北師大版三角函數(shù)知識點及例題

三角函數(shù).特殊角的三角函數(shù)值:sin。0=0cos00=1tan。0=0.m1sin300=一2cos300-C2tan300=—-3V12sin450=—2cos450_2tan450_1.八拒sin600_ 2八1cos600_—2tan600_v13sin900_1cos900_0tan900無意義.角度制與弧度制的互化：3600=2兀,1800=兀,0030o45060o90o1200135015001800270036000兀6兀4兀1兀22九33兀45兀6兀3兀工2九.弧長及扇形面積公式弧長公式：/=卜卜扇形面積公式:Su；/.ra----是圓心角且為弧度制。r-----是扇形半徑.任意角的三角函數(shù)設a是一個任意角，它的終邊上一點p(x,y),=1x2+y2(1)正弦sina=Z 余弦cosa=X正切tana」r r x⑵各象限的符號：.同角三角函數(shù)的基本關系:

（1）平方關系：sin2a+cos2a=1。（2）商數(shù)關系：小二tanacosa.誘導公式：記憶口訣：k兀 奇變偶不變，符號看象限。把一士a的二角函數(shù)化為a的二角函數(shù)，概括為：2（1）sin（2k兀+a）=sina,cos（2k兀+a）=cosa,tan（2k兀+a）=tana（keZ）.（2）sin（兀+a）=—sina（3）sin（-a）=-sina,（2）sin（兀+a）=—sina（3）sin（-a）=-sina,（4）sin（兀-a）=sina,cos（-a）=cosa，tan（-a）=-tana.口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.（5）sin--a=cosa，（兀cos——a12（6）sin一十a=cosa，12J口訣：正弦與余弦互換，7、三角函數(shù)公式：（兀cos—+a12符號看象限.倍角公式口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.（5）sin--a=cosa，（兀cos——a12（6）sin一十a=cosa，12J口訣：正弦與余弦互換，7、三角函數(shù)公式：（兀cos—+a12符號看象限.倍角公式兩角和與差的三角函數(shù)關系:sin2a=2sina-cosasin（a±p）=sina-cosp±cosa-sinpcos（a±p）=cosa-cosp干sina-sinptana±tanBtan（a±p）=1.tana.taxTp降冪公式::cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2ac 2tana.... tan2a= 1-tan2a升冪公式：1+COSa=2cos2—21-COSa=2sin2a2COS2a1+cos2a21-cos2aS1H2a= 28正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質二用呻歌7=sirttv=亡口呢y=tsrm圖嵬.KJ1：%1一\^nr定義城C-，mi,11?■)'|'0o>*nu2/值域[-1.1]LLI](—-|-OT)最大(小)值卜三Z)當工一加十-時，JW=】；時，/血攻=1；當工=2hi——2時'『Bit——1.當工=2?tf,F"￥T=1：當工=2日+耕，-1無奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期性T=2tiT=2nT=n有界性有界有界無界單調性［E1)在［25-y,2加+y］上都是嚕函覆，在［胴+—,Cj3TT加+1］上都是減函數(shù)在1風2后:］上都是噌函散，在加,(a+1)藥上都是減函數(shù)在網(wǎng)——)2加+y)內部是嚕函救9,正弦定理：sinCa_bsinAsinBsinCa2=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC?

三角形面積定理.S=LabsinC=—besinA=—casinB.2 2 2.直角三角形中各元素間的關系:如圖，在△ABC中，C=90°,AB=e,AC=b,BC=a。(1)三邊之間的關系：a2+b2=e2。(勾股定理)(2)銳角之間的關系：A+B=90°；(3)邊角之間的關系：(銳角三角函數(shù)定義)a b asinA=cosB=—,cosA=sinB=—,tanA=丁。e e b.斜三角形中各元素間的關系：在^ABC中，A、B、C為其內角，a、b、e分別表示A、B、C的對邊。(1)三角形內角和：A+B+C=n。(2)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等?abeTTV==二"==2R。(R為外接圓半徑)sinAsinBsinC(3)余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍-e2=a2+b2—2abcosC。a2=b2+e2—2becosAe2=a2+b2—2abcosC。.三角形的面積公式：(1)△=二(1)△=二ah=~~b==2a2b1—eh2，((I。、hb、he分別表示a、b、e上的高)；(2)(2)△=-absinC=-besinA=1a-acsinB；2(3)△=a(3)△=a2sinBsinC b2sinCsinAe2sinAsinB2sin(B+C) 2sin(C+A) 2sin(A+B)'△=2R2sinAsinBsinC°(R為外接圓半徑)abe△= ；R△=J's(s-a)(s一b)(s-e)；(7)△=r,s。.解三角形：由三角形的六個元素(即三條邊和三個內角)中的三個元素(其中至少有一個是邊)求其他未知元素的問題叫做解三角形.廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等.解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形???解斜三角形的主要依據(jù)是：設^ABC的三邊為a、b、e,對應的三個角為A、B、C。(1)角與角關系：A+B+C=n(2)邊與邊關系：a+b>e,b+e>a,e+a>b,a—b<e,b—e<a,e-a>b；(3)邊與角關系：ab正弦定理——=——=——=2R(R為外接圓半徑)；sinAsinBsinC余弦定理e2=a2+b2—2becosC,b2=a2+e2-2aecosB,a2=b2+e2-2becosA；sinAa,b2+e2—a2匕們的變形形式有：a=2RsinA, =—,cosA= 。sinBb 2be.三角形中的三角變換

三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。(1)角的變換因為在△ABC中，A+B+C=n，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=—cosC；tan(A+B)=—tanC。,A+BCA+B.Csin =cos一,cos =sin一；2 2 2 2'(2)三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。面積公式=3=y311^^absmC=r?p=^p(p-a)(p-b)(p-c).其中■Li iSir為三角形內切圓半徑，p為周長之半。(3)在4ABC中，熟記并會證明：ZA,ZB,ZC成等差數(shù)列的充分必要條件是NB=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是ZA,ZB,ZC成等差數(shù)列且a,b,c成等比數(shù)列。四.【典例解析】例1.(1)在AABC中，已知A=32,00,B=81.80,a=42.9加，解三角形；(2)在AABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=400，解三角形(角度精確到10，邊長精確到1cm)。解析：(1)根據(jù)三角形內角和定理，C=1800—(A+B)=1800-(32.00+81.80)=66.20；根據(jù)正弦定理，asinB

asinB

sinA42.9sin81.80

sin32.00工80.1(cm)；根據(jù)正弦定理，asinC

asinC

sinA42.9sin66.20

sin32.00q74.1(cm).(2)根據(jù)正弦定理，bsinAsinB=—a因為00<B<1800，所以Bq640，或Bq116。.①當bq640時，C=1800-(A+B)q1800-(400+640)=76①當bq640時，asinC20sin760c=：~—= q30(cm).sinAsin400②當Bq1160時，asinC20sin240C=1800-(A+BC=1800-(A+B)q1800-(400+1160)=240sinAsin400例2.(1)在AABC中，已知a=2V3,c=、6+%2,B=600，求b及A；(2)在AABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm，解三角形解析：(1)\，b2=a2+c2-2accosB

=(2v3)2+(<6+%⑵2—2.2巨.(<6+、2)cos45。=12+(<6+、3)2-4<3(g+1)?.b=2<2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法一：?.?cosAb2解法一：?.?cosAb2+c2—a2(2%②2+(而+%五)2—(2v3)212bc2x2<2x(<6+\;2)2'???A=60o解法二：?.?sinA=asinB=2-3-sin450,b 2<2又???石+、五〉2.4+1.4=3.8,2<3<2x1.8=3.6,.\a<c，即00<A<900,??A=600(2)由余弦定理的推論得:b2+c2—a2cosb2+c2—a2cosA= - 2bcAx56020'；c2+a2—b2cosB= 2caBx32053'；2x87.8x161.7 田0.5543,134mIT82x0.8398,2x134.6x161.7C=180?！?A+B)b180。—(56o2O'+32。53)=90。47.題型2：三角形面積例3.在AABC中，sinA+cosA=——,AC=2,AB=3,求tanA的值和AABC的面2積。解法一：先解三角方程，求出角A的值。., , ■— /,/一、 v2「sinA+cosA=i：2cos(A-45。)=—2「.cos(A-45。)=2-.又0。<A<180。,...A—45°=60°,A=105..?.tanA=tan(45。+60。)=匕亙=—2—v3,1—%3sinA=sin105。=sin(4$+6。)=sin4$cos6。+cos4$sin6。=-^—4-^—

SAABC=-ACxABsinA=—x2x3xFt-解法二：由sinA+cosA計算它的對偶關系式sinA+cosA的值。vsinA+cosA=2/.(sinA+cosA)2二；/.2sinAcosA=--2SAABC=-ACxABsinA=—x2x3xFt-解法二：由sinA+cosA計算它的對偶關系式sinA+cosA的值。vsinA+cosA=2/.(sinA+cosA)2二；/.2sinAcosA=--20。<A<180°,/.sinA>0,cosA<0.3(sinA-cosA)2=l-2sinAcosA=—,...sinA—cosA=@2①+②得sinA="2+U64cosA二里亙

4t ,sinA從而tanA= =cosA嫄+x/6 4 f-——x-r=~~i==-2-V3。4 6-娓74c例4.在銳角AA5C中，BC=1,B=2A,則一的值等于

cosAAC的取值范圍為答案2?2,V3)解析設/A=O,nB=20.由正弦定理得ACBCACsin20 sin。'2cos0COS0由銳角AABC得0°<2。<90°n0° <45°,又0。<180。-3?<90。=30。<0<60°,故30°<0<45°^—<cosO<—,2 2AC=2cos9e(x/2,V3).A2J5一r_例5.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足cos-=--,AB?AC=3.乙J(I)求AABC的面積； (II)若b+c=6,求a的值.TOC\o"1-5"\h\z?A2■區(qū) A、3.4解(1)因為cos—= ,「.cosA=2cos2——1=-,sinA=—，又由AB?AC=321 5 2< 5 5得bccosA=3,「.bc=5,「.S=LbcsinA=2AABC 2(2)對于bc=5，又b+c=6，.=b=5,c=1或b=1,c=5，由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA=20,「.a=2t5例6.在AABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2—c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC,求b分析：：此題事實上比較簡單，但考生反應不知從何入手.對已知條件(1)a2—c2=2b左側是二次的右側是一次的，學生總感覺用余弦定理不好處理，而對已知條件(2)sinAcosC=3cosAsinC,過多的關注兩角和與差的正弦公式，甚至有的學生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差，導致找不到突破口而失分.解法一：在AABC中???sinAcosC=3cosAsinC,則由正弦定理及余弦定理TOC\o"1-5"\h\za2+b2—c2J2+c2—a2 ? ，有:a—————=3 ?c,化簡并整理得：2(a2—c2)=b2.又由已知2ab 2bca2—c2=2b「.4b=b2.解得b=4或b=0(舍).解法二:由余弦定理得：a2—c2=b2—2bccosA,又a2—c2=2b,b豐0.所以b=2ccosA+2 ①又sinAcosC=3cosAsinC,/.sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin(A+C)=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinCb.由正弦定理得sinB=-sinC，故b=4ccosA ②c由①，②解得b=4.題型4：三角形中求值問題例7.例7.AABC的三個內角為A、B、C，求當A為何值時，cosA+2cos取得最大值，并求出這個最大值。解析：由A+B+C=n,得,B+Cn2-2-1解析：由A+B+C=n,得,B+Cn2-2-1，所以有cosB+C=si4。cosA+2cosB+C—?A.-A-A?.A-cosA+Zsm]=1—Zsinz'+Zsm'=-2（sin232；A_1當sin2-2,一A_1當sin2-2,即A-7時,cosA+2cos—2一取得最大值為2。D 乙 乙A2J5rr一例8.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足cos-=--,AB?AC=3.乙J⑴求AABC的面積； （II）若c=1,求a的值.，八A,-25 .3解（1）cosA=2cos2一一1=2x（ ）2—1二一2 5 5又Ag（0,兀）,sinA-1—cos2A-5，而麗AC=網(wǎng)AC1cosA又Ag（0,兀）,sinA-1—cos2A-所以AABC所以AABC的面積為:1bcsinA-1x5x4-2（II）由（I）知bc-5，而c-1,所以b-5所以a-、,b2+c2—2bccosA-<25+1—2x3-2<5例9.在△ABC中，a、b、c分別是NA、NB、/C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2—c2-ac—bc，求NA的大小及的值。c分析：因給出的是a、b、c之間的等量關系，要求/A，需找NA與三邊的關系，故可用余弦定理。由b2-ac可變形為絲-a，再用正弦定理可求”1nB的值。c c解法一：???a、b、c成等比數(shù)列，.?.b2-ac。又a2—c2-ac—bc，：.b2+c2—a2-bc。在^ABC中，由余弦定理得：cosA-b2+c2―a2-叵-1,.?.NA-60°。2bc 2bc2在^ABC中，由正弦定理得sinB-"1nA,Vb2-ac,NA=60°,a.bsinB_b2sin600-s1n60。=c ac 2解法二：在AABC中，由面積公式得,bcsinA--acsinB。2 2Vb2-ac,NA-60°,;?bcsinA-b2sinB。.bsinB..c3?? -sinA-——。

ACAC例10.在八45c中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求tan-+tan—+v3tan-tan—的值。解析：因為A、B、C成等差數(shù)列，又A+B+C=180°,所以A+C=120°,A+C A+C從而=60°,故tan——=\：3.由兩角和的正切公式，tan一+tan一+tan—得JC二.。1-tantan一2 2所以tanA+tanC”—3tanAtanC2,題型6：正、余弦定理判斷三角形形狀例11.在△ABC中，若2cosBsinA=$足仁則4ABC的形狀一定是( )A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A一B)又^.,2sinAcosB=sinC,...sin(A-B)=0,.\A=B例12.在AABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且sinA二巨,sinB二亞5 10(I)求A+B的值；(II)若a—b=\2—1，求a、b、c的值。解(I)?.?解(I)?.?A、B為銳角,sinA-點,sinB-5<10記TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"cosA=<1—sin2A-2^1,cosB=<1—sin2B-^10

5 10\o"CurrentDocument"cos(A+B)-cosAcosB—sinAsinB-空x包—巨巫-女5 10 5 10 2 「3冗 .「五(II)由(I)知C——,??sinC—~~4 210abc由 = = 得smA sinB sinCy/5a-VlO