經(jīng)典控制理論-第二章2

傳遞函數(shù)三要素：線性定常系統(tǒng)零初始條件(輸入、輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)均為零）輸出與輸入的拉氏變換之比（復(fù)域模型）

式中：=

有可能相等，在數(shù)學(xué)上分子分母可直接相消，但工程中涉及到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，處理時(shí)要慎重。

為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。為系統(tǒng)的特征根從傳遞函數(shù)的這種分解方式可以看出，線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總可以分解成如下7種環(huán)節(jié)的組合（乘積）

特點(diǎn)：最高不超過(guò)二階，上面的m1表示系統(tǒng)有m1個(gè)零的零點(diǎn)

n1表示系統(tǒng)有n1個(gè)零的極點(diǎn)。

m2表示系統(tǒng)有

m2個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)。n2表示系統(tǒng)有n2個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)。

m3表示系統(tǒng)有m3對(duì)復(fù)數(shù)零點(diǎn)

n3表示系統(tǒng)有n3對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)。常用典型元部件的傳遞函數(shù)1電位器電位器是一種把線位移或角位移變換為電壓量的裝置。在控制系統(tǒng)中，單個(gè)電位器用作為信號(hào)變換裝置，如圖(a)所示，一對(duì)電位器可組成誤差檢測(cè)器，如圖(b)所示?？蛰d時(shí)，單個(gè)電位器的電刷角位移θ(t)與輸出電壓u(t)的關(guān)系曲線如圖(c)所示。圖中階梯形狀是由繞線線徑產(chǎn)生的誤差，理論分析時(shí)可用直線近似。由圖可得輸出電壓為

式中K1=E/θmax，是電刷單位角位移對(duì)應(yīng)的輸出電壓，稱電位器傳遞系數(shù)，其中E是電位器電源電壓，θmax是電位器最大工作角。對(duì)式(2-43)求拉氏變換，并令U(s)=L[u(t)]，Θ(s)=L[θ(t)]，可求得電位器傳遞函數(shù)為式表明，電位器的傳遞函數(shù)是一個(gè)常值，它取決于電源電壓E和電位器最大工作角度θmax。電位器可用圖

(d)的方框圖表示。

用一對(duì)相同的電位器組成誤差檢測(cè)器時(shí)，其輸出電壓為式中，K1是單個(gè)電位器的傳遞系數(shù)；Δθ(t)=θ1(t)-θ2(t)是兩個(gè)電位器電刷角位移之差，稱為誤差角。因此，以誤差角為輸入量時(shí)，誤差檢測(cè)器的傳遞函數(shù)與單個(gè)電位器傳遞函數(shù)相同，即為

在使用電位器時(shí)要注意負(fù)載效應(yīng)。所謂負(fù)載效應(yīng)是指在電位器輸出端接有負(fù)載時(shí)所產(chǎn)生的影響。下圖表示電位器輸出端接有負(fù)載電阻時(shí)的電路圖，設(shè)電位器電阻是Rp，可求得電位器輸出電壓：

負(fù)載效應(yīng)示意圖可見，由于負(fù)載電阻Rl的影響，輸出電壓u(t)與電刷角位移θ(t)不再保持線性關(guān)系，因而也求不出電位器的傳遞函數(shù)。但是，如果負(fù)載電阻Rl很大，例如Rl≥l0Rp，時(shí)，可以近似得到u(t)≈Eθ(t)/θmax=K1θ(t)。因此，當(dāng)電位器接負(fù)載時(shí)，只是在負(fù)載阻抗足夠大時(shí)，才能將電位器視為線性元件，其輸出電壓與電刷角位移之間才有線性關(guān)系。

2：齒輪系

一般地在伺服電動(dòng)機(jī)與負(fù)載之間，往往通過(guò)齒輪系進(jìn)行運(yùn)動(dòng)傳遞，其目的有二：對(duì)負(fù)載提供必要地加速力矩，減速和增大力矩；調(diào)節(jié)精度高。

轉(zhuǎn)速比（>1）

傳遞函數(shù)

3調(diào)制解調(diào)器

控制系統(tǒng)中交、直流轉(zhuǎn)換

調(diào)制器

（直

交）

解調(diào)器

（交

直）

包絡(luò)

G(s)=1

分析或設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，數(shù)學(xué)模型可以不考慮調(diào)制、解調(diào)器地動(dòng)態(tài)特性。

4機(jī)械位移系統(tǒng)（前一節(jié)例1）直接由得到的微分方程模型，在零初始條件下，對(duì)兩端求拉氏變換有：整理得該系統(tǒng)得傳遞函數(shù)：5RLC網(wǎng)絡(luò)（前一節(jié)例2）

由得到得微分方程模型，在零初始條件下，對(duì)兩端求拉氏變換有：整理得該系統(tǒng)得傳遞函數(shù)：

典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)任何一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的。典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種：1比例環(huán)節(jié)

式中K-增益特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲。實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻（電位器），感應(yīng)式變送器等。2慣性環(huán)節(jié)

式中T-時(shí)間常數(shù)特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩。實(shí)例：RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。3微分環(huán)節(jié)理想微分

一階微分

二階微分

特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。實(shí)例：測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。4積分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實(shí)例：電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。5振蕩環(huán)節(jié)

式中ξ－阻尼比

-自然振蕩角頻率（無(wú)阻尼振蕩角頻率）

特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。式中－延遲時(shí)間特點(diǎn)：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時(shí)間間隔。6純時(shí)間延時(shí)環(huán)節(jié)2-3

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖

一、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：描述系統(tǒng)各元部件之間的信號(hào)傳遞關(guān)系的一種圖形化表示，特別對(duì)于復(fù)雜控制系統(tǒng)的信號(hào)傳遞過(guò)程給出了一種直觀的描述。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖一般由四個(gè)基本單元組成（1）信號(hào)線；（2）引出點(diǎn)（或測(cè)量點(diǎn)）；（3）比較點(diǎn)（或信號(hào)綜合點(diǎn)）表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行疊加；（4）方框（或環(huán)節(jié)）表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換，方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟：

1）首先按照系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和工作原理，分解出各環(huán)節(jié)并寫出它的傳遞函數(shù)。

2）繪出各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方框圖，方框圖中標(biāo)明它的傳遞函數(shù)，并以箭頭和字母符號(hào)表明其輸入量和輸出量，按照信號(hào)的傳遞方向把各方框圖依次聯(lián)接起來(lái)，就構(gòu)成了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

例1如圖無(wú)源網(wǎng)絡(luò)試?yán)L制無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)解

可將無(wú)源網(wǎng)絡(luò)視為一個(gè)系統(tǒng)，組成網(wǎng)絡(luò)的元件就對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的元部件。設(shè)電路中各變量如圖中所示，應(yīng)用復(fù)阻抗概念，根據(jù)基爾霍夫定律寫出以下方程：

按照上述方程可分別繪制相應(yīng)元件的方框圖如下圖

(a)～(d)所示。然后，用信號(hào)線按信號(hào)流向依次將各方框連接起來(lái)，便得到無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖(e)。

RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

特點(diǎn)：

清晰的表現(xiàn)了系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)；與具體器件本身的物理屬性無(wú)關(guān)，純數(shù)學(xué)關(guān)系；可進(jìn)行各物理量之間數(shù)學(xué)關(guān)系的計(jì)算；結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)只能沿箭頭方向流動(dòng)。（結(jié)構(gòu)圖的單向性）

二、系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的變換和簡(jiǎn)化

任何復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。方框結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化是通過(guò)移動(dòng)引出點(diǎn)、比較點(diǎn)，交換比較點(diǎn)，進(jìn)行方框運(yùn)算后，將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。等效變換的原則：變換前后的變量之間關(guān)系保持不變1、典型連接的等效傳遞函數(shù)（1）串聯(lián)等效（2）并聯(lián)（3）反饋2、相加點(diǎn)及分支點(diǎn)的換位運(yùn)算

原則：移動(dòng)前后保持信號(hào)的等效性（1）相加點(diǎn)從單元的輸入端移到輸出端，如圖2-5

圖2-5相加點(diǎn)后移變位運(yùn)算（2）相加點(diǎn)從單元的輸出端移到輸入端

圖2-6相加點(diǎn)前移變位運(yùn)算（3）分支點(diǎn)從單元的輸入端移到輸出端圖2-7分支點(diǎn)后移的變位運(yùn)算（4）分支點(diǎn)從單元的輸出端移到輸入端

圖2-8分支點(diǎn)前移的變位運(yùn)算

結(jié)構(gòu)圖三種基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串聯(lián)并聯(lián)反饋結(jié)構(gòu)圖等效變換方法1三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式2相鄰綜合點(diǎn)可互換位置3相鄰引出點(diǎn)可互換位置注意事項(xiàng)：1不是典型結(jié)構(gòu)不可直接用公式2引出點(diǎn)綜合點(diǎn)相鄰，不可互換位置引出點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H1G2H1G1G3綜合點(diǎn)移動(dòng)向同類移動(dòng)G1G2G3H1G1G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1

信號(hào)流圖

信號(hào)流圖是一種（Mason)用圖示法描述線性代數(shù)方程組的方法。由節(jié)點(diǎn)和支路組成的信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。節(jié)點(diǎn)代表方程中的變量，以小圓圈表示，支路是定向線段，表示增益和因果關(guān)系，相當(dāng)于乘法器。一、信號(hào)流圖中的術(shù)語(yǔ)1.源節(jié)點(diǎn)。只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)為源點(diǎn)或稱為輸入節(jié)點(diǎn)。2.阱節(jié)點(diǎn)。只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)或稱為輸出節(jié)點(diǎn)。3.混合節(jié)點(diǎn)。既有輸入支點(diǎn)也有輸出支點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)稱為混合節(jié)點(diǎn)4.前向通路。信號(hào)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時(shí)，與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通路稱為前向通路。

（6）回路。如果通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，并且與任何節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的稱為閉通路或稱為回路。（7）回路增益?；芈分懈髦穫鬏?shù)某朔e稱為回路增益（或傳輸）（8）前向通路總增益。是指該通路的各傳輸乘積。（9）不接觸回路。如果一信號(hào)流圖有多個(gè)回路，各回路之間沒有任何公共節(jié)點(diǎn)，就稱為不接觸回路，反之稱為接觸回路。

二、信號(hào)流圖的繪制

例說(shuō)明繪制信號(hào)流圖的過(guò)程。一系統(tǒng)的方程組為：

首先按照節(jié)點(diǎn)的次序繪出各節(jié)點(diǎn)，然后根據(jù)各方程式繪制各支路。當(dāng)所有方程式的信號(hào)流圖繪制完畢后，即得系統(tǒng)的信號(hào)流圖，如圖2-12（a）。該系統(tǒng)相應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-12（b）所示圖2-12系統(tǒng)信號(hào)流圖和結(jié)構(gòu)圖典型信號(hào)流圖

g

UiaX1bX2cX3dX4UO

fheX1=aUi+fX2X2=bX1+gX3X3=cX2+hX4X4=dX3+eUiU0=X4經(jīng)整理：

X1-fX2=aUibX1-X2+gX3=0cX2–X3+hX4=0-dX3+X4

=eUi

1-f00△=b-1g00c-1h00-d1

=1-dh-gc-fb+fbdh

1-f0aUi△4=b-1g00c-1000-d

eUi

=abcdUi+eUi(1-gc-bf)X4=U0=△4/△

abcd+e(1-gc-bf)U0/Ui=X4/Ui=1-dh-gc-fb+fbdhPk—從R(s)到C(s)的第k條前向通路傳遞函數(shù)梅遜公式介紹C(s)R(s)=∑Pk△k△:△稱為系統(tǒng)特征式△=1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…其中:—所有單獨(dú)回路增益之和∑La∑LbLc—所有兩兩互不接觸回路增益乘積之和∑LdLeLf—所有三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和△k稱為第k條前向通路的余子式求法:去掉第k條前向通路后所求的△梅遜公式例R-CR(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2R(s)[]梅遜公式求C(s)(1-G1H1)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2P1=1△1=1+G2H2(1+G2H2)P1△1=?+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅遜公式求E(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)P2=-G3G2H3△2=1P2△2=?(-G3G2H3)R(s)[]E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)△2=1P2△2=?(-G3G2H3)R(s)[]N(s)P1=–G2H3△1=1(–G2H3)+N(s)P2=-G3G2H3+四個(gè)單獨(dú)回路，一組兩個(gè)回路互不接觸e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1––––afbgchehgf++afchabcded(1–bg)前向通路兩條信號(hào)流圖三、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

開環(huán)傳遞函數(shù)：反饋引入點(diǎn)斷開時(shí)，輸入端對(duì)應(yīng)比較器輸出E(s)到輸入端對(duì)應(yīng)的比較器的反饋信號(hào)B(s)之間所有傳遞函數(shù)的乘積，記為GK(s),GK(s)=G(s)H(s)前向通道傳遞函數(shù)：輸入端對(duì)應(yīng)比較器輸出E(s)到輸出端輸出C(s)所有傳遞函數(shù)的乘積，記為G(s)

反饋通道傳遞函數(shù)：輸出C(s)到輸入端比較器的反饋信號(hào)B(s)之間的所有傳遞函數(shù)之乘積，記為H(s)

四、系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

在初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)的輸出量與輸入量的拉氏變換之比稱為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。閉環(huán)傳遞函數(shù)是分析系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性