應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)-關(guān)于方差的假設(shè)檢驗(yàn)

關(guān)于方差的假設(shè)檢驗(yàn)，未知2

的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)出發(fā)，根據(jù)備擇假設(shè)確定拒絕域的形式控制第一類錯(cuò)誤，即(1)當(dāng)H0成立時(shí)，X1,…,Xn~N(，02)，因此按照控制第一類錯(cuò)誤的原則，為了計(jì)算方便，取因此有所以拒絕域?yàn)榈葍r(jià)地，該拒絕域可寫為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量例5

某紡織車間生產(chǎn)的細(xì)沙支數(shù)

X服從正態(tài)分布N(,2)

，規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)差是1.2。從某日生產(chǎn)的細(xì)沙中抽取16根紗，測量其支數(shù)，計(jì)算得標(biāo)準(zhǔn)差為2.1。問細(xì)沙的均勻度是否符合規(guī)定？(=0.10)。解:

拒絕域?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，查表得，20.95(15)=24.996,20.05(15)=7.261由樣本值計(jì)算故拒絕原假設(shè)H0，認(rèn)為細(xì)沙的均勻度不符合規(guī)定。(2)關(guān)于方差的假設(shè)檢驗(yàn)，未知利用統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造拒絕域且控制第一類錯(cuò)誤，我們看H0成立時(shí)，相關(guān)事件的概率當(dāng)H0成立時(shí)，X1,…,Xn~N(，2)，且控制第一類錯(cuò)誤，由于所以當(dāng)H0成立時(shí)，故而要使只要要求拒絕域?yàn)樗?，假設(shè)H0的拒絕域?yàn)槔?

某種零件的長度X服從正態(tài)分布N(,2)

，按規(guī)定其方差不得超過0.016?，F(xiàn)從一批這種零件中抽取25件測量其長度，計(jì)算得樣本方差為0.025。問在顯著性水平

=0.05下，這批零件是否合格?解:

拒絕域?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，查表得，20.95(24)=36.415,由樣本值計(jì)算故拒絕原假設(shè)H0，認(rèn)為這批零件長度的方差顯著大于規(guī)定方差，零件不合格。(3)關(guān)于方差的假設(shè)檢驗(yàn)，未知利用統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造拒絕域且控制第一類錯(cuò)誤，我們看H0成立時(shí)，相關(guān)事件的概率當(dāng)H0成立時(shí)，控制第一類錯(cuò)誤，由于所以當(dāng)H0成立時(shí)，故而要使只要要求拒絕域?yàn)樗裕僭O(shè)H0的拒絕域?yàn)?/p>

兩正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

設(shè)總體X~，X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本，樣本均值為，樣本方差為

設(shè)總體Y~，Y1,Y2,…,Ym為來自總體Y的樣本，樣本均值為，樣本方差為X與Y獨(dú)立。1.關(guān)于均值差的假設(shè)檢驗(yàn)，與已知(1)從12的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)出發(fā)，確定拒絕域的形式并控制第一類錯(cuò)誤，(1)由于當(dāng)H0成立時(shí)，所以并控制第一類錯(cuò)誤，由于所以拒絕域?yàn)榈葍r(jià)地，該拒絕域可寫為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量例7

設(shè)甲、乙兩廠生產(chǎn)同樣的燈泡，其壽命

X

和Y

分別服從正態(tài)分布N(1,12)

和N(2,22)。已知它們壽命的標(biāo)準(zhǔn)差分別為84和96小時(shí)。現(xiàn)從兩廠生產(chǎn)的燈泡中各取60只，測得甲廠燈泡的平均壽命為1295小時(shí)，乙廠燈泡的平均壽命為1230小時(shí)。問能否認(rèn)為兩廠生產(chǎn)的燈泡壽命無顯著差異(=0.05下)?解:

設(shè)

當(dāng)H0成立時(shí)，拒絕域?yàn)椴楸淼茫瑄0.975=1.96,由樣本值計(jì)算故拒絕原假設(shè)H0，認(rèn)為兩廠燈泡的壽命有顯著差異利用統(tǒng)計(jì)量并控制第一類錯(cuò)誤，(2)確定拒絕域的形式當(dāng)H0成立時(shí)，控制第一類錯(cuò)誤，且所以當(dāng)H0成立時(shí)，故而要使只要要求所以拒絕域?yàn)槔媒y(tǒng)計(jì)量并控制第一類錯(cuò)誤，(3)確定拒絕域的形式當(dāng)H0成立時(shí)，控制第一類錯(cuò)誤，且所以當(dāng)H0成立時(shí)，故而要使只要要求所以拒絕域?yàn)?/p>

兩正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

設(shè)總體X~，X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本，樣本均值為，樣本方差為

設(shè)總體Y~，Y1,Y2,…,Ym為來自總體Y的樣本，樣本均值為，樣本方差為X與Y獨(dú)立。2.關(guān)于均值差的假設(shè)檢驗(yàn)，=未知2.關(guān)于均值差的假設(shè)檢驗(yàn)，=未知(1)

從12的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)出發(fā)，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量由此確定拒絕域的形式控制第一類錯(cuò)誤，當(dāng)H0成立時(shí)，所以，要使可得，由此，拒絕域的具體形式為例8

設(shè)某物質(zhì)在處理前與處理后分別抽樣分析其含脂率如下：處理前：0.19,0.18,0.21,0.30,0.41,0.12,0.27處理后：0.15,0.13,0.07,0.24,0.19,0.06,0.08,0.12假定處理前后的含脂率都服從正態(tài)分布，且方差相同。問處理前后的含脂率的平均值是否有無顯著變化(=0.05下)?解:

設(shè)

拒絕域?yàn)椴楸淼茫瑃0.975(13)=2.1604,由樣本值計(jì)算故拒絕原假設(shè)H0，認(rèn)為處理前后的含脂率有顯著差異。(2)拒絕域?yàn)?3)拒絕域?yàn)?.成對數(shù)據(jù)下均值差的假設(shè)檢驗(yàn)

在實(shí)際中，有些數(shù)據(jù)是天然相關(guān)成對的。為了需要，有時(shí)也設(shè)計(jì)試驗(yàn)使之成為相關(guān)成對的。這時(shí)兩總體均值差的檢驗(yàn)，可以按下面例子中的方法進(jìn)行。例9

為了鑒別甲、乙兩種橡膠機(jī)用輪胎的耐磨性，設(shè)計(jì)配對試驗(yàn)：在甲、乙兩種輪胎中各任取8個(gè)，任取8架飛機(jī)，在每架飛機(jī)的左翼和右翼下，分別裝上一個(gè)甲種輪胎和乙種輪胎。經(jīng)過一段時(shí)間飛行，測得8對輪胎的磨耗量如下表：飛機(jī)：12345678甲機(jī)：4900,5220,5500,6020,6340,7660,8650,4870乙機(jī)：4930,4900,5140,5700,6110,6880,7930,5010差別：-30320360320230780720-140試問甲、乙兩種輪胎的耐磨性有無顯著差異(=0.05下)?解：

用X,Y分別表示甲、乙兩批輪胎的磨耗量，(xi,yi)，i=1,…,8，表示二維總體(X,Y)的樣本觀測值。令Z=X-Y。從上面的數(shù)據(jù)表中，我們得到Z

對應(yīng)的樣本觀測值zi=xi-yi，i=1,…,8。如果

X~N(1,12),Y~N(2,22)，則Z~N(1-2,12+22)。記=1-2,

2=12+22，有Z~N(,)。若甲、乙兩批輪胎的耐磨性無差異，則應(yīng)有=0。因此問題歸結(jié)為檢驗(yàn)假設(shè)

H0:=0;H1:0這是單個(gè)正態(tài)總體均值（方差未知）的假設(shè)檢驗(yàn)。Z~N(,)。

H0:=0=0;H1:0=0檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椴楸淼?，t0.975(7)=2.365,由樣本值計(jì)算故拒絕H0，認(rèn)為兩批輪胎的耐磨性有顯著差異。

兩正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

設(shè)總體X~，X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本，樣本均值為，樣本方差為

設(shè)總體Y~，Y1,Y2,…,Ym為來自總體Y的樣本，樣本均值為，樣本方差為X與Y獨(dú)立。3.關(guān)于方差比的假設(shè)檢驗(yàn)，未知與依據(jù)12/22

的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)，確定拒絕域的形式并控制第一類錯(cuò)誤，(1)由于當(dāng)H0成立時(shí)，并控制第一類錯(cuò)誤，由于按照控制第一類錯(cuò)誤的原則，為了計(jì)算方便，取所以拒絕域?yàn)槔?

為比較兩臺(tái)自動(dòng)機(jī)床的精度，分別取容量為10和8的兩個(gè)樣本，測量某個(gè)指標(biāo)的尺寸(假定服從正態(tài)分布)，得到下列結(jié)果：在

=0.1時(shí)，問這兩臺(tái)機(jī)床是否有同樣的精度?車床甲：1.08,1.10,1.12,1.14,1.15,1.25,1.36,1.38,1.40,1.42車床乙：1.11,1.12,1.18,1.22,1.33,1.35,1.36,1.38解:設(shè)兩臺(tái)自動(dòng)機(jī)床的方差分別為12和22

，則檢驗(yàn)H0成立時(shí)拒絕域?yàn)橛蓸颖局悼捎?jì)算得F=1.51查表得由于0.304<1.51<3.68，故接受H0認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)床是否有同樣的精度。利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，確定拒絕域的形式并控制第一類錯(cuò)誤，(2)由于當(dāng)H0成立時(shí)，當(dāng)H0成立時(shí)，控制第一類錯(cuò)誤，且所以當(dāng)H0成立時(shí)，故而要使只要要求所以拒絕域?yàn)槔脵z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，確定拒絕域的形式并控制第一類錯(cuò)誤，(3)由于當(dāng)H0成立時(shí)，當(dāng)H0成立時(shí)，控制第一類錯(cuò)誤，且所以當(dāng)H0成立時(shí)，故而要使只要要求所以拒絕域?yàn)榉钦龖B(tài)總體參數(shù)檢驗(yàn)指數(shù)分布參數(shù)的檢驗(yàn)

設(shè)總體X~Exp()，密度函數(shù)為設(shè)X1,…,Xn為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，現(xiàn)要檢驗(yàn)以下假設(shè)：(1)H0:

0;H1:

<0(2)H0:

0;H1:

>0(3)H0:

=0;H1:

0關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)問題(1)，由于是1/的無偏估計(jì)

當(dāng)H0成立時(shí)，應(yīng)該取比較小的值，故拒絕域?yàn)?/p>

下面考慮犯第一類錯(cuò)誤的概率，由于在H0成立時(shí)

H0:

0;H1:

<0,于是有

表示2(2n)的分布函數(shù)

因此，要使

只需

即

于是

問題（1）的水平為的檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?/p>

均勻分布參數(shù)的檢驗(yàn)

設(shè)X1,…,Xn為來自均勻分布U(0,)的簡單隨機(jī)樣本，>0為未知參數(shù)，0(0>0)

為給定的常數(shù)，考慮下列檢驗(yàn)問題(1)H0:

0;H1:

>

0(2)H0:

0;H1:

<

0(3)H0:

=

0;H1:

0關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)問題(1)，由于X(n)是

的極大似然估計(jì)，當(dāng)H0成立時(shí)，X(n)

的取值應(yīng)較小，因此，一個(gè)合理的拒絕域?yàn)椋簕X(n)

K}。下面考慮犯第一類錯(cuò)誤的概率，由于在H0成立時(shí)

所以，要使總體U(0,),拒絕域?yàn)椋簕X(n)

K}只需即于是H0:

0如此得問題（1）的水平為的檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?/p>

拒絕域?yàn)椋簕X(n)

K},總體比例的假設(shè)檢驗(yàn)

例10.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品長期以來不合格品率不超過0.01。某天開工后，為檢驗(yàn)生產(chǎn)過程是否穩(wěn)定，隨機(jī)抽檢了100件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)其中有2件不合格品，試判斷該廠生產(chǎn)是否穩(wěn)定。

設(shè)總體X

為抽檢一件產(chǎn)品不合格品的件數(shù)，則

X

~B(1,p),0<p<1。當(dāng)生產(chǎn)穩(wěn)定時(shí)，p0.01，當(dāng)生產(chǎn)不穩(wěn)定時(shí)，p>0.01。于是判斷該天工廠生產(chǎn)是否穩(wěn)定可轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)如下假設(shè)

H0:pp0=0.01，H1:p>p0=0.01

檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量可以從未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)出發(fā)去尋找，在該例中一個(gè)常用的p的點(diǎn)估計(jì)為我們用其作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)n確定時(shí)，也可以用作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)H0為真時(shí)，不應(yīng)過大，即T不會(huì)過大；當(dāng)H0不真時(shí)，較大，即T會(huì)取較大的值。由此，拒絕域形式如下：其中c是臨界值。為了在給定顯著水平后確定臨界值c，先研究T

的分布。由于T是n次獨(dú)立試驗(yàn)下，不合格的件數(shù)；而一次試驗(yàn)下不合格的概率為p，根據(jù)二項(xiàng)分布的意義，有T~B(n,p).于是犯兩類錯(cuò)誤的概率分別為拒絕域T~B(n,p)，于是犯兩類錯(cuò)誤的概率分別為

下表列出若干p值下，不同c對應(yīng)的(p)與(p)的值.c123456(0.005)(0.01)(0.04)(0.08)0.3940.0900.0140.0020.00020.000010.6340.2640.0790.0180.0030.0050.0170.0870.2320.4290.6290.7880.00020.0020.0110.0370.0900.180c123456(0.005)(0.01)(0.04)(0.08)0.3940.0900.0140.0020.00020.000010.6340.2640.0790.0180.0030.0050.0170.0870.2320.4290.6290.7880.00020.0020.0110.0370.0900.180

由這幾個(gè)值可見，對固定的c，在pp0=0.01時(shí)，(p)隨p

的增大而增大；在p>p0=0.01時(shí)，(p)的值隨p

的增大而減小。所以在pp0=0.01值時(shí)，可選擇p=p0=0.01時(shí)滿足(p0)的c即可；又從上表可見，對固定的p>p0=0.01，隨著c的增大，(p)也將增大。因此應(yīng)該選取使(p0)時(shí)對應(yīng)的最小c值，以控制第二類錯(cuò)誤的概率。c123456(0.005)(0.01)(0.04)(0.08)0.3940.0900.0140.0020.00020.000010.6340.2640.0790.0180.0030.0050.0170.0870.2320.4290.6290.7880.00020.0020.0110.0370.0900.180綜上，在=0.1時(shí)，可取臨界值

c=3，從而拒絕域?yàn)樵诒纠校蓸颖居^測值知不合格品數(shù)T=2，故接受H0,認(rèn)為該天生產(chǎn)穩(wěn)定．(p0)時(shí)對應(yīng)的最小c值例10所給出的檢驗(yàn)實(shí)際上是關(guān)于兩點(diǎn)分布總體中參數(shù)p的檢驗(yàn)問題．這里我們作一般陳述．設(shè)樣本X1,…,Xn來自兩點(diǎn)分布B(1,p)．關(guān)于參數(shù)p的檢驗(yàn)問題也有三種類型：在例10中已指出可用統(tǒng)計(jì)量作檢驗(yàn)．針對上述三個(gè)檢驗(yàn)問題拒絕域應(yīng)分別取如下形式：為獲得水平為的檢驗(yàn)，就需要定出各自拒絕域中的臨界值，下面給出幾種決定臨界值的方法．

1．利用二項(xiàng)分布來確定臨界值

例10已指出，對檢驗(yàn)問題而言，犯第一類錯(cuò)誤的概率(p)=P(Tc)是p的增函數(shù)，因而只要求(p0)，且拒絕域不能再擴(kuò)大。由于當(dāng)p=p0時(shí)統(tǒng)計(jì)量T~B(n,p0),故c是滿足下式的最小整數(shù)：同理可得其他檢驗(yàn)問題的拒絕域，結(jié)果如下：對檢驗(yàn)問題拒絕域?yàn)閃={Tc}，犯第一類錯(cuò)誤的概率(p)=P(Tc)是p的減函數(shù)，因而要求(p0)。另外，隨著c的增大，第二類錯(cuò)誤(p)=P(T>c)將減小。由于當(dāng)p=p0時(shí)統(tǒng)計(jì)量T~B(n,p0),故c是滿足下式的最大整數(shù)：同理可得其他檢驗(yàn)問題的拒絕域，結(jié)果如下：對檢驗(yàn)問題拒絕域?yàn)閃={Tc1或Tc2}，犯第一類錯(cuò)誤的概率為(p)=P(Tc1)+P(Tc2)，若要求且犯第二類錯(cuò)誤(p)=P(c1<T<c2)盡可能地小，則要求c1越大越好，c2越小越好，于是c1是滿足(*1)式的最大整數(shù),c2是滿足(*2)式的最小整數(shù)。

2．利用F分布來確定臨界值

根據(jù)二項(xiàng)分布與F分布之間的關(guān)系，有等式右邊是自由度為v1,v2的F分布的分布函數(shù)在

的值，其中v1=2c,v2=2(n-c+1)。對檢驗(yàn)問題H0:pp0,H1:p>p0,為了求使成立的最小c值，只需求使成立的最小c值。由于F分布的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，且滿足成立的x=F(v1,v2).所以c為滿足即成立的最小c值成立的最小c值同理可得其他檢驗(yàn)問題的拒絕域，結(jié)果如下：對檢驗(yàn)問題c是滿足式的最大整數(shù)，其中v1=2(c+1),v2=2(n-c)。也即是滿足的最大整數(shù)。由于所以c為滿足滿足的最大整數(shù)。的最大整數(shù)。對檢驗(yàn)問題拒絕域W={Tc1或Tc2}中c1是滿足(*1)式的最大整數(shù),c2是滿足(*2)式的最小整數(shù)其中v1=2c2,v2=2(n-c2+1)。其中v1=2(c1+1),v2=2(n-c1)；其中v1=2c2,v2=2(n-c2+1)。其中v1=2(c1+1),v2=2(n-c1)；其中v1=2c2,v2=2(n-c2+1)。其中v1=2(c1+1),v2=2(n-c1)；于是，拒絕域W={Tc1或Tc2}中c1,c2分別是滿足下兩式式的最大整數(shù)和最小整數(shù)其中v1=2(c1+1),v2=2(n-c1)；其中v1=2c2,v2=2(n-c2+1)。

3．大樣本情況下用正態(tài)分布來確定臨界值

在大樣本情況下，當(dāng)T~B(n,p)時(shí)，利用中心極限定理對于檢驗(yàn)問題，當(dāng)p=p0時(shí)統(tǒng)計(jì)量T~B(n,p0),故滿足下式的最小整數(shù)c

：T~B(n,p0)，等價(jià)于滿足下式的最小整數(shù)c

：滿足的最小整數(shù)c

也等價(jià)于滿足也等價(jià)于滿足下式的最小整數(shù)c

：拒絕域W={Tc},

在將二項(xiàng)分布進(jìn)行連續(xù)性修正后，現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)也將c修正為的最小整數(shù)的最小整數(shù)在大樣本情況下，當(dāng)T~B(n,p)時(shí)，利用中心極限定理對于檢驗(yàn)問題，當(dāng)p=p0時(shí)統(tǒng)計(jì)量T~B(n,p0),故滿足下式的最大整數(shù)c

：T~B(n,p0)，等價(jià)于滿足下式的最大整數(shù)c

：滿足的最大整數(shù)c

也等價(jià)于滿足的最大整數(shù)c

。拒絕域W={Tc},

在將二項(xiàng)分布進(jìn)行連續(xù)性修正后，現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)也將c修正為的最大整數(shù)的最大整數(shù)在大樣本情況下，當(dāng)T~B(n,p)時(shí)，利用中心極限定理對于檢驗(yàn)問題，當(dāng)p=p0時(shí)統(tǒng)計(jì)量T~B(n,p0),故滿足下(*1)式的最大整數(shù)c1和滿足滿足(*2)式的最小整數(shù)c2

：T~B(n,p0)，等價(jià)于滿足下式的最大整數(shù)c1

：滿足的最大整數(shù)c

1也等價(jià)于滿足的最大整數(shù)c1

T~B(n,p0)，等價(jià)于滿足下式的最小整數(shù)c2

：滿足的最小整數(shù)c2也等價(jià)于滿足的最小整數(shù)c2拒絕域W={Tc1

或Tc2}現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)也將c1和c2修正為的最小整數(shù)的最大整數(shù)的最大整數(shù)的最小整數(shù)例11.

某廠產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率一直保持在40%左右，近期技監(jiān)部門來廠抽查，共抽查了12件產(chǎn)品，其中優(yōu)質(zhì)品5件，在=0.05水平上能否認(rèn)為其優(yōu)質(zhì)品率仍保持在40%？解.

以X記檢查一個(gè)產(chǎn)品時(shí)優(yōu)質(zhì)品的個(gè)數(shù)，則X~B(1,p)。檢驗(yàn)問題為：拒絕域?yàn)閃={Tc1

或Tc2}，其中，c1與c2應(yīng)滿足：使成立的最大整數(shù)使成立的最小整數(shù)現(xiàn)用二項(xiàng)分布來求臨界值，這里T~B(12,0.4)，此時(shí)T取不同值的概率如下現(xiàn)取=0.05,/2=0.025，可得P(T1)=0.0196,P(T2)=0.0835,所以c1=1。又P(T8)=0.0573,P(T9)=0.0153,所以c2=9.使成立的最大整數(shù)使成立的最小整數(shù)binocdf(1,12,0.4)=0.0196,binocdf(2,12,0.4)=0.08341-binocdf(7,12,0.4)=0.0573,1-binocdf(8,1