lecture5-6-線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)變換分析

線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的變換分析ContentLTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)用線(xiàn)性常系數(shù)差分方程表征系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有理系統(tǒng)函數(shù)的頻率響應(yīng)幅度和相位之間的關(guān)系全通系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)廣義線(xiàn)性相位系統(tǒng)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的變換分析LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)時(shí)不變系統(tǒng)h(n)x(n)y(n)=x(n)*h(n)X(z)Y(z)=X(z)H(z)H(z)頻率響應(yīng)幅度相位理想頻率選擇濾波器理想低通濾波器計(jì)算上不可實(shí)現(xiàn)理想頻率選擇濾波器理想高通濾波器計(jì)算上不可實(shí)現(xiàn)這樣的濾波器表現(xiàn)為：非因果零相位計(jì)算上不可實(shí)現(xiàn)理想頻率選擇濾波器的因果近似一定是具有非零相位響應(yīng)。理想頻率選擇濾波器相位失真和延遲---

理想延遲延遲失真線(xiàn)性相位延遲失真被認(rèn)為是一種相對(duì)溫和的相位失真相位失真和延遲---

線(xiàn)性相位理想濾波器依然是一個(gè)非因果濾波器.在計(jì)算實(shí)現(xiàn)上不具實(shí)現(xiàn)性.相位線(xiàn)性度的一種方便的度量定義:相位失真和延遲---

群延遲線(xiàn)性相位

()=常量()偏離一個(gè)常數(shù)的程度表明了相位的非線(xiàn)性度.線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的變換分析用線(xiàn)性常系數(shù)差分方程表征系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)N階差分方程差分方程的因式表示形式Contributespolesat0andzerosatcrContributeszerosat0andpolesatdr舉例在

z=1有兩個(gè)零點(diǎn)

在z=1/2和

z=?的極點(diǎn)對(duì)于給定的有理多項(xiàng)式，不同的ROC的選擇，將導(dǎo)致不同的脈沖響應(yīng)我們的目的是找到一個(gè)合適的脈沖響應(yīng)構(gòu)建一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)怎樣來(lái)構(gòu)建?穩(wěn)定性和因果性因果性:H(z)的ROC必須位于最外側(cè)極點(diǎn)之外穩(wěn)定性:

ROC包括單位圓因果性和穩(wěn)定性所有極點(diǎn)必須位于單位圓之內(nèi)穩(wěn)定性和因果性舉例:穩(wěn)定性和因果性ReIm1討論其因果性和穩(wěn)定性逆系統(tǒng)H(z)X(z)Y(z)Hi(z)X(z)G(z)=H(z)Hi(z)=1g(n)=h(n)*hi(n)=(n)逆系統(tǒng)H(z)X(z)Y(z)Hi(z)X(z)G(z)=H(z)Hi(z)=1g(n)=h(n)*hi(n)=(n)是否所有的系統(tǒng)都具有相應(yīng)的逆系統(tǒng)?舉一個(gè)例子.逆系統(tǒng)ZerosPolesZerosPoles最小相位系統(tǒng)如果一個(gè)LTI系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的，同時(shí)也要求它的逆系統(tǒng)也是因果穩(wěn)定的，那么就要求H(z)的所有極點(diǎn)和零點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)部。這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為

最小相位系統(tǒng)有理系統(tǒng)函數(shù)的脈沖響應(yīng)通過(guò)部分分式展開(kāi):FIR和IIR零極點(diǎn)非零極點(diǎn)FIRandIIR零極點(diǎn)nonzeropolesFIR:系統(tǒng)只包含

零極點(diǎn).FIRandIIR零極點(diǎn)非零

極點(diǎn)IIR:系統(tǒng)包含：非零極點(diǎn)(沒(méi)有被零點(diǎn)抵消).FIR舉例:FIR此系統(tǒng)是否具有非零極點(diǎn)7th-orderpoleM=7一個(gè)極點(diǎn)被此處的零點(diǎn)抵消.Example:FIR系統(tǒng)函數(shù)可以寫(xiě)為.7th-orderpoleM=7Example:IIR線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的變換分析有理系統(tǒng)函數(shù)的頻率響應(yīng)有理系統(tǒng)函數(shù)H(ej)的對(duì)數(shù)幅度---分貝(dBs)以dB表示的增益=20log10|H(ej)|比例因子零點(diǎn)作出的貢獻(xiàn)極點(diǎn)作出的貢獻(xiàn)用dB形式表示幅度的優(yōu)勢(shì)輸出傅里葉變換的幅度沖擊響應(yīng)的幅度輸入傅里葉變換的幅度有理傳遞函數(shù)的相位具有單個(gè)零點(diǎn)或者極點(diǎn)的系統(tǒng)rr單個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)的頻率響應(yīng)單個(gè)零點(diǎn)的頻率響應(yīng)單個(gè)零點(diǎn)的頻率響應(yīng)|H(ej)|2:它的最大值位于：=. max|H(ej)|2=(1+r)2它的最大值位于：=0. min|H(ej)|2=(1r)2單個(gè)零點(diǎn)的頻率響應(yīng)單個(gè)零點(diǎn)的頻率響應(yīng)r=0.9=0r=0.9=/2r=0.9=r=0.9=0r=0.9=/2r=0.9=單個(gè)零點(diǎn)的頻率響應(yīng)於處有最大凹陷(1r)2r=0.9=0r=0.9=/2r=0.9=單個(gè)零點(diǎn)的頻率響應(yīng)於||處最高(1+r)2r=0.9=0r=0.9=/2r=0.9=單個(gè)零點(diǎn)的頻率響應(yīng)於處phase直轉(zhuǎn)急上單個(gè)零點(diǎn)的頻率響應(yīng)r=1/0.9r=1.25r=1.5r=2=0=零點(diǎn)位于單位圓之外當(dāng)r>1，群延時(shí)總是正值單個(gè)零點(diǎn)的頻率響應(yīng)一些零點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，另一些位于單位圓外單個(gè)極點(diǎn)的頻率響應(yīng)是對(duì)單個(gè)零點(diǎn)情況的求逆為什么?穩(wěn)定系統(tǒng)要求:r<1練習(xí).用matlab畫(huà)出各種情況下的頻率響應(yīng)多個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的頻率響應(yīng)用相加的方法計(jì)算幅度相位群延遲舉例：多個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)零點(diǎn)半徑

角度1 1 1.0376(59.45)極點(diǎn)半徑

角度0.683 00.892 0.6257(35.85)Example

多個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)零點(diǎn)半徑

角度1 1 1.0376(59.45)極點(diǎn)半徑

角度0.683 00.892 0.6257(35.85)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的變換分析幅度和相位之間的關(guān)系幅度和相位已知幅度信息可否獲知相位?已知相位信息可否獲知幅度?通常關(guān)于幅度的知識(shí)并不會(huì)提供關(guān)于相位的信息，反之亦然.除非…幅度幅度幅度ZerosofH(z):PolesofH(z):ZerosofC(z):PolesofC(z):共軛對(duì)稱(chēng)對(duì)幅度給定

C(z),H(z)=?當(dāng)零極點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定后有幾種選擇?全通因子a1/a*極點(diǎn)位于a零點(diǎn)位于1/a*全通因子全通因子H1(z)H1(z)Hap(z)如僅要求頻率響應(yīng)的幅度相同，那么會(huì)有無(wú)窮多的系統(tǒng)與之相對(duì)應(yīng)?線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的變換分析全通系統(tǒng)一般形式實(shí)值極點(diǎn)復(fù)數(shù)極點(diǎn)|Hap(ej)|=1|Hap(ej)|=?grd[Hap(ej)]=?全通因子考慮

a=rej對(duì)于因果穩(wěn)定系統(tǒng)此值永遠(yuǎn)為正.舉例:全通因子

實(shí)值極點(diǎn)0.90.9舉例:全通因子

實(shí)值極點(diǎn)0<<相位為非正值.群延遲為正值0.90.9舉例:全通因子

復(fù)數(shù)極點(diǎn)/40.90<<，連續(xù)相位為非正值.群延時(shí)為非負(fù)舉例:全通因子

復(fù)數(shù)極點(diǎn)/40.81/23/44/3對(duì)于0<<.連續(xù)相位為非正值.群延時(shí)為正值線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的變換分析最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)可以具有穩(wěn)定因果的逆系統(tǒng)最小相位延遲最小的群延遲最小能量延遲有理函數(shù)系統(tǒng)vs.

最小相位系統(tǒng)H(z)Hmin(z)Hap(z)How?有理函數(shù)系統(tǒng)vs.

最小相位系統(tǒng)H(z)Hmin(z)Hap(z)有理函數(shù)系統(tǒng)vs.

最小相位系統(tǒng)H(z)Hmin(z)Hap(z)極點(diǎn)/零點(diǎn)對(duì)消頻率響應(yīng)的補(bǔ)償s(n)失真系統(tǒng)Hd(z)sd(n)補(bǔ)償系統(tǒng)Hc(z)s(n)如果系統(tǒng)Hd(z)是最小相位系統(tǒng)，那么才存在一個(gè)因果穩(wěn)定的逆系統(tǒng)，這種補(bǔ)償才是可能的。頻率響應(yīng)的補(bǔ)償s(n)失真系統(tǒng)Hd(z)sd(n)補(bǔ)償系統(tǒng)共Hc(z)s(n)失真系統(tǒng)Hdmin(z)全通系統(tǒng)Hap(z)s(n)sd(n)補(bǔ)償系統(tǒng)1Hdmin(z)頻率響應(yīng)的補(bǔ)償失真系統(tǒng)Hdmin(z)全通系統(tǒng)Hap(z)s(n)sd(n)補(bǔ)償系統(tǒng)1Hdmin(z)Hd(z)Hc(z)舉例:

頻率響應(yīng)的補(bǔ)償4thorderpole舉例:

頻率響應(yīng)的補(bǔ)償4thorderpole舉例:

頻率響應(yīng)的補(bǔ)償4thorderpole舉例:

頻率響應(yīng)的補(bǔ)償4thorderpole舉例:

頻率響應(yīng)的補(bǔ)償最小相位非最小相位最小相位延遲非正For0具有更大的負(fù)值最小群延遲非負(fù)For0具有更大的正值最小能量延遲應(yīng)用初值定理線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的變換分析廣義線(xiàn)性相位系統(tǒng)線(xiàn)性相位整數(shù)斜率線(xiàn)性相位(negativeslope)單純的延遲更一般的情況:群延遲為常數(shù)舉例:理想延遲舉例:理想延遲1|H(ej)|H(ej)slope=舉例:理想延遲如

=nd(e.g.,=5)為一整數(shù),h(n)=(nnd).脈沖響應(yīng)關(guān)于n=nd對(duì)稱(chēng)i.e.,h(2nd

n)=h(n).

舉例:理想延遲對(duì)于

2(e.g.,=4.5)為整數(shù)的情況h(2n)=h(n).舉例:理想延遲為一任意數(shù)

(e.g.,=4.3).不對(duì)稱(chēng)具有線(xiàn)性相位的更廣義的頻率響應(yīng)|H(ej)|ej零相位濾波器理想延遲1|H(ej)|H(ej)slope=cc舉例:理想低通濾波器舉例:理想低通濾波器表明如2為一整數(shù),h(2

n)=h(n).它就像理想延遲一樣就有對(duì)稱(chēng)的特性.廣義線(xiàn)性相位系統(tǒng)實(shí)函數(shù).可能有正負(fù).and

為常數(shù)群延遲為常數(shù)h(n)

vs.

andh(n)

vs.

andh(n)

vs.

and廣義線(xiàn)性相位系統(tǒng)的必要性條件考慮一個(gè)特例廣義線(xiàn)性相位系統(tǒng)的必要性條件=0or2=M=整數(shù)廣義線(xiàn)性相位系統(tǒng)的必要性條件=0or2=M=整數(shù)為一個(gè)整數(shù)2為一個(gè)整數(shù)廣義線(xiàn)性相位系統(tǒng)的必要性條件=/2or3/22=M=整數(shù)廣義線(xiàn)性相位系統(tǒng)的必要性條件=/2or3/22=M=整數(shù)為一整數(shù)2為一整數(shù)因果廣義線(xiàn)性相位系統(tǒng)廣義線(xiàn)性相位系統(tǒng)因果廣義線(xiàn)性相位系統(tǒng)因果廣義線(xiàn)性相位系統(tǒng)0123…M

0123…M

TypeIFIR線(xiàn)性相位系統(tǒng)M

為偶數(shù)TypeIIFIR線(xiàn)性相位系統(tǒng)M為奇數(shù)因果廣義線(xiàn)性相位系統(tǒng)TypeIIIFIR線(xiàn)性相位系統(tǒng)M

為偶數(shù)TypeIVFIR線(xiàn)性相位系統(tǒng)M為奇數(shù)012……M012……MTypeIFIR線(xiàn)性相位系統(tǒng)0123…M

TypeIFIR線(xiàn)性相位系統(tǒng)M

為偶數(shù)Example:

TypeIFIR線(xiàn)性相位系統(tǒng)01234

1Example:

TypeIIFIR線(xiàn)性相位系統(tǒng)0123