高階常系數(shù)線性微分方程2

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高階常系數(shù)線性微分方程11.二階齊次線性方程的標準形式2.二階非齊次線性方程的標準形式通解為：通解為：其中線性無關(guān)，即常數(shù)，即★二階線性微分方程的標準形式及解的性質(zhì)：復(fù)習(xí)2★二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;通解的表達式特征根情況實根實根復(fù)根（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.(p,q為常數(shù))3高階常系數(shù)線性微分方程第五節(jié)第十章二、高階常系數(shù)非齊次線性微分方程一、高階常系數(shù)非齊次線性微分方程4常系數(shù)非齊次線性微分方程5一、

代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為Q(x)為

m次多項式6(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m

次多項式,故特解形式為即即7注意此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.8例1求微分方程的一個特解.解這里屬型特征方程為而不是特征根，所以應(yīng)設(shè)特解為：代入所給方程得：比較兩端同次冪的系數(shù)得：則得：于是求得一個特解為：9解對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為求導(dǎo)：代入原方程，并約去得：即代入方程得比較系數(shù),得因此特解為所求通解為10解故對應(yīng)齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故原方程通解為由初始條件得于是所求解為11解12二、二階線性非齊次方程特解可設(shè)為:其中當不是特征根時，當是特征根時，結(jié)論:上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.13解不是特征方程的根,故設(shè)特解為代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解14解它對應(yīng)的齊次方程為特征方程為則得特征根為則齊次通解為設(shè)其特解為則原方程得通解是15解16解17內(nèi)容小結(jié)特征方程的根(p,q為常數(shù))18為特征方程的k(=0,1,2…)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(=0,1…)重根,則設(shè)特解為上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.為常數(shù)19202122231.求微分方程的通解(其中為實數(shù)).課堂作業(yè)：2.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.24解:

特征方程特征根:對應(yīng)齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為課堂作業(yè)解答：1.求微分方程的通解(其中為實數(shù)).25解:

將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為2.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.26一階方程可降階的高階方程逐次積分求解第七章復(fù)習(xí)課271.二階齊次線性方程的標準形式2.二階非齊次線性方程的標準形式通解為：通解為：其中線性無關(guān)，即常數(shù)，即三、二階線性微分方程的標準形式及解的性質(zhì)：28★二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;通解的表達式特征根情況實根實根復(fù)根（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.(p,q為常數(shù))29特征方程的根(p,q為常數(shù))3031

下列特解設(shè)法正確的是（

）3233解則得：34解這是齊次型微分方程,將它們代入上面方程得：兩邊積分：得：得原方程的通解為：3513.求微分方程的通解.解3614設(shè)可導(dǎo)函數(shù)

滿足求提示:問題化為解初值問題:3715.

解初值問題解:

令