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文檔簡介

§6.2相似矩陣一、相似矩陣的概念定義1設(shè)A，B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P

使則稱B相似于A對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算稱為對(duì)A

進(jìn)行相似變換，可逆矩陣P

稱為把矩陣A變成矩陣B

的相似變換矩陣。也稱過渡矩陣?；蚍Q矩陣A與矩陣B

相似，記作B

～A證明定理1若n階方陣A與B相似，則A、B有相同的特征多項(xiàng)式與特征值。二、相似矩陣的性質(zhì)注意：A

～B時(shí)，A，B屬于同一特征值的特征向量未必相同。其關(guān)系如下：當(dāng)A的屬于特征值的特征向量為x時(shí)，B的屬于特征值的特征向量為證明則對(duì)上式兩邊右乘P－1，得所以B的屬于特征值的特征向量為（其中P為從A到B的過渡矩陣）A

～B推論

若階方陣A與對(duì)角陣把方陣A通過相似變換化為對(duì)角矩陣的過程稱為相似對(duì)角化。矩陣的相似對(duì)角化的應(yīng)用之一：若則證明三、矩陣的相似對(duì)角化必要性充分性設(shè)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量則有相應(yīng)的特征值，而且滿足由于P可逆，所以P的n個(gè)列向量即A的n個(gè)特征向量線性無關(guān)。從而故方陣A與對(duì)角矩陣相似。記，則矩陣X一定可逆，且滿足關(guān)系式即定理3方陣A的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。此定理也適用于如下情況設(shè)λ1對(duì)應(yīng)m個(gè)線性無關(guān)的特征向量x1，x2，…，xm；λ2對(duì)應(yīng)l個(gè)線性無關(guān)的特征向量y1，y2，…，yl，則向量組x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yl仍線性無關(guān)。證明略如果階矩陣的個(gè)特征值互不相等，則與對(duì)角陣相似．推論說明如果的特征方程有重根，此時(shí)不一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣不一定能對(duì)角化，但如果能找到個(gè)線性無關(guān)的特征向量，還是能對(duì)角化．例1

判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？解解之得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系故不能化為對(duì)角矩陣.A能否對(duì)角化？若能對(duì)角化，則求出可逆矩陣P，使P-1AP為對(duì)角矩陣。

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