高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面解析幾何初步單元測(cè)試 微課

2．圓與圓的位置關(guān)系“……把你的心、我的心串一串，串一株幸運(yùn)草，串一個(gè)同心圓……”這是風(fēng)靡一時(shí)的小虎隊(duì)在一首歌中唱到的．那么你知道數(shù)學(xué)上是怎樣理解同心圓的嗎？?jī)蓚€(gè)同心圓是什么位置關(guān)系？設(shè)⊙O1的半徑為r1，⊙O2的半徑為r2，兩圓的圓心距為d.1．(1)當(dāng)|r1－r2|＜d＜r1＋r2時(shí)，兩圓相交；(2)當(dāng)d＝r1＋r2時(shí)，兩圓外切；(3)當(dāng)d＝|r1－r2|時(shí)，兩圓內(nèi)切；(4)當(dāng)d＞r1＋r2時(shí)，兩圓外離；(5)當(dāng)d＜|r1－r2|時(shí)，兩圓內(nèi)含．2．(1)若⊙O1與⊙O2外離，兩圓的公切線有四條；(2)若⊙O1與⊙O2外切，兩圓的公切線有三條；(3)若⊙O1與⊙O2內(nèi)切，兩圓的公切線有一條；(4)若⊙O1與⊙O2相交，兩圓的公切線有二條．3．若⊙O1與⊙O2相交，兩圓的公共弦的垂直平分線方程就是直線O1O2．4．已知⊙O1與⊙O2無交點(diǎn)，P、Q分別是⊙O1、⊙O2上的兩點(diǎn)，則PQ的最大值為d＋r1＋r2，PQ的最小值為d－(r1＋r2)．5．已知⊙O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與⊙O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0是相交的兩圓，則⊙O1與⊙O2的公共弦的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．一、圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓的位置關(guān)系有五種：①外離；②外切；③相交；④內(nèi)切；⑤內(nèi)含．(2)判定圓C1和圓C2位置關(guān)系的主要方法．方法一(代數(shù)方法)：解兩個(gè)圓的方程組成的方程組，若方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，則兩圓相切；若方程組無實(shí)數(shù)解，則兩圓相離或內(nèi)含．方法二(幾何方法)：依據(jù)圓心距d與半徑r1和r2之間的關(guān)系判斷．①當(dāng)d＞r1＋r2時(shí)，兩圓外離；②當(dāng)d＝r1＋r2時(shí)，兩圓外切；③當(dāng)|r1－r2|＜d＜r1＋r2時(shí)，兩圓相交；④當(dāng)d＝|r1－r2|時(shí)，兩圓內(nèi)切；⑤當(dāng)d＜|r1－r2|時(shí)，兩圓內(nèi)含．二、兩圓位置關(guān)系的特征位置關(guān)系幾何特征代數(shù)特征外離d＞R＋r無實(shí)數(shù)解外切d＝R＋r一組實(shí)數(shù)解相交R－r＜d＜R＋r兩組實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝R－r一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含d＜R－r無實(shí)數(shù)解知識(shí)點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系1．(2023·湖南卷)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝(C)A．21B．19C．8D解析：將圓C2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓心距等于兩圓半徑之和求解．圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圓C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|又∵兩圓外切，∴5＝1＋eq\r(25－m)，解得m＝9.2．已知0＜r＜2eq\r(2)，則兩圓x2＋y2＝r2與(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置關(guān)系是________．解析：∵兩圓的圓心距為O1O2＝eq\r(2)，又R＝eq\r(2)，0＜r＜2eq\r(2)，∴|R－r|＜O1O2＜|R＋r|，故兩圓相交．答案：相交3．若圓C1：x2＋y2＋m＝0與圓C2：x2＋y2－6x＋8y＝0沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：因?yàn)閳AC1以原點(diǎn)為圓心，而圓C2過原點(diǎn)，所以兩圓無公共點(diǎn)必有圓C2內(nèi)含于圓C1，從而－m>100，即m<－100.答案：(－∞，－100)4．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B兩點(diǎn)，則直線AB的方程是________．解析：兩圓相交其交點(diǎn)所在的直線方程為：(x－1)2＋(y－3)2－20－x2－y2＋10＝0，即x＋3y＝0.答案：x＋3y＝0知識(shí)點(diǎn)二利用圓與圓的關(guān)系確定圓的方程5．圓x2＋y2－2x－1＝0關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱的圓的方程是________．解析：已知圓方程為(x－1)2＋y2＝2，則該圓圓心關(guān)于直線x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為(－3，4)，半徑也是eq\r(2).答案：(x＋3)2＋(y－4)2＝26．半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程是________．解析：半徑為1的圓內(nèi)切于半徑為6的圓．答案：(x±4)2＋(y－6)2＝367．過兩圓x2＋y2－x－y－2＝0與x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交點(diǎn)和點(diǎn)(3，1)的圓的方程是________．解析：求出兩圓的交點(diǎn)后用待定系數(shù)法；或利用圓系方程：設(shè)所求圓方程為(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0，又過點(diǎn)(3，1)代入求出λ＝－eq\f(2,5).答案：x2＋y2－eq\f(13,3)x＋y＋2＝0知識(shí)點(diǎn)三兩圓的公切線與公共弦8．兩圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0與x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切線有________條．解析：易判知兩圓相外切，故有3條公切線．答案：39．已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y－1＝0與圓C2：x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交于A、B兩點(diǎn)，求公共弦AB的長(zhǎng)．解析：由方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x－4y－1＝0，,x2＋y2－2x＋2y－7＝0，))消去二次項(xiàng)得6x－6y＋6＝0，即x－y＋1＝0為所求的公共弦AB所在的直線的方程．圓C1即：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴C1(－2，2)到直線AB的距離d＝eq\f(|－2－2＋1|,\r(2))＝eq\f(3,\r(2)).又圓C1半徑r＝3，故弦長(zhǎng)AB＝2eq\r(32－\f(32,2))＝3eq\r(2).eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級(jí))綜合點(diǎn)一與圓有關(guān)的最值問題10．若直線mx＋2ny－4＝0始終平分圓x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周長(zhǎng)，則mn的最大值是________．解析：由直線mx＋2ny－4＝0始終平分圓x2＋y2－4x－2y＋4＝0的周長(zhǎng)，知直線過圓的圓心(2，1)，∴2m＋2n－4＝0，m＋n∴mn＝m(2－m)＝－(m－1)2＋1≤1.答案：111．一束光線從點(diǎn)A(－1，1)出發(fā)經(jīng)x軸反射，到達(dá)圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一點(diǎn)的最短路程是________．解析：圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓C′：(x－2)2＋(y＋3)2＝1.∴A(－1，1)到C′的圓心C′(2，－3)的距離AC′＝5.∴從A發(fā)出的光線經(jīng)x軸反射到圓C上一點(diǎn)的最短距離等于A到圓C′的圓心C′的距離減去半徑長(zhǎng)1.即dmin＝5－1＝4.答案：412．過直線x＝2上一點(diǎn)M向以C為圓心的圓(x＋5)2＋(y－1)2＝1作切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形MACB的面積的最小值為________．解析：易知SMACB＝2S△MAC＝MA·AC＝eq\r(MC2－1).顯然MC的最小值為7，故四邊形MACB的面積的最小值為eq\r(49－1)＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)綜合點(diǎn)二圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用13．求圓C1：x2＋y2＋2kx＋k2－1＝0與圓C2：x2＋y2＋2(k＋1)y＋k2＋2k＝0的圓心距的最小值及相應(yīng)的k值，并指出此時(shí)兩圓的位置關(guān)系．解析：兩圓的圓心C1(－k，0)，C2(0，－k－1)，∴圓心距C1C2＝eq\r(k2＋（k＋1）2)＝eq\r(2k2＋2k＋1)，當(dāng)k＝－eq\f(1,2)時(shí)，C1C2有最小值eq\f(\r(2),2).此時(shí)，兩圓的方程為C1：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝1，C2：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝1，由|r1－r2|＜d＜r1＋r2，可知兩圓相交．14．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，集合B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2，r＞0}．若A∩B中有且僅有一個(gè)元素，求r的值．解析：∵A∩B中有且僅有一個(gè)元素，∴圓C1：x2＋y2＝4與圓C2∶(x－3)2＋(y－4)2＝r2外切或內(nèi)切．又∵圓心距C1C2＝5，∴r綜合點(diǎn)三軌跡與證明問題15．已知兩定圓O1：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓O2：(x＋5)2＋(y＋3)2＝4，動(dòng)圓P恒將兩定圓的周長(zhǎng)平分．試求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．解析：設(shè)動(dòng)圓P的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，即x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.將此方程分別與圓O1，圓O2的方程相減得公共弦所在的直線方程為：(2－2a)x＋(2－2b