靜態(tài)電磁場(chǎng)分析

第六講靜態(tài)電磁場(chǎng)分析分類認(rèn)識(shí)靜態(tài)電磁場(chǎng)問題靜態(tài)電場(chǎng)按場(chǎng)的類型靜態(tài)磁場(chǎng)按電荷靜止或運(yùn)動(dòng)情況分類靜電場(chǎng)恒定電流場(chǎng)靜止

=0勻速運(yùn)動(dòng)

有限一、靜電場(chǎng)分析一、靜電場(chǎng)分析1、靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件

邊界條件（一般性問題）——邊界微分形式：本構(gòu)關(guān)系——環(huán)境

基本方程（一般性問題）——源積分形式：或一、靜電場(chǎng)分析2、靜電場(chǎng)問題的分析求解方法方法一：場(chǎng)源積分法體電荷：面電荷：線電荷：方法缺點(diǎn)：1、難以得到解析解；

2、只適用于無(wú)界空間靜電問題（不含邊界條件）。不常用！一、靜電場(chǎng)分析方法二：應(yīng)用靜電場(chǎng)的高斯定理方法要求：存在閉合積分曲面(高斯面)，在整個(gè)或者分段高斯面上，或?yàn)楹愣ㄖ?。方法?yōu)點(diǎn)：可以得到靜電問題的解析解。方法缺點(diǎn)：只適用于電荷分布呈對(duì)稱分布（球?qū)ΨQ、軸對(duì)稱、面對(duì)稱）的靜電問題求解。常用！2、靜電場(chǎng)問題的分析求解方法一、靜電場(chǎng)分析方法三：間接求解方法電位函數(shù)電位函數(shù)與電場(chǎng)關(guān)系：方法優(yōu)點(diǎn)：將求矢量函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求標(biāo)量函數(shù)的問題2、靜電場(chǎng)問題的分析求解方法靜電場(chǎng)分析典型例題【例1】

在無(wú)限大真空中，已知電位，求對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度及電荷分布。解:電場(chǎng)強(qiáng)度為在處，電荷密度為了確定在處是否存在點(diǎn)電荷，做一半徑為的高斯球面。則由高斯定理，可求得高斯面內(nèi)包圍總電荷為靜電場(chǎng)分析典型例題（續(xù)上例）而在球面內(nèi)的體分布電荷為則在處的電荷量為【例2】?jī)蓧K無(wú)限大接地導(dǎo)體板如圖放置，在兩導(dǎo)體板間放置一面密度為的均勻面電荷分布。求導(dǎo)體板間的電位及電場(chǎng)。解一：極板間電荷滿足一維拉普拉斯方程由電位邊界條件：靜電場(chǎng)分析典型例題（續(xù)上例）故有：解以上四式，最終可得：靜電場(chǎng)分析典型例題解二：由于電荷為無(wú)限大面電荷，故電場(chǎng)方向始終指向x方向，且電場(chǎng)均勻分布。由高斯定理有：由電位關(guān)系有：靜電場(chǎng)分析典型例題設(shè)極板間電場(chǎng)強(qiáng)度分別為，則由邊界條件知在邊界兩邊連續(xù)。解：設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量為Q?！纠?】同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a,b，導(dǎo)體間部分填充介質(zhì)，介質(zhì)介電常數(shù)為，如圖所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為U。求：1)導(dǎo)體間單位長(zhǎng)度內(nèi)的電場(chǎng)能量2)內(nèi)外導(dǎo)體間電容。靜電場(chǎng)分析典型例題(續(xù)上例）兩種方法求電場(chǎng)能量：或應(yīng)用導(dǎo)體系統(tǒng)能量求解公式靜電場(chǎng)分析典型例題【例4】導(dǎo)體球殼，內(nèi)徑為b，外徑為c，球殼球心為半徑為a導(dǎo)體球，導(dǎo)體球帶電量Q，外導(dǎo)體接地。中間充滿兩種介質(zhì)，介電系數(shù)分別為ε1和ε2，介質(zhì)分界面如圖所示。求：（1）空間場(chǎng)分布E(r)；

（2）空間電位分布；（3）自由電荷分布；（4）系統(tǒng)電場(chǎng)能量;(5)內(nèi)外導(dǎo)體間電容。解：由邊界條件知，連續(xù)。（1）r<a，該區(qū)域?yàn)閷?dǎo)體空間，故：=0；

a<r<b，由高斯定理有靜電場(chǎng)分析典型例題（續(xù)上例）靜電場(chǎng)分析典型例題b<r<c，該區(qū)域?yàn)閷?dǎo)體空間，故：=0；

r>c，（2）求電位分布。a<r<b，內(nèi)導(dǎo)體表面上自由電荷面密度為（3）求電荷分布。電荷分布于導(dǎo)體表面。（續(xù)上例）靜電場(chǎng)分析典型例題外導(dǎo)體的內(nèi)表面上自由電荷面密度為（4）總電場(chǎng)能量為（5）求電容。內(nèi)外導(dǎo)體間電位差為課外練習(xí)題提示：填充介質(zhì)前后，基板上帶電量不變。分類認(rèn)識(shí)靜態(tài)電磁場(chǎng)問題靜態(tài)電場(chǎng)按場(chǎng)的類型靜態(tài)磁場(chǎng)按電荷靜止或運(yùn)動(dòng)情況分類靜電場(chǎng)恒定電流場(chǎng)靜止

=0勻速運(yùn)動(dòng)

有限二、恒定電流場(chǎng)分析二、恒定電流場(chǎng)分析

邊界條件（一般性問題）——邊界微分形式：本構(gòu)關(guān)系——環(huán)境

基本方程（一般性問題）——源積分形式：或1、恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件

基本物理量二、恒定電流場(chǎng)分析2、恒定電場(chǎng)的分析求解方法（1）利用歐姆定律（導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系）表示出電場(chǎng)強(qiáng)度

基于電流求解恒定電場(chǎng)的方法（2）用已知量（通常是激勵(lì)電壓）表示出未知量二、恒定電流場(chǎng)分析2、恒定電場(chǎng)的分析求解方法

基于電位求解恒定電場(chǎng)的方法電位函數(shù)滿足Laplace方程恒定電場(chǎng)中電位的邊界條件二、恒定電流場(chǎng)分析2、恒定電場(chǎng)的分析求解方法

靜電比擬法求解恒定電場(chǎng)的方法對(duì)應(yīng)物理量靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)基本方程靜電場(chǎng)（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)恒定電場(chǎng)（電源外）恒定電流場(chǎng)典型例題【例1】同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a和b，填充介質(zhì)≠0，具有漏電現(xiàn)象。同軸線外加電源電壓為U，求漏電介質(zhì)內(nèi)的、E和單位長(zhǎng)度的漏電電導(dǎo)。解一：設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I恒定電流場(chǎng)典型例題【例1】同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a和b，填充介質(zhì)≠0，具有漏電現(xiàn)象。同軸線外加電源電壓為U，求漏電介質(zhì)內(nèi)的、E和單位長(zhǎng)度的漏電電導(dǎo)。解二：內(nèi)外導(dǎo)體內(nèi)Ez=0，且表面是等位面，介質(zhì)中電位只是r的函數(shù)，滿足拉氏方程為恒定電流場(chǎng)典型例題【例1】同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a和b，填充介質(zhì)≠0，具有漏電現(xiàn)象。同軸線外加電源電壓為U，求漏電介質(zhì)內(nèi)的、E和單位長(zhǎng)度的漏電電導(dǎo)。解三：填充理想介質(zhì)時(shí)：內(nèi)外導(dǎo)體電勢(shì)差：由靜電比擬，得同軸線內(nèi)外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度漏電導(dǎo)為：恒定電流場(chǎng)典型例題【例2】一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。

解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z方向。恒定電流場(chǎng)典型例題【例3】在一塊厚度為h的導(dǎo)電板上，由兩個(gè)半徑為r1

和

r2

的圓弧和夾角為

的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計(jì)算沿方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電板的電導(dǎo)率為σ。解：設(shè)在沿方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿

方向流動(dòng)，而且電流密度是隨

變化的，電位只是變量的函數(shù)。環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr20σ三、恒定磁場(chǎng)分析1、恒定磁場(chǎng)基本方程和邊界條件

邊界條件（一般性問題）——邊界微分形式：本構(gòu)關(guān)系——環(huán)境

基本方程（一般性問題）——源積分形式：或三、恒定磁場(chǎng)分析2、恒定磁場(chǎng)分析求解方法方法一：場(chǎng)源積分法不常用！方法缺點(diǎn)：1、難以得到解析解；

2、只適用于無(wú)界空間靜電問題（不含邊界條件）。三、恒定磁場(chǎng)分析2、恒定磁場(chǎng)分析求解方法方法二：由安培環(huán)路定律求解方法要求：存在閉合積分路徑，在整個(gè)或者分段積分路徑上，或?yàn)楹愣ㄖ?。方法?yōu)點(diǎn)：可以得到問題的解析解。方法缺點(diǎn)：只適用于電流分布呈對(duì)稱分布（軸對(duì)稱）的恒定電場(chǎng)問題求解。常用！三、恒定磁場(chǎng)分析2、恒定磁場(chǎng)分析求解方法方法三：間接求解方法矢量磁位方法優(yōu)點(diǎn)：可以任意選擇規(guī)定磁矢位的散度。庫(kù)倫規(guī)范：恒定磁場(chǎng)典型例題【例1】求雙傳輸線單位長(zhǎng)度自感。設(shè)導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線間距為D。(D>>a)解：由安培環(huán)路定律，可以求得在導(dǎo)體間磁感應(yīng)強(qiáng)度分布：PII則導(dǎo)體間單位長(zhǎng)度的磁通量為恒定磁場(chǎng)典型例題【例2】求內(nèi)外半徑分別為a和b的無(wú)限長(zhǎng)同軸線單位長(zhǎng)度的自感。解：在內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)，設(shè)導(dǎo)體內(nèi)電流為I，由安培環(huán)路定律a0b則導(dǎo)體內(nèi)單位長(zhǎng)度磁能為在內(nèi)外導(dǎo)體之間：恒定磁場(chǎng)典型例題【例2】求內(nèi)外半徑分別為a和b的無(wú)限長(zhǎng)同軸線單位長(zhǎng)度的自感。a0b總的自感為(續(xù)上例)恒定磁場(chǎng)典型例題【例3】無(wú)限長(zhǎng)細(xì)導(dǎo)線中載有電流I1，附近有一共面的矩形線框，載有電流I2，如圖a。求：（1）系統(tǒng)互感；（2）