熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)第八章-玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計

第八章玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計§8.1熱力學(xué)的統(tǒng)計表達(dá)式§8.2弱簡并玻色氣體和費米氣體§8.3玻色—愛因斯坦凝聚§8.4光子氣體§8.5金屬中的自由電子氣體1§8.1熱力學(xué)的統(tǒng)計表達(dá)式經(jīng)典極限條件不滿足經(jīng)典極限條件的氣體為簡并氣體，需要用玻色（費米）分布來處理。非簡并氣體總是可以用玻耳茲曼分布處理。2一，巨配分函數(shù)定義巨配分函數(shù)：玻色分布：把參量、、作為已知量（）

巨配分函數(shù)是變量的函數(shù)。下面依次對求偏導(dǎo)數(shù)。3系統(tǒng)的平均總粒子數(shù)：

系統(tǒng)內(nèi)能：

4外界對系統(tǒng)的廣義作用力：

5二，熵的表達(dá)式－玻耳茲曼關(guān)系在熱力學(xué)中有：又6積分玻耳茲曼關(guān)系-熵與微觀狀態(tài)數(shù)之間的關(guān)系7三，費米系統(tǒng)的巨配分函數(shù)玻色系統(tǒng)：費米系統(tǒng)：熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達(dá)式不變。8四，作為特性函數(shù)的巨配分函數(shù)如果求得巨配分函數(shù)，據(jù)此可以求得系統(tǒng)內(nèi)能、物態(tài)方程和熵。從而確定系統(tǒng)的全部平衡性質(zhì)。熱力學(xué)中巨熱力學(xué)勢是以為自然變量的特性函數(shù)：巨配分函數(shù)是以為自然變量的特性函數(shù)。對簡單系統(tǒng)就是9§8.2弱簡并理想玻色氣體和費米氣體不考慮分子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因此只有平動自由度,

分子能量為：

簡并性氣體:用玻色分布或費米分布處理。非簡并性氣體:用玻耳茲曼分布處理比較小但不能忽略：弱簡并玻色氣體或費米氣體。10如果粒子具有自旋簡并度，分子可能的微觀狀態(tài)數(shù)為：在體積內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，分子可能的狀態(tài)數(shù)為：系統(tǒng)總分子數(shù)：

由此式確定拉氏乘子11系統(tǒng)的內(nèi)能為：

引入變量：12保留展開的第一項相當(dāng)于費米（玻色）分布近似為玻耳茲曼分布；保留兩項相當(dāng)于弱簡并情形。13粒子平均能量：14說明：1、第一項是根據(jù)玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能；3、費米氣體的附加內(nèi)能為正，量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)使費米粒子間出現(xiàn)等效的排斥作用；4、玻色氣體的附加內(nèi)能為負(fù)，玻色粒子間則出現(xiàn)等效的吸引作用。2、第二項是全同性原理引起的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)所導(dǎo)致的附加內(nèi)能；15§8.3玻色-愛因斯坦凝聚粒子數(shù)N、溫度T、體積V的全同近獨立的玻色子組成的系統(tǒng)：玻色分布：因此對所有能級：即：取最低能級則要求μ由下式確定：16或者按量子態(tài)表示：化學(xué)勢與溫度的關(guān)系：態(tài)密度:（假定自旋為零）轉(zhuǎn)化為積分：17假設(shè)溫度下降到某一臨界溫度積分化為：令并根據(jù)可以解得：如果溫度繼續(xù)下降，勢必出現(xiàn)這樣的矛盾原因：在求和轉(zhuǎn)化為積分時，默認(rèn)18因此，在時，應(yīng)該改為：或者19玻色-愛因斯坦凝聚：當(dāng)溫度低于臨界溫度時，有宏觀量級的粒子在能級ε=0凝聚。在ε=0能級的粒子集合體稱為玻色凝聚體。凝聚體能量為零、動量為零，壓強為零（或者說對壓強沒有貢獻(xiàn)），并產(chǎn)生超流現(xiàn)象。微觀狀態(tài)完全確定，微觀狀態(tài)數(shù)為1，熵為零。20內(nèi)能：只需計及能級大于零的粒子。定容熱容量：21定容熱容量在臨界溫度達(dá)到極大值，定容熱容量對溫度的偏導(dǎo)數(shù)在該點發(fā)生突變——λ相變。22可改寫為：出現(xiàn)凝聚體的條件:即：可以通過降低溫度，或者粒子數(shù)密度來實現(xiàn)玻色凝聚。23§8.4光子氣體經(jīng)典統(tǒng)計的能量均分定理：空腔平衡輻射的能量由空腔內(nèi)

輻射場的自由度決定。有限溫度下平衡輻射的內(nèi)能和定容熱容量是發(fā)散的，與實際嚴(yán)重不符。從粒子觀點研究平衡輻射問題，把空窖內(nèi)的輻射場看作光子氣體，光子是玻色子，達(dá)到平衡后遵從玻色分布。量子統(tǒng)計理論：24光子遵從德布羅意關(guān)系：

（光子能量動量關(guān)系）

光子數(shù)不守恒，在推導(dǎo)玻色分布時只存在一個限制條件。

平衡狀態(tài)下光子氣體的化學(xué)勢為零只需引入一個拉氏乘子25光子的自旋量子數(shù)為1，在動量方向上的投影有兩個可能值：一，量子態(tài)數(shù)與振動自由度數(shù)動量大小體積V光子的量子態(tài)數(shù)：（或經(jīng)典理論的振動自由度數(shù)）動量大小體積V內(nèi)自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)：26能量均分定理：瑞利－金斯公式光子的量子態(tài)數(shù)為：在體積為的空窖內(nèi)

在的圓頻率范圍內(nèi)（或經(jīng)典理論的振動自由度數(shù)）瑞利－金斯公式實驗曲線維恩公式空腔輻射的高頻端的維恩公式：27量子統(tǒng)計：光子遵從玻色分布在體積為的空窖內(nèi)

在的圓頻率范圍內(nèi)平均光子數(shù)為量子態(tài)數(shù)Ｘ量子態(tài)平均光子數(shù)：該范圍內(nèi)的能量：28輻射場的內(nèi)能按圓頻率的分布則為：普朗克公式不同溫度下內(nèi)能分布圖形：二，普朗克公式29的低頻范圍：瑞利—金斯公式的高頻范圍：維恩公式三，普朗克公式在高低頻的極限結(jié)果：30當(dāng)時，隨的增加而迅速地趨近于零。在一定溫度

的平衡輻射中，高頻光子幾乎是不存在的。四，從波動觀點解釋空腔平衡輻射由無窮多個單色平面波組成，每個平面波具有量子化的能量：當(dāng)平面波處在量子數(shù)為的狀態(tài)時，相應(yīng)存在個能量為的光子31玻色分布給出在溫度為的平衡狀態(tài)下的平均值：從粒子觀點看，是平均光子數(shù)；從波動觀點看，是量子數(shù)的平均值。對于低頻，能級間距遠(yuǎn)小于，其能量可看作準(zhǔn)連續(xù)的變量，經(jīng)典統(tǒng)計的結(jié)論成立。滿足的高頻自由度因為級差太大而被凍結(jié)在的基態(tài)。32五，空腔輻射的內(nèi)能平衡輻射的能量密度與絕對溫度的四次方成正比?！固胤６澛奢椛渫棵芏龋焊鶕?jù)瀉流來計算輻射通量密度：（習(xí)題8－11）33輻射場的能量密度隨的分布有一極大值，用表示六，維恩位移定律由普朗克公式：維恩位移定律由可以求得：34七，光子氣體的巨配分函數(shù)玻色系統(tǒng)的巨配分函數(shù)：運用到光子氣體：體積V內(nèi)，dω內(nèi)光子的量子態(tài)數(shù)：巨配分函數(shù)的對數(shù)轉(zhuǎn)化為積分：35[例]根據(jù)光子氣體的巨配分函數(shù)計算其它熱力學(xué)量輻射壓強（習(xí)題7－2）或者按習(xí)題8－10：36§8.5金屬中的自由電子氣體一、自由電子氣體模型電子經(jīng)過1mm，變化

個周期，忽略周期性變化認(rèn)為原子實形成均勻的正電荷背景。價電子之間的庫侖相互作用可以忽略。組成金屬的原子全部分解成原子實和價電子，金屬中的自由電子構(gòu)成一個近獨立粒子的費米系統(tǒng)。由于金屬的密度很高強簡并的費米系統(tǒng)。37二、自由電子的量子態(tài)數(shù)根據(jù)費米分布，溫度為T時處在能量為的一個量子態(tài)上的平均電子數(shù)為：考慮到電子自旋在其動量方向的投影有兩個可能值，電子的量子態(tài)數(shù)為在體積內(nèi)，在的能量范圍內(nèi)38平均電子數(shù)為在體積內(nèi)，在的能量范圍內(nèi)在一定的溫度T和體積V下，系統(tǒng)總的電子數(shù)如果給定電子數(shù)N，可以求出化學(xué)勢。39當(dāng)時：三、T=0K時自由電子的分布分布由泡利不相容原理決定當(dāng)時：40時電子的最大能量（費米能級）:41是0K時電子的最大動量，稱為費米動量。動量空間費米球等能面－費米面費米動量－費米半徑費米速率42銅的費米能級;銅的費米溫度定義費米溫度費米溫度可以用來衡量費米能級和基態(tài)之間的能級級差。結(jié)論：電子很難從較低的能級因為熱激發(fā)而躍遷到比費米能級更高的能級上，只有接近費米能級的電子才有這個可能。43時電子氣體的內(nèi)能時電子的平均能量銅的電子氣體簡并壓時電子氣體的壓強（簡并壓）44四、T>0K時自由電子的分布45絕大多數(shù)狀態(tài)的占據(jù)情況并不改變。只是在附近的數(shù)量級為kT的能量范圍內(nèi)發(fā)生變化.由于一般情況下對熱容量有貢獻(xiàn)的有效電子數(shù)：46五、T﹥0時自由電子氣體的熱容量電子數(shù)N滿足通過積分可得47電子氣體的內(nèi)能為48電子氣體的定容熱容量為：和以前的估算值的數(shù)量級相符：49低溫下金屬的熱容量可表為：自由電子的熱容量離子振動的熱容量50所以電子氣體的壓強為六、電子氣體的壓強非相對論氣體壓強與內(nèi)能之間的關(guān)系為:51七、自由電子氣體的巨配分函數(shù)在的能量范圍內(nèi)電子的量子態(tài)數(shù)為5253例關(guān)于T=0K時電子氣體的常見問題一，T=0K時電子速率分布二，T=0K時電子的平均速率電子的量子態(tài)數(shù)為在體積內(nèi)，在范圍內(nèi)54電子的量子態(tài)數(shù)為在體積內(nèi)，在范圍內(nèi)電子數(shù)為在體積內(nèi)，在范圍內(nèi)