連續(xù)體的有限元

有限元分析：是利用數(shù)學(xué)近似的方法對真實物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬,并利用簡單而又相互作用的元素即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng),是一種模擬設(shè)計載荷條件，并且確定在載荷條件下的設(shè)計響應(yīng)的方法。它是用被稱之為“單元”的離散的塊體來模擬設(shè)計。1）每一個單元都有確定的方程來描述在一定載荷下的響應(yīng)；2）模型中所有單元響應(yīng)的“和”給出了設(shè)計的總體響應(yīng)；3）單元中未知量的個數(shù)是有限的，因此稱為“有限單元”。

3.1概述第三章連續(xù)體的有限元分析有限單元法的特點

把連續(xù)體劃分成有限個單元，把單元的交界結(jié)點（節(jié)點）作為離散點；不考慮微分方程，而從單元本身特點進(jìn)行研究。理論基礎(chǔ)簡明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起對該法的理解。具有靈活性和適用性，適應(yīng)性強(qiáng)。在具體推導(dǎo)運算過程中，廣泛采用了矩陣方法。有限元分析過程主要包括：單元分析、整體分析、載荷移置、引入約束、求解約束方程等過程。這一過程是有限元分析的核心部分，有限元理論主要體現(xiàn)在這一過程中。有限元法包括三類：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。在有限元位移法中，選節(jié)點位移作為基本未知量；在有限元力法中，選節(jié)點力作為未知量；在有限元混合法中，選一部分基本未知量為節(jié)點位移，另一部分基本未知量為節(jié)點力。有限元位移法計算過程的系統(tǒng)性、規(guī)律性強(qiáng)，特別適宜于編程求解。一般除板殼問題的有限元應(yīng)用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。因此，一般不做特別聲明，有限元法指的是有限元位移法。有限元分析的后處理主要包括對計算結(jié)果的加工處理、編輯組織和圖形表示三個方面。它可以把有限元分析得到的數(shù)據(jù)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為設(shè)計人員直接需要的信息，如應(yīng)力分布狀態(tài)、結(jié)構(gòu)變形狀態(tài)等，并且繪成直觀的圖形，從而幫助設(shè)計人員迅速的評價和校核設(shè)計方案。3.2選擇位移函數(shù)的一般原則有限元的分析過程都依賴于假定的單元位移函數(shù)或位移模式。因此，為了得到滿意的解答，必須是假定的位移場盡可能逼近彈性體的真實位移形態(tài)。如果假定的單元位移場與彈性體的真實位移場完全一致，有限元解便是精確解。如桁架和剛架的單元位移場與彈性桿件的變形是一樣的，因而桁架和剛架的有限元解是精確的。而在連續(xù)體彈性力學(xué)有限元法中，一般找不到真實位移場，所以只能得到近似解。單元的位移函數(shù)一般采用以包含若干待定參數(shù)的多項式作為近似函數(shù)，稱為位移多項式。有限項多項式選取的原則應(yīng)考慮以下幾點：1）待定參數(shù)是由節(jié)點場變量確定的，因此待定參數(shù)的個數(shù)應(yīng)與單元的自由度數(shù)相同。2）對于應(yīng)變由位移的一階導(dǎo)數(shù)確定問題，選取多項式時，常數(shù)項和坐標(biāo)的一次項必須完備。位移函數(shù)中常數(shù)項和坐標(biāo)的一次項分別反映了單元剛體位移和常應(yīng)變的特性，但劃分的單元趨近于無窮時，單元趨于無窮小，此時單元應(yīng)變趨于常應(yīng)變。而當(dāng)節(jié)點位移是由某個剛體位移引起時，彈性體內(nèi)不應(yīng)該有應(yīng)變，這些特性必須在選擇的位移多項式中予以體現(xiàn)。同理，對于應(yīng)變由位移的二階導(dǎo)數(shù)定義的場問題，常數(shù)項、一次項和二次項必須完備。3）多項式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量選取完整性階數(shù)高的多項式以提高單元精度（稱為單元的完備性）。不同節(jié)點、不同形狀的單元的表達(dá)式不同，后續(xù)將介紹。3.3收斂性有限元法是一種數(shù)值分析方法，因此應(yīng)考慮收斂性問題。有限元法的收斂性是指：當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當(dāng)單元尺寸固定時，每個單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。1）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項。每個單元的應(yīng)變狀態(tài)總可以分解為不依賴于單元內(nèi)各點位置的常應(yīng)變和由各點位置決定的變量應(yīng)變。當(dāng)單元的尺寸足夠小時，單元中各點的應(yīng)變趨于相等，單元的變形比較均勻，因而常應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分。為反映單元的應(yīng)變狀態(tài)，單元位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項。有限元的收斂條件包括如下四個方面：2）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括剛體位移項。一般情況下，單元內(nèi)任一點的位移包括形變位移和剛體位移兩部分。形變位移與物體形狀及體積的改變相聯(lián)系，因而產(chǎn)生應(yīng)變；剛體位移只改變物體的位置，不改變物體的形狀和體積，即剛體位移是不產(chǎn)生變形的位移?？臻g一個物體包括三個平動位移和三個轉(zhuǎn)動位移，共有六個剛體位移分量。由于一個單元牽連在另一些單元上，其他單元發(fā)生變形時必將帶動單元做剛體位移，由此可見，為模擬一個單元的真實位移，假定的單元位移函數(shù)必須包括剛體位移項。3）單元內(nèi)，位移函數(shù)必須連續(xù)。多項式是單值連續(xù)函數(shù)，因此選擇多項式作為位移函數(shù)，在單元內(nèi)的連續(xù)性能夠保證。（等效積分的弱形式的體現(xiàn)）4）位移函數(shù)在相鄰的公共邊界上必須協(xié)調(diào)。對一般單元而言，協(xié)調(diào)性是指相鄰單元在公共節(jié)點處也有相同的位移，也就是說，要保證不發(fā)生單元的相互脫離開裂和相互侵入重疊。要做到這一點，就要求函數(shù)在公共邊界上能由公共節(jié)點的函數(shù)值唯一確定。對一般單元，協(xié)調(diào)性保證了相鄰單元邊界位移的連續(xù)性。但是，在板殼的相鄰單元之間，還要求位移的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，只有這樣，才能保證結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能是有界量?？偟恼f來，協(xié)調(diào)性是指在相鄰單元的公共邊界上滿足連續(xù)性條件。前兩條又叫完備性條件，滿足完備條件的單元叫完備單元；第三、四條是協(xié)調(diào)性要求，滿足協(xié)調(diào)性的單元叫協(xié)調(diào)單元；否則稱為非協(xié)調(diào)單元。完備性要求是收斂的必要條件，四條全部滿足，構(gòu)成收斂的充分必要條件。收斂準(zhǔn)則多項式位移模式階次的選擇一、收斂準(zhǔn)則1、位移模式必須包含單元的剛體位移滿足條件1、2的單元為完備單元二、多項式位移模式階次的選擇——按照帕斯卡三角形選2、位移模式必須能包含單元的常應(yīng)變3、位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、并使相鄰單元間的位移必須協(xié)調(diào)滿足條件3的單元為協(xié)調(diào)單元幾何各向同性：位移模式應(yīng)與局部坐標(biāo)系的方位無關(guān)帕斯卡三角形多項式應(yīng)有偏惠的坐標(biāo)方向，多項式項數(shù)等于單元邊界結(jié)點的自由度總數(shù)。第1節(jié)等直桿單元分析位移列陣由結(jié)點位移得設(shè)位移模式其中:待定參數(shù)為:結(jié)點位移表示的位移模式為:形函數(shù)矩陣為:1、用結(jié)點位移表示單元的位移模式2、用結(jié)點位移表示應(yīng)變和應(yīng)力第1節(jié)等直桿單元分析續(xù)13、用虛位移原理導(dǎo)出梁單元的剛度矩陣第1節(jié)等直桿單元分析續(xù)21、分布軸力p(x)的移置第2節(jié)等效結(jié)點力計算等效結(jié)點力——原分布荷載按照虛功相等的原則移置到單元結(jié)點上的力2、分布扭轉(zhuǎn)力矩m(x)的移置3、分布橫向力q(x)的移置第2節(jié)矩形雙線性單元第1節(jié)三角形常應(yīng)變單元第3節(jié)六結(jié)點三角形單元第4節(jié)四結(jié)點四邊形等參單元第5節(jié)八結(jié)點四邊形等參單元3.4平面問題常用單元第1節(jié)三角形常應(yīng)變單元代數(shù)余子式位移模式應(yīng)變矩陣為常量，單元內(nèi)應(yīng)變是常數(shù)形函數(shù)的性質(zhì)第2節(jié)矩形雙線性單元矩形單元矩形單元結(jié)點位移、結(jié)點力列陣一、位移模式與形函數(shù)正方形規(guī)則單元正方形單元與矩形單元的關(guān)系（無量綱坐標(biāo)）形函數(shù)的性質(zhì)：本點處值為1，它點處值為0第2節(jié)矩形雙線性單元(續(xù)1)二、應(yīng)變?nèi)?、?yīng)力平面應(yīng)力問題第2節(jié)矩形雙線性單元(續(xù)2)四、單元剛度矩陣第3節(jié)六結(jié)點三角形單元一、位移模式與形函數(shù)取三角形頂點和邊中點作結(jié)點，位移模式為：六結(jié)點三角形單元用面積坐標(biāo)表示的形函數(shù)為：二、應(yīng)變第4節(jié)十結(jié)點三角形三次單元確定位移模式和形函數(shù)取三角形各邊三分點和面積坐標(biāo)相等的內(nèi)點作為結(jié)點——十結(jié)點三角形單元。十結(jié)點三角形單元等參數(shù)的剛度矩陣對一些由曲線輪廓的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，如果采用直角邊單元進(jìn)行離散，由于用直線代替了曲線，除非網(wǎng)格劃分得很細(xì)，否則不能獲得較高的精度；對另一些應(yīng)力隨坐標(biāo)急劇變化的結(jié)構(gòu)，采用簡單的常應(yīng)力單元離散時，也必須劃分成大量的微小單元，以保證足夠的精度。為此引入一種高精度的單元——等參數(shù)單元。它既能簡化復(fù)雜單元劃分的工作，又能在滿足同樣精度的要求時，大大減少使用的單元數(shù)。目前流行的大程序中較常用，它成功地解決了許多二維和三維的彈性力學(xué)問題。

第5節(jié)等參數(shù)單元為導(dǎo)出等參數(shù)單元的剛度矩陣，首先要建立根據(jù)每個單元的形狀確定的自然坐標(biāo)系，然后將位移模式和形狀函數(shù)都寫成自然坐標(biāo)的函數(shù)。一個單元在自然坐標(biāo)系內(nèi)的點與單元整體坐標(biāo)系內(nèi)的點成一一對應(yīng)的關(guān)系。通過映射，可以將整體坐標(biāo)系中的圖形轉(zhuǎn)化為自然坐標(biāo)系中的相應(yīng)圖形。例如可以將整體坐標(biāo)系中的一個任意四邊形（實際單元）映射到自然坐標(biāo)系中成為一個正方形（基本單元）。同樣也可以將任意四面體、六面體（包括直邊和曲邊的）分別映射成正四面體和正六面體。三、導(dǎo)數(shù)坐標(biāo)變換一、形函數(shù)與位移模式母單元二、坐標(biāo)變換與平面八結(jié)點形式相同！六、單元剛度矩陣五、應(yīng)力四、應(yīng)變七、等效結(jié)點力四結(jié)點四邊形等參單元一、母單元的形函數(shù)母單元三、位移模式四邊形單元二、坐標(biāo)變換由此可知：單元的位移場和單元形狀用相同的形函數(shù)，故稱等參數(shù)單元（等參元）四、導(dǎo)數(shù)的坐標(biāo)變換其中：收斂準(zhǔn)則多項式位移模式階次的選擇一、收斂準(zhǔn)則1、位移模式必須包含單元的剛體位移滿足條件1、2的單元為完備單元二、多項式位移模式階次的選擇——按照帕斯卡三角形選2、位移模式必須能包含單元的常應(yīng)變3、位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、并使相鄰單元間的位移必須協(xié)調(diào)滿足條件3的單元為協(xié)調(diào)單元幾何各向同性：位移模式應(yīng)與局部坐標(biāo)系的方位無關(guān)帕斯卡三角形多項式應(yīng)有偏惠的坐標(biāo)方向，多項式項數(shù)等于單元邊界結(jié)點的自由度總數(shù)。第1節(jié)等直桿單元分析位移列陣由結(jié)點位移得設(shè)位移模式其中:待定參數(shù)為:結(jié)點位移表示的位移模式為:形函數(shù)矩陣為:1、用結(jié)點位移表示單元的位移模式2、用結(jié)點位移表示應(yīng)變和應(yīng)力第1節(jié)等直桿單元分析續(xù)1第2節(jié)矩形雙線性單元第1節(jié)三角形常應(yīng)變單元第3節(jié)六結(jié)點三角形單元第4節(jié)四結(jié)點四邊形等參單元第5節(jié)八結(jié)點四邊形等參單元3.4平面問題常用單元第1節(jié)三角形常應(yīng)變單元代數(shù)余子式位移模式應(yīng)變矩陣為常量，單元內(nèi)應(yīng)變是常數(shù)形函數(shù)的性質(zhì)第2節(jié)矩形雙線性單元矩形單元矩形單元結(jié)點位移、結(jié)點力列陣一、位移模式與形函數(shù)正方形規(guī)則單元正方形單元與矩形單元的關(guān)系（無量綱坐標(biāo)）形函數(shù)的性質(zhì)：本點處值為1，它點處值為0第2節(jié)矩形雙線性單元(續(xù)1)二、應(yīng)變?nèi)?、?yīng)力平面應(yīng)力問題第3節(jié)六結(jié)點三角形單元一、位移模式與形函數(shù)取三角形頂點和邊中點作結(jié)點，位移模式為：六結(jié)點三角形單元用面積坐標(biāo)表示的形函數(shù)為：二、應(yīng)變第4節(jié)十結(jié)點三角形三次單元確定位移模式和形函數(shù)取三角形各邊三分點和面積坐標(biāo)相等的內(nèi)點作為結(jié)點——十結(jié)點三角形單元。十結(jié)點三角形單元第5節(jié)四結(jié)點四邊形等參單元一、母單元的形函數(shù)母單元三、位移模式四邊形單元二、坐標(biāo)變換由此可知：單元的位移場和單元形狀用相同的形函數(shù)，故稱等參數(shù)單元（等參元）四、導(dǎo)數(shù)的坐標(biāo)變換其中：3.5空間與軸對稱問題常用單元第2節(jié)四面體等參數(shù)單元第3節(jié)八結(jié)點六面體等參數(shù)單元第1節(jié)四面體常應(yīng)變單元第4節(jié)二十結(jié)點六面體等參數(shù)單元第5節(jié)軸對稱三角形單元第6節(jié)軸對稱等參數(shù)單元第1節(jié)四面體常應(yīng)變單元一、位移模式與形函數(shù)代數(shù)余子式四面體單元第1節(jié)四面體常應(yīng)變單元(續(xù)1)[I]三階單位陣,[N]形函數(shù)矩陣二、應(yīng)變矩陣三、應(yīng)力矩陣四、單元剛度矩陣五、單元等效結(jié)點荷載第2節(jié)四面體等參數(shù)單元二、坐標(biāo)的等參變換四面體單元一、體積坐標(biāo)三、四面體十結(jié)點單元第3節(jié)八結(jié)點六面體等參數(shù)單元一、形函數(shù)三、位移模式二、坐標(biāo)變換第4節(jié)二十結(jié)點六面體等參數(shù)單元一、形函數(shù)三、位移模式二、坐標(biāo)變換第4節(jié)二十結(jié)點六面體等參數(shù)單元(續(xù)1)[I]三階單位陣,[N]形函數(shù)矩陣五、應(yīng)變矩陣六、應(yīng)力矩陣四、導(dǎo)數(shù)的坐標(biāo)變換七、單元剛度矩陣第4節(jié)二十結(jié)點六面體等參數(shù)單元(續(xù)2)八、單元等效結(jié)點荷載三棱圓環(huán)單元的剛度矩陣機(jī)器中許多零件如飛輪、缸體等在幾何形狀上具有共同點，即它們都是某一平面圖形繞平面內(nèi)某一軸線旋轉(zhuǎn)而形成的回轉(zhuǎn)體，此平面稱為子午面。當(dāng)回轉(zhuǎn)體承受的載荷和支撐條件相對于該軸線也對稱時，分析求解這類零件的應(yīng)力、應(yīng)變問題，稱為軸對稱問題。軸對稱問題中，回轉(zhuǎn)體內(nèi)各點只有軸向和徑向兩個方向的位移，一個三維問題就簡化為二維問題。對這類零件的離散化可以在子午面內(nèi)進(jìn)行，最常用的是三角形截面的軸對稱單元，簡稱為三棱圓環(huán)單元。第5節(jié)軸對稱單元1.位移模式及形狀函數(shù)由于軸對稱的特點，不再用直角坐標(biāo)系（x,y,z）,而用柱面坐標(biāo)系（r,θ,z）描述物體。物體內(nèi)任意一點只有沿r和z方向的位移u和w，而無θ方向的位移。當(dāng)縱剖面上三角形單元(e)的三個節(jié)點總碼分別為I、j、k時，相應(yīng)的節(jié)點位移向量為與彈性力學(xué)平面問題中的三角形單元一樣，采用線性位移模式，則與平面問題的推導(dǎo)步驟完全相同，可以得到與平面問題相似的結(jié)果：其中形狀函數(shù)為：2.應(yīng)變與位移的關(guān)系（幾何矩陣）軸對稱問題中表示應(yīng)變與位移關(guān)系的幾何方程與彈性力學(xué)平面問題相似，所不同的是：單元內(nèi)一點在徑向產(chǎn)生的位移u，會在圓周方向引起相應(yīng)的應(yīng)變。一個半徑為r的圓環(huán)，周長為2r，環(huán)上的各點都沿各自的徑向產(chǎn)生位移u后，其圓周長度變成。因此，在圓周方向的應(yīng)變?yōu)橛捎诟鼽c在圓周方向上無位移，因而剪應(yīng)變和均為零。將應(yīng)變寫成向量的形式，根據(jù)上式，可推導(dǎo)出幾何方程

其中幾何矩陣3.彈性方程和彈性矩陣[D]依照廣義虎克定律，同樣可以寫出在軸對稱中應(yīng)力和應(yīng)變之間的彈性方程，其形式為所以彈性方程為式中應(yīng)力矩陣彈性矩陣4.單元剛度矩陣與平面問題相同，仍用虛功原理來建立單元剛度矩陣，其積分式為在柱面坐標(biāo)系中，

代入則即為軸對稱問題求單元剛度矩陣的積分式。與彈性力學(xué)平面問題的三角形單元不同，在軸對稱問題中，幾何矩陣[B]內(nèi)有的元素（如等）是坐標(biāo)r、z的函數(shù)，不是常量。因此，乘積不能簡單地從式的積分號中提出。如果對該乘積逐項求積分，將是一個繁重的工作。一般采用近似的方法：用三角形形心的坐標(biāo)值代替幾何矩陣[B]內(nèi)的r和z的值。用表示在形心處計算出的矩陣[B]。

其中：只要單元尺寸不太大，經(jīng)過這樣處理引起的誤差也不大。被積函數(shù)又成為常數(shù)，可以提出到積分號外面：

——三角形的面積。由式

可以看出，兩軸對稱的三角形單元，當(dāng)形狀、大小及方位完全相同而位置不同時，其剛度矩陣也不相同。距離主軸線越遠(yuǎn)的單元，其剛度越大。這與平面問題不一樣。

等效結(jié)點力

3.6板的彎曲有限元分析第2節(jié)矩形12自由度單元第1節(jié)薄板彎曲理論基礎(chǔ)第1節(jié)薄板彎曲理論基礎(chǔ)一、薄板基本假設(shè)平板內(nèi)力二、基本方程第1節(jié)薄板彎曲理論基礎(chǔ)(續(xù)1)第2節(jié)矩形12自由度單元矩形單元矩形單元結(jié)點位移、結(jié)點力列陣一、位移模式與形函數(shù)第四章離散分析及復(fù)雜單元的實現(xiàn)第一節(jié)有限元模型的建立應(yīng)用有限元法分析實際問題的目的是方便、快捷的得到可靠性的結(jié)果，其分析過程的有效性和計算結(jié)果的可靠性成為有限元法的兩大核心問題。它涉及到合理的有限元模型的建立，恰當(dāng)?shù)姆治龇桨负陀嬎惴椒ǖ倪x擇以及對計算結(jié)果的正確解釋和處理這三個方面。對一個實際問題進(jìn)行有限元分析的首要步驟是建立合理的有限元模型。其中最主要的是單元類型和形狀的選擇以及網(wǎng)格的安排和布置。1.1單元類型和形狀的選擇1、單元的類型一般來說，單元類型和形狀的選擇依賴于結(jié)構(gòu)或總體求解域的幾何特點和方程的類型以及求解所希望的精度等因素。根據(jù)分析對象的物理屬性，可選擇固體力學(xué)單元、流體力學(xué)單元、熱傳導(dǎo)單元等。在固體力學(xué)單元類型中，還可根據(jù)對象的幾何特點，選擇二維、三維實體單元，梁、板、殼結(jié)構(gòu)單元等。2、單元的形狀從單元的幾何形狀上區(qū)別，可以分為一維、二維和三維單元。一維單元可以是一直線，也可以是一曲線；二維單元可以是三角形單元、矩形單元或四邊形單元；三維單元可以是四面體、五面體、長方體或一般的六面體。具有軸對稱幾何形狀和軸對稱物理性質(zhì)的三維域能用二維單元繞對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的三維環(huán)單元進(jìn)行離散。真實的二次曲線.節(jié)點單元二次曲線的線性近似

(不理想結(jié)果).節(jié)點單元二次近似(接近于真實的二次近似擬合)

(最理想結(jié)果)..當(dāng)選擇了某種單元類型時，即確定地選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數(shù)單元形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，提供一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的“形狀”，規(guī)定了從節(jié)點DOF值到單元內(nèi)所有點處DOF值的計算方法。形狀的選擇與結(jié)構(gòu)構(gòu)形有關(guān)。三角形適合于不規(guī)則的形狀，而四邊形則比較適合于規(guī)則形狀。單元階次的選擇與求解域內(nèi)應(yīng)力變化的特點有關(guān)，應(yīng)力梯度大的區(qū)域，單元階次應(yīng)較高，否則即使網(wǎng)格密度很密也很難達(dá)到理想的結(jié)果。1.2網(wǎng)格的劃分1.網(wǎng)格疏密的合理布置在結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)力集中區(qū)域或應(yīng)力梯度高的區(qū)域應(yīng)布置較密的網(wǎng)格，在應(yīng)力變化平穩(wěn)的區(qū)域可布置較稀疏的網(wǎng)格。這樣可以同時滿足精度和效率的要求。一般情況下，為了使結(jié)果達(dá)到必要的精度，可以采取以下一些措施：1）對于應(yīng)力變化激烈的區(qū)域局部加密網(wǎng)格進(jìn)行重分析。這可以在原網(wǎng)格中進(jìn)行，也可以將高應(yīng)力區(qū)截取出來進(jìn)行網(wǎng)格加密，并將前一次全結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果作為邊界條件施加在局部加密的網(wǎng)格邊界上進(jìn)行重分析。后一種方法稱為總體——局部分析方法。2）采用自適應(yīng)分析方法。即對前一次分析的結(jié)果作出誤差估計，如果誤差超過規(guī)定，再由程序自動加密網(wǎng)格，或者提高單元階次后進(jìn)行重分析，直至滿足精度要求為止。2、疏密網(wǎng)格的過渡

在一個實際問題的有限元分析中，不同區(qū)域采用疏密不同的網(wǎng)格經(jīng)常是必要的。以二維問題的不同疏密劃分的四邊形網(wǎng)格為例，通常有以下三種方案。1）采用形狀不規(guī)則的單元，此方案的不足是可能單元形狀不好而影響局部的精度；2）采用三角形單元過渡，其不足是可能因引入不同形式的單元而帶來不便；3）采用多節(jié)點約束方法過渡。第二節(jié)單元劃分原則2.1梁、桿單元劃分的原則

兩個節(jié)點之間的桿構(gòu)成一個單元，節(jié)點可按以下原則劃分：1）桿件的交點一定要選為節(jié)點(梯子）；2）階梯形桿截面變化處一定取為節(jié)點（階梯軸）；3）支撐點與自由端要選為節(jié)點（懸臂梁）；4）集中載荷作用處最好選為節(jié)點；5）欲求位移的點要選為節(jié)點；6）單元長度最好基本相同。2.2平面單元劃分原則1.單元形狀：常用單元形狀有三角形單元、矩形單元和等參數(shù)單元。他們的特點是單元的節(jié)點數(shù)越多，其計算精度越高，三角形單元與等參數(shù)單元可適應(yīng)任意邊界。2.劃分原則：1）劃分單元的個數(shù)，視計算機(jī)要求的精度和計算機(jī)容量而定，單元分得越多，塊越小其精度越高，但需要的計算機(jī)容量越大，因此，須根據(jù)實際情況而定。2）劃分單元的大小，可根據(jù)部位不同有所不同，在位移或應(yīng)力變化大的部位取得單元要?。辉谖灰苹驊?yīng)力變化小的部位取得單元要大，在邊界比較平滑的部位，單元可大。3）劃分單元的形狀，一般均可取成三角形或等參元。對于平直邊界可取成矩形單元，有時也可以將不同單元混合使用，但要注意，必須節(jié)點與節(jié)點相連，切莫將節(jié)點與單元的邊相連。4）單元各邊的長不要相差太大，否則將影響求解精度。5）盡量把集中力或集中力偶的作用點選為節(jié)點。6）盡量利用對稱性，以減少計算量（有限元法的最大優(yōu)點在于使用了矩陣的方法）。

第三節(jié)平面問題的離散化離散化是用一個有限元網(wǎng)格代替給定的區(qū)域，進(jìn)行離散化時，需要選擇單元的數(shù)目、類型、形狀，確定網(wǎng)格的疏密。注意：選擇單元形狀的一條基本的考慮，就是形成的網(wǎng)格要盡可能準(zhǔn)確的代表原來的區(qū)域。1.平面問題離散化時的規(guī)定1）單元之間只在節(jié)點處相連；2）所有的節(jié)點都為鉸接點；3）單元之間的力通過節(jié)點傳遞；4）外載荷都要移植到節(jié)點上；5）在節(jié)點位移或某一分量可以不計之處，就必須在該節(jié)點安置一個鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。(約束)通過以上的規(guī)定來建立平面有限元分析模型。2.平面離散化的有關(guān)定性的規(guī)律1）結(jié)構(gòu)對稱性的利用2）劃分網(wǎng)格要兼顧精度和經(jīng)濟(jì)性3）不連續(xù)處的自然分割4）幾何形狀的近似與過渡圓角的處理5）單元形態(tài)的選擇6）邊界條件的確定7）單元和節(jié)點編號1）結(jié)構(gòu)對稱性的利用一般來說，作用在對稱結(jié)構(gòu)上的載荷系統(tǒng)分為對稱的、反對稱的和一般的三種情況。（1）結(jié)構(gòu)對稱，載荷對稱或反對稱這種情況下，對稱面上的邊界條件可按以下規(guī)則確定：A.在不同的對稱面上，將位移分量區(qū)分為對稱分量和反對稱分量。位移u關(guān)于ox軸是對稱的，關(guān)于oy軸是反對稱的；位移v關(guān)于ox軸是反對稱的，關(guān)于oy軸是對稱的；；B.將載荷也按不同的對稱面分別區(qū)分為對稱分量和反對稱分量；C.對于同一個對稱面，如載荷是對稱的，則對稱面上位移的反對稱分量為零，如載荷是反對稱的，則對稱面上位移的對稱分量為零。舉例：例1：如圖a所示為一具有中心圓孔的矩形薄板，在上下兩邊界上作用有均布載荷，試用對稱性建立有限元分析模型。解：ox軸和oy軸是結(jié)構(gòu)的對稱面，外載荷對稱于ox軸和oy軸，故可取結(jié)構(gòu)的四分之一作為有限元計算模型。不妨取第一象限內(nèi)的四分之一作為計算模型，如圖所示，如果進(jìn)行圖b所示的網(wǎng)格劃分，則應(yīng)進(jìn)行相應(yīng)的載荷離散化，下面根據(jù)上述三條規(guī)則建立對稱面上的邊界條件。（1）位移u關(guān)于ox軸是對稱的，關(guān)于oy軸是反對稱的；位移v關(guān)于ox軸是反對稱的，關(guān)于oy軸是對稱的；（2）在ox面上，載荷對稱，在oy面上，載荷對稱；（3）對ox面，載荷對稱，則反對稱位移分量v=0，因此，在ox面上只有x方向的移動位移，y方向不能移動，故可用鉛錘放置的滾動鉸支座表示該對稱面上的約束情況；對oy面，載荷對稱，則反對稱位移分量u=0，因此，在oy面上只有y方向的移動位移，x方向不能移動，故可用水平放置的滾動鉸支座表示該對稱面上的約束情況；將邊界條件移植到節(jié)點上，便得到圖c所示的有限元分析模型。練習(xí)圖所示為一具有中心方孔的矩形薄板，在板四邊作用均布剪力。試?yán)脤ΨQ性建立有限元模型。（2）結(jié)構(gòu)對稱，載荷一般的情況如果所分析的結(jié)構(gòu)對稱，但載荷是不對稱的，也不是反對稱的，這時可以將這種結(jié)構(gòu)系統(tǒng)簡化成載荷為對稱和/或反對稱情況的組合，仍可以簡化分析過程，提高分析的綜合效率。如圖a所示，結(jié)構(gòu)對稱，載荷一般，可將其載荷分解為圖b和圖c的組合。圖b為對稱結(jié)構(gòu)，載荷對x、y軸均為對稱，圖c為結(jié)構(gòu)對稱，載荷對x軸反對稱、對y軸對稱，此時可取相同的四分之一進(jìn)行研究，分別施加對稱面上節(jié)點的邊界條件，進(jìn)行兩次分析計算，并將計算結(jié)果迭加起來，即可得到原結(jié)構(gòu)四分之一的解答，進(jìn)而得出整個結(jié)構(gòu)的解答。圖2（a）所示為正方形薄板，其板厚度為

，四邊受到均勻荷載的作用，荷載集度為

，同時在

方向相應(yīng)的兩頂點處分別承受大小為

且沿板厚度方向均勻分布的荷載作用。設(shè)薄板材料的彈性模量為

，泊松比

。試?yán)脤ΨQ性，取圖（b）所示

結(jié)構(gòu)作為研究對象，并將其劃分為4個面積大小相等、形狀相同的直角三角形單元。給出可供有限元分析的計算模型（即根據(jù)對稱性條件，在圖（b）中添加適當(dāng)?shù)募s束和荷載，并進(jìn)行單元編號和結(jié)點編號）。（3）對稱性利用中的特殊問題利用結(jié)構(gòu)的對稱性取某一部分建立有限元模型時，往往會產(chǎn)生約束不足現(xiàn)象。例如，若取上例中圖c的四分之一建立有限元時，根據(jù)上述分析，在兩對稱面上應(yīng)加水平放置的滾動鉸支座，因此模型在垂直方向存在剛體位移。對這種約束不足問題，利用有限元分析時，必須增加附加約束，以消除模型的剛體位移。在本例中，垂直方向可以用剛度很小的桿單元或邊界彈簧單元連接到模型某節(jié)點上，使得既消除了模型的剛體位移，又不致于因附加的桿單元或邊界彈簧單元剛度太大而影響結(jié)構(gòu)原有的變形狀態(tài)。2）劃分網(wǎng)格要兼顧精度和經(jīng)濟(jì)性在位移函數(shù)收斂的前提下，網(wǎng)格劃的越密（即單元尺寸越?。?，計算結(jié)果越精確，另一方面，網(wǎng)格越密，單元越多，計算時間和費用將增加，同時也會受到計算機(jī)容量的限制。因此劃分網(wǎng)格要兼顧精度和經(jīng)濟(jì)性。而且，經(jīng)驗表明，當(dāng)網(wǎng)格加密到一定程度后，再加密網(wǎng)格，精度的提高不明顯，這將造成經(jīng)濟(jì)上的浪費。合理的網(wǎng)格布局應(yīng)同結(jié)構(gòu)的應(yīng)力梯度（應(yīng)力變化率）相一致。應(yīng)根據(jù)經(jīng)驗或解析法的理論知識，在應(yīng)力急劇變化（應(yīng)力梯度大）的區(qū)域，單元小些，網(wǎng)格密些，而且網(wǎng)格劃分應(yīng)由密到疏逐漸過渡。以上是對結(jié)構(gòu)的靜力分析而言的。如果對結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，一般應(yīng)選擇較為均勻的網(wǎng)格分布。加密網(wǎng)格時一般應(yīng)遵循以下幾點：1.所有以前的網(wǎng)格（粗網(wǎng)格）應(yīng)包含于當(dāng)前加密的網(wǎng)格（細(xì)網(wǎng)格）中；2.加密網(wǎng)格過程中，單元類型不變，即單元位移函數(shù)不變。這就省去了重新推導(dǎo)單元位移函數(shù)、單元剛度矩陣、單元載荷向量等麻煩；3.比較網(wǎng)格加密前后的計算結(jié)果，如果前后兩次的計算結(jié)構(gòu)有較大差異，表明了加密網(wǎng)格的優(yōu)越性和有繼續(xù)加密網(wǎng)格的必要性。如果前后兩次的計算結(jié)果差別很小，表明沒有繼續(xù)加密網(wǎng)格的必要，計算結(jié)果已收斂。3）不連續(xù)處的自然分割工程結(jié)構(gòu)在幾何形狀、載荷分布和材料特性等方面存在著許多不連續(xù)處。一般情況下，在離散化過程中應(yīng)把有限元模型的節(jié)點、單元的分界線或分解面設(shè)置在相應(yīng)的不連續(xù)處。如圖所示結(jié)構(gòu)，集中載荷P的作用點A處應(yīng)設(shè)置節(jié)點，其優(yōu)點是不需進(jìn)行載荷移植，節(jié)省了計算時間，提高了計算精度。分布載荷的突變處（B、C、D處）也應(yīng)設(shè)置節(jié)點，保證在任一單元的邊界上分布載荷是連續(xù)的。幾何形狀有突變的部位應(yīng)設(shè)置單元的分界線或分解面。對于平面應(yīng)力問題，以厚度突變處作為單元的分界線，以保證每個單元厚度均為常數(shù)。對非均質(zhì)材料，在不同材料的自然分界線上應(yīng)設(shè)置單元的分界線，以保證各單元的物理性質(zhì)均勻。另外，在幾何、載荷和材料性能突變處網(wǎng)格應(yīng)加密，這是因為場函數(shù)在這些地方易產(chǎn)生較大的變化。例如，在凹角處往往產(chǎn)生應(yīng)力集中，所以在凹角處應(yīng)取較小的單元。一個網(wǎng)格中，單元尺寸不易相差太大，單元從大到小逐步過渡。為了減少工作量，可以采用局部加密網(wǎng)格的方法。在局部加密區(qū)域邊界上，前一次網(wǎng)格計算出的節(jié)點位移作為本次計算局部加密網(wǎng)格區(qū)域上的邊界條件。4）幾何形狀的近似與過渡圓角的處理離散化使結(jié)構(gòu)的邊界變成了單元邊界的集合，如果用直線單元邊界代替結(jié)構(gòu)的曲線邊界，將產(chǎn)生結(jié)構(gòu)幾何形狀的離散化誤差。幾何形狀的離散化誤差對機(jī)械結(jié)構(gòu)中大量存在的過渡圓角的影響尤為突出。過渡圓角附近一般存在應(yīng)力集中，而應(yīng)力集中對過渡圓角幾何形狀的誤差異常敏感，而且過渡圓角處的應(yīng)力集中一般又是分析研究的目標(biāo)。因此，在有限元分析中要特別注意過渡圓角幾何形狀的離散化誤差問題。要減少幾何形狀離散化誤差，可以采用較小的單元，較密的網(wǎng)格。但是并非所有過渡圓角均須采取措施，還應(yīng)考慮應(yīng)力集中程度、結(jié)構(gòu)分析的目的和要求等因素。如圖a所示的槽形結(jié)構(gòu)，共有A、B、C、D四處過渡圓角。靜力分析時，由于C、D兩處有較大的應(yīng)力集中，因此，在這兩個圓角處應(yīng)采用較密集的單元網(wǎng)格，而在A、B兩處，由于應(yīng)力梯度小，幾何形狀誤差對計算結(jié)果影響不大，因此，可以采用較稀疏的單元網(wǎng)格，靜力分析時的網(wǎng)格如圖b所示；固有特性分析時，則可采用圖c所示較為規(guī)則、均勻的網(wǎng)格布局。5）單元形態(tài)的選擇單元形態(tài)包括單元形狀、邊中節(jié)點的位置、細(xì)長比等，在結(jié)構(gòu)離散化過程中必須合理選擇。一般來說，為了保證有限元分析的精度，必須是單元的形態(tài)盡可能的規(guī)則。對于三角形單元，三條邊長盡量接近，不應(yīng)出現(xiàn)大的鈍角、大的邊長。這是因為根據(jù)誤差分析，應(yīng)力和位移的誤差都和單元的最小內(nèi)角的正弦成反比。因而，等邊三角形單元的形態(tài)最好，它與等腰直角三角形單元的誤差之比為sin45°:sin60°=1:1.23。但是為了適應(yīng)彈性體邊界，以及單元由小到大逐漸過渡，不可能是所有的三角形單元都接近等邊三角形。實際上，常常使用等腰直角三角形。對于矩形單元來說，細(xì)長比不宜過大。細(xì)長比是指單元最大尺寸和最小尺寸之比。最優(yōu)細(xì)長比在很大程度上取決于不同方向上位移梯度的差別。梯度較大的方向，單元尺寸要小些，梯度小的方向，單元尺寸可以大一些；如果各方向上位移梯度大致相同，則細(xì)長比越接近1，精度越高。有文獻(xiàn)推薦，一般情況下，為了得到較好的位移結(jié)果，細(xì)長比不應(yīng)超過7；為了獲得較好的應(yīng)力結(jié)果，細(xì)長比不應(yīng)超過3。一般情況下，正方形單元的形態(tài)最好。對于一般的四邊形單元應(yīng)避免過大的邊長比，過大的邊長比會導(dǎo)致病態(tài)的方程組。6）邊界條件的確定確定邊界條件是建立有限元模型的重要一環(huán)，合理確定有限元模型的邊界條件是成功地進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元分析的基本要求。一般情況下，建模對象的邊界條件是明確的。根據(jù)力學(xué)模型的邊界條件可以很容易確定其有限元模型的邊界條件。例如電線桿插入地基的一端為固定端，橋梁一端為固定鉸支座，另一端為滾動較支座。但是，在機(jī)械工程中，建模對象往往是整個結(jié)構(gòu)中的一部分，在建立有限元模型，確定其邊界條件時，必須考慮其余部分的影響。這方面主要考慮如下兩類問題。1.邊界位置的確定在建立連續(xù)彈性體局部區(qū)域的有限元模型時，往往取該局部區(qū)域為隔離體，取其隔離邊界條件為零位移約束，并通過試探校正確定零位移邊界條件的位置。例如，進(jìn)行齒輪齒有限元分析時，取一個輪齒的局部區(qū)域為隔離體，如圖所示，設(shè)定PQRS的邊界條件為零位移約束，通過改變邊界深度PQ和邊界寬度PS研究邊界位置對齒根最大拉應(yīng)力的影響，最后確定合理的邊界條件。2.邊界條件的確定有些分析對象的邊界位置是零部件的連接部位。在建立有限元模型時，必須研究如何給定邊界位置上的邊界條件，以反映相連接結(jié)構(gòu)的影響。確定這種問題的邊界條件是用簡單支撐連桿替代相連接結(jié)構(gòu)的作用，使替代后結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)剛度等價于原結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)剛度。如分析機(jī)床主軸和傳動軸時，可以利用等剛度的桿單元替代軸承和支座的作用，使軸的分析中包含有軸承和支座的影響。7）單元和節(jié)點編號當(dāng)利用整體剛度矩陣的帶狀特征進(jìn)行存貯和求解方程組時，單元節(jié)點編號直接影響系統(tǒng)整體剛度矩陣的半帶寬，也就是影響在計算機(jī)中存貯信息的多少、計算時間和計算費用。因而，要求合理的節(jié)點編號使帶寬極小化。半帶寬的計算公式：半帶寬NB=（相鄰節(jié)點號的最大差值+1）×節(jié)點自由度由此，進(jìn)行網(wǎng)格節(jié)點編號時應(yīng)使網(wǎng)格中相鄰節(jié)點號的最大差值最小，這樣才能保證半帶寬最小。試比較下圖。圖所示網(wǎng)格的四種編號方案中，單元節(jié)點標(biāo)號的最大差值分別為5，3，5，9。顯然，圖2方案要合理。由此得出結(jié)論：沿著短邊方向按列-列-列-列地順序編號比沿著長度方向按行-行-行-行地順序要合理（半帶寬小）如果遇到具有中間節(jié)點的單元或空間問題，須借助于帶寬極小化的優(yōu)化程序來對節(jié)點重新編號，先進(jìn)的有限元程序包一般都配備有這樣的程序。對單元的編號只影響整體剛度矩陣的裝配時間。由于這一時間在有限元運算時間中只占很小的比例，因而對于單元的編號并無特殊的要求。上半個斜帶形區(qū)中，每行具有的元素個數(shù)稱為半帶寬，用NB表示，可用下式計算：NB=（相鄰節(jié)點總碼的最大差值+1）×節(jié)點自由度數(shù)對彈性力學(xué)平面問題NB=（相鄰節(jié)點總碼的最大差值+1）×2；在半帶存儲時只需從總體剛度矩陣[K]中取出上半個斜帶中的元素存儲在圖4-13所示的豎帶矩陣中即可。圖4-12、4-13因為[K]有n×n個元素，有n×NB個元素，所以二者元素之比為NB/n。可見，半帶寬越窄，非零元素的個數(shù)越少，而進(jìn)行存儲時只需對非零元素進(jìn)行存儲，因此所需內(nèi)存量越小。1182.（12分）圖示彈性力學(xué)平面問題，采用三角形常應(yīng)變元，網(wǎng)格劃分如圖，試求：(1)對圖中網(wǎng)格進(jìn)行結(jié)點編號，并使其系統(tǒng)總剛度矩陣的帶寬最?。?2)計算在你的結(jié)點編號下的系統(tǒng)剛度矩陣的半帶寬；(3)根據(jù)圖中結(jié)構(gòu)的邊界約束狀態(tài)，指出那些結(jié)點自由度的位移已知并且為何值。題2圖解：3

彈性力學(xué)平面問題

有限元分析需注意的問題

1單元尺寸

單元尺寸的概念包括兩方面：一是單元本身的大小，另一個是指一個單元內(nèi)自身幾個尺寸之間的比率。單元本身的尺寸小，所得到的精度高，但所需的計算量大，所以在應(yīng)力變化大的區(qū)域內(nèi)，單元尺寸要小，其它區(qū)域可稍大些。此外，一個單元中最大與最小的尺寸要盡量接近。例如，三角形單元的三條邊長應(yīng)盡量接近。形狀的選擇與結(jié)構(gòu)構(gòu)形有關(guān)。三角形適合于不規(guī)則的形狀，而四邊形則比較適合于規(guī)則形狀。單元階次的選擇與求解域內(nèi)應(yīng)力變化的特點有關(guān)，應(yīng)力梯度大的區(qū)域，單元階次應(yīng)較高，否則即使網(wǎng)格密度很密也很難達(dá)到理想的結(jié)果。2節(jié)點位置

若物體的幾何形狀、材料性質(zhì)和外部條件（如載荷等）無突變時，物體應(yīng)等分成幾個單元，節(jié)點呈等距分布。若存在不連續(xù)性，節(jié)點應(yīng)選在這些突變處。此外還應(yīng)注意的是劃分單元時節(jié)點不應(yīng)該選擇在其它單元的邊界中部，如圖4-16所示。圖4-163單元數(shù)量

單元數(shù)量取決于要求的精度、單元的尺寸及自由度的數(shù)量。單元數(shù)量大，計算出來的精度就高，但自由度數(shù)也大，計算機(jī)的內(nèi)存量有時不夠。所以確定單元數(shù)量是一定要全面考慮。

4節(jié)點的編號

前面提到過，半帶寬越窄，所需內(nèi)存量越小。所以在節(jié)點編號是應(yīng)盡量使帶寬達(dá)到最小。例如圖4-17所示薄板對圖（a）所示的編號方法，半寬帶NB=(3+1)×2=8,半帶存儲時的內(nèi)存量為n×NB=36×8=288；對圖（b）所示的編號方法，半寬帶NB=(6+1)×2=14,半帶存儲時的內(nèi)存量為n×NB=36×14=504。所以節(jié)點的編號方式對計算機(jī)的內(nèi)存量有很大的影響。另外，從這個例子也可以看出，對圖（a）的情況來說，如果計算時存儲總體剛度矩陣[K]中的全部元素，則所需內(nèi)存為n×n=36×36=1296，這比半帶存儲所需內(nèi)存多了近一倍。下面通過一個例題將整個過程再熟悉一遍。5網(wǎng)格的劃分1.網(wǎng)格疏密的合理布置在結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)力集中區(qū)域或應(yīng)力梯度高的區(qū)域應(yīng)布置較密的網(wǎng)格，在應(yīng)力變化平穩(wěn)的區(qū)域可布置較稀疏的網(wǎng)格。這樣可以同時滿足精度和效率的要求。一般情況下，為了使結(jié)果達(dá)到必要的精度，可以采取以下一些措施：1）對于應(yīng)力變化激烈的區(qū)域局部加密網(wǎng)格進(jìn)行重分析。這可以在原網(wǎng)格中進(jìn)行，也可以將高應(yīng)力區(qū)截取出來進(jìn)行網(wǎng)格加密，并將前一次全結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果作為邊界條件施加在局部加密的網(wǎng)格邊界上進(jìn)行重分析。后一種方法稱為總體——局部分析方法。2）采用自適應(yīng)分析方法。即對前一次分析的結(jié)果作出誤差估計，如果誤差超過規(guī)定，再由程序自動加密網(wǎng)格，或者提高單元階次后進(jìn)行重分析，直至滿足精度要