圓的進一步認識

圓的進一步認識于麗娟知識網(wǎng)絡(luò)圖圓圓的對稱性與圓有關(guān)的位置關(guān)系正多邊形和圓弧長與扇形面積軸對稱同弧上的圓周角與圓心角的關(guān)系點和圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系切線切線的判定定理弧長扇形面積中心對稱垂徑定理弧、弦、圓心角的關(guān)系正多邊形的有關(guān)概念正多邊形的性質(zhì)確定圓的條件三角形的外接圓圓周角圓周角定理及其推論切線的性質(zhì)定理切線長定理三角形的內(nèi)切圓需要注意的問題：1、垂徑定理的推論：平分弦的直徑垂直于這條弦并且平分弦所對的優(yōu)弧和劣弧。2、圓心角、弧、弦的關(guān)系定理中注意條件：在同圓或等圓中。3、圓周角定理的推論：相等的圓周角所對的弧相等的前提：非直徑由等弧推其他三條時此條件可以不加在同圓或等圓中1、靈活運用垂徑定理及其推論，圓心角、弧、弦及弦心距之間的關(guān)系以及圓周角及推論解決問題。2、了解與圓有關(guān)的位置關(guān)系，并能根據(jù)給出的條件進行判斷和計算。3、能運用切線的判定和性質(zhì)定理進行有關(guān)的論證和計算。4、了解三角形與圓的位置關(guān)系、相關(guān)概念及三角形外心、內(nèi)心的性質(zhì)。5、能用量角器和尺規(guī)畫正n邊形。6、能熟練的運用弧長、扇形面積、圓錐側(cè)面積和表面積公式進行有關(guān)的計算，并會求陰影部分的面積。7、在學習中形成分類、轉(zhuǎn)化、歸納、演繹的數(shù)學思想方法。重點：1、圓的基本性質(zhì)（垂徑定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，圓周角定理及推論）2、直線與圓的位置關(guān)系。難點：1、圓周角定理的證明；2、切線性質(zhì)定理的證明（涉及反證法）；3、三角形內(nèi)外心性質(zhì)的應(yīng)用。突破難點的關(guān)鍵：1、注意本章知識與學生已有知識的銜接；2、注意基本數(shù)學思想（分類、轉(zhuǎn)化、歸納、演繹）的體現(xiàn)和應(yīng)用；3、注意揭示概念和結(jié)論的數(shù)學本質(zhì)4、注意本章各部分知識之間的聯(lián)系定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角度數(shù)的一半。

如：∠EAC=∠F∠FAD=∠ECD●OAEF定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。圓中常見題目：計算（求線段與角；扇形面積與弧長；求陰影部分面積等）；證明因為有垂徑定理及切線的性質(zhì)等知識，因此圓的問題一般綜合性較強，除圓的相關(guān)知識外，一般還會涉及到等腰三角形、全等三角形，相似三角形、解直角三角形、平行四邊形（矩形、菱形、正方形）等知識。1、連半徑1.如圖，CD為⊙o的直徑，弦AB⊥CD，垂足為P，AP=4cm，PD=2cm，則OP=____cm2.如圖，A、B、C為⊙o上三點，如果∠OAB=56°，則∠ACB=_____2、作弦心距如圖,⊙M與x軸相交于點A(2,0)，B(8,0),與y軸相切于點C,則圓心M的坐標是

.3、見弧的中點：可以考慮“中點與圓心相連”；還可以考慮用“等弧的相關(guān)定理”（如圓周角定理；圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系定理等）

已知，如圖，AB是⊙O的直徑，C為AE的中點，CD⊥AB于D，交AE于F。求證：AF=CF典型例題AFCEBD證明一：連接OC，ACO∵C為AE的中點∴OC⊥AE又∵CD⊥AO，∠AOC為公共角∴∠OCD=∠OAE∵OA=OC⌒⌒∴∠OCA=∠OAC∴∠FCA=∠FAC∴AF=CF分析:要證線段相等,通常是證明兩角相等或三角形全等。該題是證兩角相等。證明三：延長CD交⊙O于G,連接AC證明二：連接AC、BC∵AC=CE∴∠CAE=∠CBA，又CD⊥AB∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠ACD=∠CBA=∠CAF，AF=CF︵

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已知，如圖，AB是⊙O的直徑，C為AE的中點，CD⊥AB于D，交AE于F。求證：AF=CF典型例題AFCEBDGAB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴AG=AC=CE，∴∠CAE=∠

GCA，∴CF=AF︵

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⌒4、見直徑想90°圓周角；見90°圓周角想直徑如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是直徑，∠B＝40°，則∠ACD的度數(shù)是

.50°5、見切線連切點與圓心如圖，以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，C為切點。若兩圓的半徑分別為3cm和5cm，則AB的長為______cm．8切線長定理的應(yīng)用如圖，⊿ABC中，∠C=900，點O在BC上，以O(shè)C為半徑的半圓切AB于點E，交BC于點D，若BE=4，BD=2，求⊙O的半徑和邊AC的長分析：此題是對切線的性質(zhì)定理和切線長定理的應(yīng)用，當題目中出現(xiàn)圓的切線和切點時，通常要把圓心和切點相連，則半徑和切線垂直，同時從圓外一點A引圓的兩條切線AE和AC相等，從而利用直角三角形求解。x42xX2+16=(x+2)2

得x=3，y2+64=(y+4)2yy△OBE∽△ABC得：3/y=4/8此題也可利用三角形相似求解。證明圓的切線通常（所作的輔助線）有兩種思路：（1）連半徑，證垂直（最常見）（2）作垂直，證半徑當題目中明確說明或能判斷有一點既在圓上又在直線上時當題目中不能判定出有一點在圓上又在直線上時例1：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于點E．求證：DE是⊙O的切線．解題關(guān)鍵：證明OD∥AC.方法一：利用等邊對等角證∠C=∠BDO；方法二：利用三線合一證明OD為△ABC的中位線．例2：如圖AB是⊙O的直徑，P點在AB的延長線上，弦CD⊥AB于E,∠PCE=2∠BDC求證：PC是⊙O的切線解題關(guān)鍵：證明∠OCP=90°.即證明∠OCP=∠OCD+∠DCP=90°.有些題目需要證明三角形全等來證90°（⊥）。例3.如圖，直角坐標系中，半徑為1的⊙O的圓心在坐標原點，求證：直線y=－x+與⊙O相切解題關(guān)鍵：作OD⊥AB.證明OD為半徑D1、已知，如圖，點I是⊿ABC的內(nèi)心，AI交邊BC于點D，交⊿ABC外接圓于點E.求證：（1）IE=BE(2)IE2=AEDE分析：本題（1）問主要考查三角形內(nèi)心的含義，它是三角形內(nèi)角平分線的交點，從而∠DBI=∠ABI，∠BAI=∠CAI，結(jié)合同弧所對的圓周角∠EBD=∠CAD，證得∠EBI=∠EIB，結(jié)論得證。出現(xiàn)（2）問的形式，往往是把（1）的結(jié)論用上，即證BE2=AE.DE,從而找到應(yīng)該證明△BDE∽△ABE,通過三角形的相似得以證明。2.已知，ΔABC內(nèi)接于⊙O,AD⊥BC于D,AC=4,AB=6,AD=3,求⊙O的直徑。

證明:作⊙O的直徑AE,連接BE,則∠C=∠E,∠ADC=∠ABE,∴△ABE∽△ADC,∴AD/AB=AC/AE,即AE=AB×AC/AD=8,∴⊙O的直徑為8分析:解決此類問題時,我們通常作出直徑以及它所對的圓周角,證明ΔABE∽ΔADC.ＥＤBCA

.O┓.┓構(gòu)造相似△6431.已知正三角形ABC的邊長為6，內(nèi)切圓⊙O分別切三邊于點D、E、，F(xiàn)，求陰影部分的面積。2.如圖，⊙A和⊙B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)y=1/x的圖象上，則圖中陰影部分的面積是______.3.如圖，在⊿ABC中，BC=4，以點A為圓心，2為半徑的⊙A與BC相切于點D，交AB于E，交AF于F，點P是⊙A上一點，且∠EPF=400，則陰影部分的面積為_______.歸納總結(jié)本題組的每一個題目代表一類題型1題直接套用面積公式計算2題采用移、拼的方法得到的圖形可以直接求值3題利用規(guī)則圖形的求和或求差解決●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓心的異側(cè)例⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，則AB、CD間的距離是___

.2或14cm兩條平行弦的間距問題圓中知一條弦長，半徑，弦心距，弓高知二求二1.在直徑為400mm的圓柱形油槽內(nèi)，裝入一部分油，油面寬320mm，求油的深度.分析：此題為垂徑定理在實際問題中的應(yīng)用，我們要把實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決，因為題目中沒給出圖形，所以有兩種情況，如下圖，即求CM的長解：Rt⊿OMB中，OB=2OO，BM=160∴OM==120∴CM=200-120=80(mm)或CM=200+120=320(mm)∴油的深度為80mm或320mm沒給出圖形時，容易出現(xiàn)兩種情況一條弦對兩類圓周角，其關(guān)系要么相等要么互補1、如圖，P是⊙O外一點，PA、PB切⊙O于點A、B，Q是優(yōu)弧AB上一點，試探索∠P與∠Q的數(shù)量關(guān)系?！A周角問題2、如圖：圓O中弦AB等于半徑R，則這條弦所對的圓心角是＿＿＿,圓周角是＿＿＿＿＿＿.60度30或150度CD如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為（﹣3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為（）

A．1B．1或5C．3D．5·相切與平移結(jié)合問題B

平面上一點P到圓O上一點的距離最長為6cm,最短為2cm,則圓O的半徑為_______.2或4cm·點與圓的位置關(guān)系問題ABCO三角形的外接圓和內(nèi)切圓：ABCI三角形內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心。三角形外接圓的圓心叫三角形的外心實質(zhì)性質(zhì)三角形的外心三角形的內(nèi)心三角形三邊垂直平分線的交點三角形三內(nèi)角角平分線的交點到三角形各邊的距離相等到三角形各頂點的距離相等ABC●┗┏┓ODEF┗●ABC●O●┗┓ODEF┗直角三角形的內(nèi)切圓半徑與三邊關(guān)系.三角形的內(nèi)切圓半徑與圓面積.銳角三角形的外心位于三角形內(nèi)部,直角三角形的外心位于直角三角形斜邊的中點,鈍角三角形的外心位于三角形外部.三角形的外心一定在三角形的內(nèi)部。1.正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n

條對稱軸。正多邊形有關(guān)的性質(zhì)2.正多邊形各條對稱軸相交于一點，這點到正多邊形的各個頂點的距離相等，到各邊的距離也相等3.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓，圓心