剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

（RotationofRigidBodyaboutaFixedAxis）

第五章剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)§5.1剛體的運(yùn)動(dòng)§5.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律§5.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

§5.4轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例§5.5定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系§5.6剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律§5.7旋進(jìn)CABF由于彈性，力在連續(xù)體內(nèi)傳播需要一定時(shí)間：§5.1剛體的運(yùn)動(dòng)一.剛體（rigidbody）的概念t

t

+t才感受到力固體中彈性波的速度（k—?jiǎng)哦龋┤魐，則k，此時(shí)物體有無限的剛性，它受作用力不會(huì)變形，因而可以瞬時(shí)傳遞力。我們把這種不能變形的物體稱為剛體。

剛體是理想化模型，但是它有實(shí)際的意義。而且考慮到剛體的特點(diǎn)，規(guī)律的表示還可較一剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，其上各質(zhì)點(diǎn)間的相對位置保持不變。質(zhì)點(diǎn)系的規(guī)律都可用于剛體，般的質(zhì)點(diǎn)系有所簡化。通常v固體

103m/s，所以只要我們討論的運(yùn)動(dòng)過程的速度比此慢得多，就可把固體視為剛體。的直線在運(yùn)動(dòng)各個(gè)時(shí)刻的位置都彼此平行。二、剛體的運(yùn)動(dòng)形式1.平動(dòng)（translation）：剛體做平動(dòng)時(shí)，可用質(zhì)心或其上任何一平動(dòng)是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一。2.轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation）：

轉(zhuǎn)動(dòng)也是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一，它又可分為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。連接剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來代表整體的運(yùn)動(dòng)?！ㄝS轉(zhuǎn)動(dòng)：且各圓心都在同一條固定的直線（轉(zhuǎn)軸）上?！c(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：整個(gè)剛體繞過該定點(diǎn)的某一瞬時(shí)軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。

3.平面運(yùn)動(dòng)：剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都平行于某一4.一般運(yùn)動(dòng)：剛體不受任何限制的的任意運(yùn)動(dòng)。它可分解為以下兩種剛體的基本運(yùn)動(dòng)：▲隨基點(diǎn)O（可任選）的平動(dòng)▲繞通過基點(diǎn)O的瞬時(shí)軸的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)中各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中剛體上只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，固定平面的運(yùn)動(dòng)。··OO·OO·轉(zhuǎn)動(dòng)與基點(diǎn)的選取無關(guān)。兩種分解，基點(diǎn)選取不同，例如：平動(dòng)可以不同，

動(dòng)力學(xué)中，常選質(zhì)心為基點(diǎn)。三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述（運(yùn)動(dòng)學(xué)問題）1、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)（rotationaboutafixedpoint）（1）角量的描述

為反映瞬時(shí)軸的方向及剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢和轉(zhuǎn)向，引入角速度矢量轉(zhuǎn)動(dòng)卻相同，或與轉(zhuǎn)向成右螺旋關(guān)系。變化情況，引入角加速度矢量。（不一定沿著瞬時(shí)軸）×

基點(diǎn)OP瞬時(shí)軸剛體ω的方向沿瞬時(shí)軸，為反映剛體角速度的（2）線量和角量的關(guān)系vωrrP×

基點(diǎn)O瞬時(shí)軸剛體旋轉(zhuǎn)加速度向軸加速度2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（rotationaboutafixedaxis）轉(zhuǎn)軸固定，。和和退化為代數(shù)量O剛體vP×rr定軸參考方向θz例1：一條繩索繞過一定滑輪拉動(dòng)一升降機(jī)，滑輪半徑r=0.5m，如果升降機(jī)從靜止開始以加速度a=0.4m/s2勻加速上升，求：1）滑輪的角加速度。2）開始上升后，t=5s末滑輪的角速度。3）在這5s內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。4）開始上升后，t1=1s末滑輪邊緣上一點(diǎn)的加速度（假設(shè)繩索和滑輪之間不打滑）?！?.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

把剛體看作無限多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。令—轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（對z軸）（rotationalinertia）vi剛體O×ω,ri定軸zmiΔriFivi剛體O×ω,αri定軸zθimiΔri則即—轉(zhuǎn)動(dòng)定律其中定軸情況下，可不寫下標(biāo)z，記作：與牛頓第二定律相比，有：M

相應(yīng)F

，J

相應(yīng)m

，相應(yīng)a

?！?.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算dmrm轉(zhuǎn)軸J由質(zhì)量對軸的分布決定。1、形狀和大小均勻的剛體總質(zhì)量越大，J越大；2、質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，J越大；3、同一剛體，轉(zhuǎn)軸不同，J就不同一、常用的幾種轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示式

RmO細(xì)圓環(huán)：RmC均勻圓盤：CAm均勻細(xì)桿：二、計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾條規(guī)律1、對同一軸J具有可疊加性

2、平行軸定理JCdmJC平行×如何證明平行軸定理？平行軸定理：JD=JC+md2證明：過質(zhì)元作一平面與平行軸垂直，此面與軸的交點(diǎn)分別為C和D。C在通過質(zhì)心的軸上。CmiRdri’riDx3、對薄平板剛體的正交軸定理rimi

ΔxzyiyxiO[例2]求對薄圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，已知圓盤yxz

圓盤RCm

解：思考下圖中的Jz如何求？zlDmCaazm20§5.4轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例定軸

O·Rthmv0=0繩(不可伸長)例3：已知：R=0.2m，m=1kg，vo=0，h=1.5m，繩輪間無相對滑動(dòng)，下落時(shí)間t=3s。求：輪對O軸J=？

解：動(dòng)力學(xué)關(guān)系：對輪：′T=–TmgmaαRGTN·對m：

運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：(3)(4)(1)(2)(1)-(4)聯(lián)立解得：分析結(jié)果：●單位對；●

h、m

一定，J↑→t↑，●若J=0，得代入數(shù)據(jù)：正確。合理；此為一種用實(shí)驗(yàn)測轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法。例：一根長l，質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度？§5.5定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系一、力矩的功

力矩的空間積累效應(yīng)：

力矩的功：dzx·軸rF二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

令轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：三、剛體的重力勢能四、應(yīng)用舉例對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能×ChChiEp=0miΔ守恒定律仍成立。例6：利用功能關(guān)系重解例3。求定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。定軸

O·Rhmv0=0繩(不可伸長)[例7]已知：如圖示，。θ··ω軸OCABl,ml/4求：桿下擺到角時(shí)，解：（桿+地球）系統(tǒng)，(1)(2)(1)、(2)解得：只有重力作功，E守恒。角速度軸對桿作用力均勻直桿質(zhì)量為m，長為l，初始水平靜止。軸光滑，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求軸力：(3)(4)(5)(6)BCθO·Al,mθNlNtNmgaCtaCllt·

由(3)(4)(5)(6)解得：βCθO··ωABl,mNlNtNlt§5.6剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒定律討論力矩對時(shí)間的積累效應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)系：對點(diǎn)：對軸：剛體：——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律：對剛體系，M外z=0

時(shí)，，此時(shí)角動(dòng)量可在系統(tǒng)內(nèi)部各剛體間傳遞，而卻保持剛體系對轉(zhuǎn)軸的總角動(dòng)量不變。慣性導(dǎo)航中的定向儀、西漢時(shí)期“香爐”例8：一根長l，質(zhì)量為M的均勻直棒，其一端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止在豎直位置。今有一子彈，質(zhì)量為m，以水平速度v0射入棒的下端而不復(fù)出。求棒和子彈開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度。v0思考：木棒和子彈系統(tǒng)總動(dòng)量是否守恒？質(zhì)量為M1＝24kg的圓輪，可繞水平光滑定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一輕繩纏繞于輪上，另一端通過質(zhì)量為M2＝5kg的圓盤形定滑輪懸有m＝10kg物體．求當(dāng)重物由靜止開始下降了h＝0.5m時(shí)，(1)物體的速度；

(2)繩中張力．

(設(shè)繩與定滑輪間無相對滑動(dòng)，圓輪、定滑輪繞通過輪心且垂直于橫截面的水平光滑軸)×MdL·mgθOω∥L從而產(chǎn)生旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)。玩具陀螺的旋進(jìn)：只改變方向而不改變大小，§5.7旋進(jìn)旋進(jìn)：高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象。旋進(jìn)角速度：dΩLOHomework習(xí)題：5.115.19

第五章結(jié)束牛頓力學(xué)全部結(jié)束討論題《指導(dǎo)》§1.5三.2第1題：個(gè)有固定軸的剛體上，試判斷下列說法的對錯(cuò)。（1）兩個(gè)力都平行于軸時(shí)，合力矩一定為零。答：對。（每個(gè)力對軸的力矩皆為零）（2）兩個(gè)力都垂直于軸時(shí)，合力矩可能為零。答：對。（兩個(gè)力的力矩相反時(shí)合力矩為零）（3）兩個(gè)力的合力為零時(shí)，合力矩也一定為零。答：錯(cuò)。（力等值反向，力矩仍可不等值反向）（4）兩個(gè)力的合力矩為零時(shí)，合力也一定為零。答：錯(cuò)。（合力矩為零，兩力仍可不等值反向）有兩個(gè)力作用在一《指導(dǎo)》§1.5三.3第2題：寫出下列剛體對O軸（垂直板面）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（1）RMOOmL利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可疊加性和平行軸定理：（2）Om1m2第3題：假定時(shí)鐘的指針是質(zhì)量均勻的矩形薄片。分針和時(shí)針的質(zhì)量相等。哪個(gè)指針轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大？哪個(gè)指針的動(dòng)能和角動(dòng)量大？4、光滑的水平桌面上，有一長為2L、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過其中點(diǎn)且垂直于桿的豎直光滑固定軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，起初桿靜止．桌面上有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，各自在垂直于桿的方向上，正對著桿的一端，以相同速率v相向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)兩小球同時(shí)與桿的兩個(gè)端點(diǎn)發(fā)生完全非彈性碰撞后，就與桿粘在一起轉(zhuǎn)動(dòng)，則這一系統(tǒng)碰撞后的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度應(yīng)為

填空題：1、如圖所示，圓錐擺的擺球質(zhì)量為m，速率為v，圓周半徑為R，當(dāng)擺球在軌道上運(yùn)動(dòng)半周時(shí)，擺球所受重力沖量的大小為——。2、如圖所示，鋼球A和B質(zhì)量相等，正被繩牽著以w0=4rad/s的角速度繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，二球與軸的距離都為r1=15cm．現(xiàn)在把軸上環(huán)C下移，使得兩球離軸的距離縮減為r2=5cm．則鋼球的角速度w=__________．

3、如圖所示，沙子從h＝0.8m高處下落到以3m/s的速率水平向右運(yùn)動(dòng)的傳送帶上。取重力加速度為g＝10m/s2

，則傳送帶給予沙子的作用力的方向應(yīng)為4、如圖所示，一勻質(zhì)木球固結(jié)在一細(xì)棒下端，且可繞水平光滑固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)．今有一子彈沿著與水平面成一角度的方向擊中木球而嵌于其中，則在此擊中過程中，木球、子彈、細(xì)棒系統(tǒng)的____________________守恒，原因是__________________．

木球被擊中后棒和球升高的過程中，木球、子彈、細(xì)棒、地球系統(tǒng)的__守恒．5、質(zhì)量為20g的子彈，以

400m/s的速率沿圖示方向射入一原來靜止的質(zhì)量為980g的擺球中，擺線長度不可伸縮，則子彈射入后與擺球一起運(yùn)動(dòng)的速度大小v＝

4m/s。mlomvv彈性碰撞有下解法，對否？對圖示過程，解：小球下擺過程：系統(tǒng)—小球+地球只有重力作功E守恒已知：l，m，求：

=？

碰撞過程：系統(tǒng)—小球+桿水平方向角動(dòng)量守恒計(jì)算題：

桿上擺過程：取桿的中點(diǎn)處為重力勢能的零點(diǎn)，質(zhì)心的勢能只有重力作功

E

守恒

系統(tǒng)—桿+地球彈性碰撞前后動(dòng)能不變（