)性特性知可將相平面分為三個(gè)線(xiàn)性區(qū)域，如圖。設(shè)系統(tǒng)輸入信號(hào)為零，即。由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖寫(xiě)出其微分方程為Ⅰ區(qū)域（）：

該區(qū)域的線(xiàn)性微分方程為第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析ⅡⅢⅠⅡ區(qū)域（）：

該區(qū)域的線(xiàn)性微分方程為Ⅲ區(qū)域（）：

該區(qū)域的線(xiàn)性微分方程為設(shè)。（3）確定各區(qū)域奇點(diǎn)的位置及類(lèi)型。①Ⅰ區(qū)域：根據(jù)奇點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足的條件由微分方程得

解得奇點(diǎn)位置為（0，0）。

判斷奇點(diǎn)類(lèi)型。其特征方程為第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析解得其根為

或?yàn)閮蓚€(gè)右半平面的共軛復(fù)根，或?yàn)閮蓚€(gè)正實(shí)根。所以奇點(diǎn)（0，0）或?yàn)椴环€(wěn)定焦點(diǎn)或?yàn)椴环€(wěn)定節(jié)點(diǎn)。如設(shè)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。

②Ⅱ區(qū)域：用同樣的方法可求得奇點(diǎn)為（，0），奇點(diǎn)類(lèi)型或?yàn)榉€(wěn)定焦點(diǎn)或?yàn)榉€(wěn)定節(jié)點(diǎn)（設(shè)為穩(wěn)定焦點(diǎn)）。為虛奇點(diǎn)。

③Ⅲ區(qū)域：同樣可求得奇點(diǎn)為（，0），為穩(wěn)定焦點(diǎn)或?yàn)榉€(wěn)定節(jié)點(diǎn)（同樣設(shè)為穩(wěn)定焦點(diǎn)），為虛奇點(diǎn)。

（4）繪制各區(qū)域的相軌跡。Ⅰ區(qū)域的相軌跡為向外發(fā)散的螺旋線(xiàn)，Ⅱ區(qū)域和Ⅲ區(qū)域的相軌跡均為向內(nèi)收斂的螺旋線(xiàn)。如圖。（5）在區(qū)域邊界把相軌跡作適當(dāng)?shù)倪B接。相平面圖如圖。第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析例8-9具有飽和非線(xiàn)性特性的系統(tǒng)如圖。試?yán)L制相平面圖。解：（1）飽和非線(xiàn)性特性的分段線(xiàn)性表達(dá)式如下：（2）選相平面坐標(biāo)為（，）。相平面分為三個(gè)線(xiàn)性區(qū)域，如圖。

由結(jié)構(gòu)圖可寫(xiě)出描述系統(tǒng)的微分方程為

即有設(shè)輸入為階躍函數(shù)，則在時(shí)間時(shí)有得：（3）分區(qū)域畫(huà)相軌跡第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析ⅢⅠⅡ?yàn)榉纸缇€(xiàn)和①在Ⅰ區(qū)域（）：

得微分方程為根據(jù)奇點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足的條件

由微分方程得

即奇點(diǎn)位置為（0，0）。特征方程為解得其根為或?yàn)閮蓚€(gè)左半平面的共軛復(fù)根，或?yàn)閮蓚€(gè)負(fù)實(shí)根。奇點(diǎn)（0，0）或?yàn)榉€(wěn)定焦點(diǎn)或?yàn)榉€(wěn)定節(jié)點(diǎn)。設(shè)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，其相軌跡見(jiàn)圖。72第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析②在Ⅱ區(qū)域（），微分方程為

不存在奇點(diǎn)，但存在漸近線(xiàn)。將代入上式，得相軌跡斜率

令其等于常數(shù)c，得等斜線(xiàn)方程可看出，當(dāng)相軌跡斜率c取不同值時(shí)，等斜線(xiàn)為一族水平線(xiàn)，其斜率均為0。所以當(dāng)相軌跡斜率c與等斜線(xiàn)斜率（為0）相等時(shí)的那條等斜線(xiàn)即為相軌跡的漸近線(xiàn)。即令代入等斜線(xiàn)方程得相軌跡的漸近線(xiàn)方程：相軌跡如圖。）

③同理，在Ⅲ區(qū)域（，該區(qū)域微分方程等斜線(xiàn)方程為第8章非線(xiàn)性系統(tǒng)分析令得相軌跡漸近線(xiàn)：，該區(qū)域的相軌