高中數(shù)學高考一輪復習一輪復習 學案 阿波羅尼斯圓軌跡定理

阿波羅尼斯圓軌跡定理——課堂練習1.在中，邊的中點為，若，則的面積的最大值是．2.在平面直角坐標系中，設點，若存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是．3.已知⊙和點.（1）過點向⊙引切線，求直線的方程；（2）求以點為圓心，且被直線截得的弦長為4的⊙的方程；（3）設為（2）中⊙上任一點，過點向⊙引切線，切點為Q.試探究：平面內(nèi)是否存在一定點，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由.附：參考答案1.解：以中點為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，則，由知，，的軌跡為阿波羅尼斯圓，方程為，設，的中點為得，所以點的軌跡方程為，即，∴，故的最大值是．2.解：設，則，整理得，即動點在以為圓心，為半徑的圓上運動．另一方面，由知動點在線段的垂直平分線上運動，因而問題就轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點，所以，故實數(shù)的取值范圍是．3.解：（1）設切線方程為，易得，解得，∴切線方程為．（2）圓心到直線的距離為，設圓的半徑為，則∴⊙的方程為（3）假設存在這樣的點，點的坐標為，相應的定值為，根據(jù)題意可得，∴，即（*），又點在圓上∴，即，代入（*）式得：若系數(shù)對應相等，則等式恒成立，∴，解得，∴可以找到這樣的定點，使得為定值.如點的坐標為時，比值為；點的坐標為時，比值為．阿波羅尼斯圓軌跡定理——課后檢測1．如圖，在等腰中，已知，，邊的中點為，點的軌跡所包圍的圖形的面積等于．2．如圖，已知平面平面，、是平面與平面的交線上的兩個定點，，且，，，，，在平面上有一個動點，使得，求的面積的最大值．3．圓與圓的半徑都是，，過動點分別作圓、圓的切線（分別為切點），使得．試建立適當?shù)淖鴺讼担⑶髣狱c的軌跡方程.4．已知定點，點是圓上任意一點，請問是否存在不同于的定點使都為常數(shù)？若存在，試求出所有滿足條件的點的坐標,若不存在，請說明理由．附：參考答案解：∵，所以點的軌跡是阿波羅尼斯圓，易知其方程為，設，由邊的中點為知，所以的軌跡方程為，即，面積為．2.解：將空間幾何體中的線、面、角的關系轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)點所滿足的幾何條件．,在中,，同理，，在平面上,以線段的中點為原點,所在的直線為軸,建立平面直角坐標系，則，設則有化簡得:，，，的面積為，當且僅當?shù)忍柸〉茫瑒t的面積的最大值是．3.解：以，的中點O為原點，，所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，PPMNO1O2Oyx則，，由已知得，因為兩圓的半徑都為1,所以有：，設P（x,y），則，即，此