分離變量法二

8.1.2直角坐標系分離變量例題分析

上面我們已經分析的是兩個邊界點均為第一類齊次邊界條件的定解問題．下面討論的是既有第一類，也有第二類齊次邊界條件的定解問題、均為第二類齊次邊界條件的定解問題，注意到本征值和本征函數(shù)的區(qū)別．【解】用分離變量法求解.令例8.2.1分析定解問題：

(8.2.1)u(x,t)=X(x)T(t)(8.2.2)代入（8.2.1），得本征值問題及對本征值問題（8.2.3）、（8.2.4）討論：（1）若，則方程（8.2.3）的解為

（8.2.3）（8.2.4）（8.2.5）（8.2.3）（8.2.4）（8.2.5）（8.2.3）（8.2.4）待定常數(shù)和由邊界條件（8.2.4）確定，即有只能得到無意義的解，應該排出．

(2)若

由（8.2.4）得

，則（8.2.3）的解為

，只能得到無意義的解，應該排出。

（3）若，則方程的解是由（8.2.4）則注意到

可以是任意常數(shù)．條件

且要得到非零解，只有．在條件下，

，即故得到本征值為相應的本征函數(shù)是系數(shù)B可以在求通解時考慮進去，故此將系數(shù)認為是

歸一化的.

由

將代入（8.2.5）解得疊加得系數(shù)由定解條件確定傅里葉展開式系數(shù)可確定為(8.2.6)

(8.2.7)(8.2.8)例8.2.2解下列兩端自由棒的自由縱振動定解問題：

魚群探測換能器件或磁致伸縮換能器的核心是兩端自由的均勻桿，它作縱振動．即下列定解問題

(8.2.9)【解】按照分離變量法的步驟，先設出變量分離形式的試探解U(x,t)=X(x)T(t)（8.2.12）（8.2.10）代入泛定方程及其次邊界條件，得（8.2.10）(8.2.11)求解（8.2.13）～（8.2.14）本征值問題，對

進行討論：,類同于前面的討論，只能得到無意義的解；(2)若，則方程（8.2.13）的解為

（8.2.13）本征值問題：

(8.2.14)代入（7）得到

故可取歸一化的本征函數(shù)

，于是得到，否則得到無意義的零解．由于通解中還另有待定系數(shù)，（3）若，方程(8.2.13)的解為

常數(shù)的確定，即由于

，所以如果則得無意義的解

；因此于是

相應的（歸一化的）本征函數(shù)是這是情況下的本征值．

從上面的討論我們可以將本征值

和對應的本征函數(shù)統(tǒng)一為當將本征函數(shù)值代入到T的方程得到其對應的解為其中

均為獨立的任意常數(shù)．所以，原定解問題的形式解為注意到上式正是傅里葉余弦級數(shù)的基本函數(shù)族．所有本征振動的疊加得到通解

系數(shù)由初始條件確定．有把右邊的函數(shù)

后比較兩邊的系數(shù)，得到

展開為傅里葉余弦級數(shù)，然采用分離變量法，設勢函數(shù)具有如下的分離解形式：在直角坐標系內，靜態(tài)場問題的勢函數(shù)的拉普拉斯方程為：求解穩(wěn)定場問題的定解問題

將上式代入拉普拉斯方程，并整理,有

上式已將變量分離，此式中每一項都只是一個變量的函數(shù)。要使上式對所有的都成立，每一項都必須等于一個常數(shù)，故有分離常數(shù)，由邊界條件來確定.以關于x的常微分方程為例,確定解的形式

若可得若可得若可得的值需要由邊界條件確定.雙曲函數(shù)8.2.3試求長直接地金屬槽內電位的分布。解:(1)寫出邊值問題（D域內）接地金屬槽的截面y(2)分離變量設-分離常數(shù),代入微分方程

通解將分離解代入齊次邊界條件

即通解接地金屬槽內的等位線分布拉普拉斯方程經過分離變量后變成了三個很容易求解的常微分方程。小結這三個方程解的形式與分離常數(shù)有關。等于0：當當對應的函數(shù)為線性函數(shù)；大于0：對應的函數(shù)為三角函數(shù)；小于0：對應的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)或雙曲正弦（余弦）函數(shù)；當幾種常用的本征值問題本征方程邊界條件本征值本征函數(shù)P201：2、12本周作業(yè)：8.2二維極坐標系下拉普拉斯方程分離變量

例8.2.1物理模型：

帶電的云與大地之間的靜電場近似是勻強靜電場,其電場強度

是豎直的，方向向下．水平架設的輸電線處于這個靜電場之中，輸電線是導體圓柱，柱面由于靜電感應出現(xiàn)感應電荷，圓柱鄰近的靜電場也就不再是勻強的了，如圖8.2所示．不過離圓柱“無遠限遠”處的靜電場仍保持為勻強的．現(xiàn)在研究導體圓柱怎樣改變了勻強靜電場,求出柱外的電勢分布．解題分析：首先需要把這個物理問題表示為定解問題．取圓柱的軸為Z軸．如果圓柱“無限長”，那么，這個靜電場的電場強度、電勢顯然與Z坐標無關，我們只需在XY平面上加以研究就行了．圖8.2畫出了XY平面上的靜電場分布，圓柱面在XY平面的剖口是圓

其中:是圓柱的半徑．柱外的空間中沒有電荷，所以電勢

（在圓柱外）滿足二維的拉普拉斯方程導體中的電荷既然不再移動，這說明導體中各處電勢相同．又因為電勢只具有相對的意義，完全可以把導體的電勢當作零，從而寫出邊界條件（8.2.1）在“無限遠”處的靜電場仍然保持為勻強的

因而還有一個非齊次的邊界條件由于選取了

軸平行于，所以在無限遠處，（8.2.2）于是定解問題可以描述為x2+y2>a2（8.2.3）【解】以變量分離形式的試探解上式左邊是

代入拉普拉斯方程,得的函數(shù)，與無關；右邊是的函數(shù)，

與無關．兩邊只能取同一個常數(shù)。這就分解為兩個常微分方程常微分方程隱含著一個附加條件．

事實上，一個確定地點的