計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)2.2

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)可以等效地看成線性離散系統(tǒng)，其性能分析主要采用線性離散系統(tǒng)的相關(guān)理論，類似于連續(xù)系統(tǒng)的分析方法。本章主要在對計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的基礎(chǔ)上，從時(shí)域特性來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。2.2線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述2.2.1線性離散系統(tǒng)的基本概念1.離散系統(tǒng)的定義離散系統(tǒng)一般是指輸入與輸出均為離散信號(hào)的物理系統(tǒng)。T[·]x(k)y(k)y(k)=T[x(k)]2.2.1線性離散系統(tǒng)的基本概念2.線性離散系統(tǒng)如果離散系統(tǒng)滿足：（1）線性性：輸入到輸出的變換滿足疊加定理。y(k)=ay1(k)+by2(k)y(k)=T[x(k)]=aT[x1(k)]+bT[x2(k)]y1(k)=T[x1(k)]，y2(k)=T[x2(k)]x(k)=ax1(k)+bx2(k)a，b為任意常數(shù)2.2.1線性離散系統(tǒng)的基本概念（2）時(shí)不變性：輸入到輸出的變換不隨時(shí)間的變化而變化。y(k)=T[x(k)]y(k-n)=T[x(k-n)]n=0,±1,±2...稱這樣的離散系統(tǒng)為線性離散系統(tǒng)，線性離散系統(tǒng)可以通過差分方程進(jìn)行數(shù)學(xué)描述。1.差分的定義2.2.2線性常系數(shù)差分方程差分：離散函數(shù)兩數(shù)之差f(k)tk+1k-1k▽f(k)0…△f(k)一階前向差分：△f(k)=f(k+1)–f(k)二階前向差分：

△2f(k)=△[△f(k)]=△[f(k+1)-f(k)]=△f(k+1)-△f(k)=f(k+2)-2f(k+1)+f(k)一階后向差分：▽f(k)=f(k)-f(k-1)二階后向差分：=f(k)-2f(k-1)+f(k-2)▽2f(k)=▽[▽f(k)]=▽[f(k)-f(k-1)]=▽f(k)-▽f(k-1)同樣方法可推出n階差分的表達(dá)式2.差分方程差分方程:確定時(shí)間序列的方程c(k)c(k+1)–c(k)dc(t)dt≈

c(k+2)–2c(k+1)+c(k)

d2c(t)dt2≈

dc(t)dt+bc(t)=Kr(t)+ad2c(t)dt2微分方程轉(zhuǎn)換成差分方程c(t)r(k)r(t)[c(k+2)-2c(k+1)+c(k)]+a[c(k+1)-c(k)]+bc(k)=Kr(k)c(k+2)+(a-2)c(k+1)+(1-a+b)c(k)=Kr(k)c(k+2)+a1(k+1)+a2c(k)=Kr(k)c(k+n)+a1c(k+n–1)+···+an–1c(k+1)+anc(k)=b0r(k+m)+b1r(k+m–1)+···+bm–1r(k+1)+bmr(k)n階前向差分方程表達(dá)式：2.2.2線性常系數(shù)差分方程c(k)+a1c(k–1)+···+an–1c(k-n+1)+anc(k-n)=b0r(k)+b1r(k–1)+···+bm–1r(k-m+1)+bmr(k-m)n階后向差分方程表達(dá)式：c(k)–c(k-1)dc(t)dt≈

c(k)–2c(k-1)+c(k-2)

d2c(t)dt2≈

dc(t)dt+bc(t)=Kr(t)+ad2c(t)dt2[c(k)-2c(k-1)+c(k-2)]+a[c(k)-c(k-1)]+bc(k)=Kr(k)c(k-2)+(a-2)c(k-1)+(1+a+b)c(k)=Kr(k)c(k-2)+a1(k-1)+a2c(k)=Kr(k)后向差分2.2.2線性常系數(shù)差分方程3.差分方程的求解例已知差分方程，試求差分方程的解。采用遞推迭代法求解差分方程c(k)-0.5c(k-1)=r(k)，r(k)=1,c(0)=0c(k)=r(k)+0.5c(k-1)k=1,c(1)=r(1)+0.5c(1-1)=1+0.5c(0)=1k=2,c(2)=r(2)+0.5c(2-1)=1+0.5c(1)=1+0.5=1.5k=3,c(3)=r(3)+0.5c(3-1)=1+0.5c(2)=1+0.5*1.5=1.75有沒有其它簡便的方法求解差分方程呢？2.2.2線性常系數(shù)差分方程解序列為：k=0，1，…，9時(shí)，n=10;%定義計(jì)算的點(diǎn)數(shù)c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定義輸入輸出和點(diǎn)數(shù)的初值fori=2:nc(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,′k:o′)%繪輸出響應(yīng)圖，每一點(diǎn)上用o表示MATLAB程序：c=0，1.0000，1.5000，1.7500，1.8750，1.9375，1.9688，1.9844，1.9922，1.9961，……差分方程的解序列表示

2.2.2線性常系數(shù)差分方程采用MATLAB程序求解課堂練習(xí)：遞推迭代法解差分方程輸入信號(hào)初始條件解：r(k)=kk=1,y(1)=-y(0)+r(1)=-2+1=-1k=2,y(2)=-y(1)+r(2)=1+2=3k=3,y(3)=-y(2)+r(3)+2r(1)=-3+3+2=2y(k)+y(k-1)=r(k)+2r(k-2)y(k)=-y(k-1)+r(k)+2r(k-2)k=4,y(4)=-y(3)+r(4)+2r(2)=-2+4+4=62.2.2線性常系數(shù)差分方程所有信號(hào)滿足因果性1.Z變換的定義2.3線性離散系統(tǒng)的Z變換分析法連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換為離散函數(shù)：f*(t

)=+Σ8k=0f(kT

)δ(t–kT)=f

(kT)δ(t–kT)e–stdtΣ8k=0+∫∞

0

F

(s)=f

(t)e–stdt∫∞

0

對離散函數(shù)求拉氏變換F*(s

)=∫∞

0

+Σ8k=0[f(kT

)δ(t–kT)]e–stdtf(kT)e–kTSΣ8k=0+=引入新變量eTsz=則F(z)為f*(t)的Z變換記作F

(z)=Z[f*(t)]f

(kT)z–kF

(z)=Σ8k=0+F*(s)=2.求Z變換的方法(1)級數(shù)求和法根據(jù)定義式展開=f(0)z-0+f(T)z-1+f(2T)z-2+f(3T)z-3+···

f

(kT)z–kF

(z)=Σ8k=0+利用級數(shù)求和法可求得常用函數(shù)的z變換.11–z-1=zz–1=f

(kT)z-k=1+z-1+z-2+z-3+···F

(z)=Σ8k=0+1)單位階躍函數(shù)f(t)=1(t)f(kT)=1(kT)=1=1+e–aTz-1+e–2aTz-2+e–3aTz-3+···zz–e–aT11–e–aTz-1==2)指數(shù)衰減函數(shù)f(t)=e–atf

(kT)z-kF

(z)=Σ8k=0+

f(kT)=e–akT3.3Z變換的概念2.3.1Z變換及其計(jì)算3)單位脈沖函數(shù)f(t)=δ(t)=f

(kT)z-k=1F

(z)Σ8k=0+f(kT)=δ(kT)4)單位斜坡函數(shù)f(t)=t

f(kT)=kT=Tz-1+2Tz-2+3Tz-3+···Tz(z–1

)2Tz-1(1–z-1)2===f

(kT)z-kF

(z)Σ8k=0+5)正弦函數(shù)f(t)=sinωtf(kT)＝

sinωkTe

jωkT–

e–jωkT2j

＝e

jωt-e–jωt

2

j

＝3.3Z變換的概念2.3.1Z變換及其計(jì)算11–e–jωT

z-111–ejωT

z-1–[]12j=F(z)z-1ejωT–z-1e–jωT1–ejωTz-1–e–jωTz-1+z-2[]12j=z-1sinωT1–2(cosωT)z-1+z-2=zsinωTz2–2zcosωT+1=f(kT)=cosωkTz(z–cosωT)z2–2zcosωT+1F(z)=同理：e

jωkT–

e–jωkT2j

＝Z[]12j=e

jωkT–

e–jωkTZ[]3.3Z變換的概念2.3.1Z變換及其計(jì)算

課堂練習(xí)：求多項(xiàng)式函數(shù)的Z變換。

f(k)=ak解：f

(k)z-kF

(z)=Σ8k=0+=1+az-1+a2z-2+a3z-3+···zz–a

11–a

z-1==3.3Z變換的概念2.3.1Z變換及其計(jì)算3.3Z變換的概念F(s)的z變換：部分分式展開法、留數(shù)計(jì)算法。(2)部分分式展開法

（L反變換）

(z變換)(采樣)利用s域中的部分分式展開法設(shè)b0sm+b1sm–1+···+bm

sn+a1sn–1+···+anF

(s)=Σi=1nAis–pi

=pi—極點(diǎn)Ai—待定系數(shù)基于Ais–pi

]=Z[Ai1–epiTz-1得Ai1–epiTz-1F

(z)=Σi=1n2.3.1Z變換及其計(jì)算例求F(s)的z變換F(z)。解：1

s(s+1)F

(s)=1

s(s+1)F

(s)==–1s1s+1z(1–e–T)

(z–1)(z–e–T)=zz–e–Tzz–1–F

(z)=例求F(s)的z變換F(z)。1

s2(s+1)F

(s)=1

s2(s+1)F

(s)==–1s21s+11s+zz–e–Tzz–1+F

(z)=Tz(z–1)2–2.3.1Z變換及其計(jì)算解：解：例求F(s)的z變換F(z)。1(s+2)2(s+1)F

(s)=把F(s)分解成部分分式：F

(s)=A

(s+2)2++Bs+2Cs+1A=[F(s)(s+2)2]s=-2=-1B=dds[F(s)(s+2)2]s=-2=-2C=[F(s)(s+1)]s=-1=2F

(s)=-1

(s+2)2-2s+2+2s+1F

(z)=-Te-2Tz-1(1-e-2Tz-1)2–

2

1-e-2Tz-1+

2

1-e-Tz-12.3.1Z變換及其計(jì)算2.3.1Z變換及其計(jì)算(3)留數(shù)計(jì)算法

若已知F(s)的全部極點(diǎn)si(i=1,2,3,…,n)，則F(s)的z變換，可由以下留數(shù)計(jì)算公式求得：F

(z)=i=1ΣnRes[F(si)zz–esiT]Res[F(si)zz–esiT]式中，表示s=si處的留數(shù)。2.3.1Z變換及其計(jì)算極點(diǎn)上的留數(shù)分兩種情況求?。?)單極點(diǎn)情況

Res[F(si)zz–esiT]=[(s-si)F(s)zz–esT]s=si2)

m重極點(diǎn)情況

Res[F(si)zz–esiT][(s-si)mF(s)zz–esT]s=si=1

(m-1)!dm-1dsm-1用留數(shù)計(jì)算求取z變換，對有理函數(shù)和無理函數(shù)都是有效的。2.3.1Z變換及其計(jì)算例求F(s)的z變換F(z)。1(s+1)

(s+3)F

(s)=解：F

(z)=[(s+1)F(s)zz–esT]s=-1+[(s+3)F(s)zz–esT]s=-3=zz–e–T12–12zz–e–3T例求F(s)的z變換F(z)。1

(s+a)2F

(s)=F

(z)[(s+a)2F(s)zz–esT]s=-a=1

(2-1)!d2-1ds2-1=Tze-aT(z-e-aT)22.3.2Z變換的性質(zhì)1線性定理Z[a1f1*(t)±a2f2*(t)]=a1F1(z)±a2F2(z)2滯后定理Z[f(kT–nT)]=z–nF(z)求Z[kT–T]Z[kT–T]=Z[kT]·z-1Tz(z–1)2T(z–1)2z-1==例解：3超前定理f

(jT)z-jZ[f(kT+nT)]=znF(z)-znn–1Σj=0例求1(t+2T)的Z變換解：Z[1(t+2T)]=z2zz–1-z2[f(0)z0+f(T)z-1]z3z–1–z2–z=4初值定理

k→0limf(kT)=limF(z)=f(0)z→∞5終值定理

k→∞limf(kT)=lim(z-1)F(z)=f()z→12.3.2Z變換的性質(zhì)2.3.2Z變換的性質(zhì)6微分定理

Z[(kT)f(kT)]=-TzdF(z)dz

7位移定理Z[f(kT)e

±aT]=F(ze)－＋aT例求te-at的Z

變換。

解：Z[te–at

]=TzeaT

(zeaT–1)22.3.3Z反變換Z反變換：記作從函數(shù)F(z)求出原函數(shù)f*(t)的過程Z-1[F(z)]=f*(t)由于F(z)只含有連續(xù)函數(shù)f(t)在采樣時(shí)刻的信息，因而通過z反變換只能求得連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的數(shù)值。求反變換一般有三種方法。1長除法按Z-1的升冪級數(shù)展開：b0zm+b1zm–1

+···+bma0zn+a1zn–1

+···+anF

(z)=設(shè)F(z)=c0+c1z–1+c2z–2+···可知：得：f

(0)=c0

,

f

(T)=c1

,

f

(2T)=c2

,···f*(t)=c0δ(t)+c1δ(t–T)+c2δ(t–2T)+···例求F(z)反變換f*(t)。解：zz–1F

(z)=用F(z)的分子除以分母:=1+z–1+z–2+z–3+···zz–1F

(z)=f*(t)=δ(t)+δ(t–T)+δ(t–2T)+···例求F(z)反變換f*(t)

。解：F(z)=z(z+1)(z+2)F(z)=zz2+3z+2=0+z-1-3z-2+7z-3-15z-4

f*(t)=(t-3T)-15δ(t-T)-3δδδ(t-2T)+7(t-4T)+···zz-11z-11+z-11-z-1z-1+z-2z-1-z-2z-2+···2.3.3Z反變換

課堂練習(xí)：求函數(shù)Z反變換。

解：

2.3.3Z反變換2部分分式法先將F(z)/z展開為部分分式，再把展開式的每一項(xiàng)都乘上z后，分別求z反變換并求和。例求F(z)反變換f*(t)

。F(z)=0.5z(z–1)(z–0.5)解：0.5(z–1)(z–0.5)F(z)z=1

z–11

z–0.5–

=z

z–1z

z–0.5–F(z)=即f(kT)=1–0.5kf*(t)=f(0)δ(t)+f(T)δ(t–T)+f(2T)δ(t–2T)+···

則2.3.3Z反變換例求F(z)反變換f*(t)

。

解:F(z)=(–e-aT)z(z–1)(z–e-aT)F(z)z1

z–11

z–e-aT

–

=(1–e-aT)(z–1)(z–e-aT)

=F(z)=z

z–1z

z–e-aT

–f(kT)=1–e-akT

k=0,1,2···Σ8k=0

(1–e-akT

)δ(t–kT)f*(t

)=2.3.3Z反變換

課堂練習(xí)：求Z反變換。

解:2.3.3Z反變換3留數(shù)計(jì)算法

若已知F(z)的全部極點(diǎn)zi(i=1,2,3,…,n)，則F(z)的z反變換，可由以下留數(shù)計(jì)算公式求得：f(kT)=i=1ΣnRes[F(z)zk-1]z=ziRes[F(z)zk-1]z=zi式中，表示z=zi處的留數(shù)。2.3.3Z反變換極點(diǎn)上的留數(shù)分兩種情況求取：1)單極點(diǎn)情況

Res[F(z)zk-1]z=zi=[(z-zi)F(z)zk-1]z=zi2)

m重極點(diǎn)情況

Res[F(z)zk-1]z=zi=[(z-zi)mF(z)zk-1]z=zi1

(m-1)!dm-1dzm-12.3.3Z反變換例求F(z)反變換f*(t)。F

(z)=5z

z2-3z+2解:F(z)=5z(z–1)(z–2)Res[F(z)zk-1]z=1=[(z-1)F(z)zk-1]z=1=-5Res[F(z)zk-1]z=2=[(z-2)F(z)zk-1]z=2=5×2kf(kT)=5×2k-5=5(2k-1)Σ8k=0

5(2k-1)δ(t–kT)f*(t

)=2.3.3Z反變換例求F(z)反變換f*(t)。F(z)=z(z–2)(z–1)2解:Res[F(z)zk-1