高中數(shù)學高考二輪復習 第三周星期二

星期二(立體幾何與概率統(tǒng)計)2023年____月____日1．立體幾何知識(命題意圖：以四棱錐為載體考查線面、面面垂直的轉化，考查由二面角的大小求邊長的比．考查空間向量方法的應用．)已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠BAD＝120°，PA＝b.(1)求證：平面PBD⊥平面PAC；(2)設AC與BD交于點O，M為OC中點，若二面角O-PM-D的正切值為2eq\r(6)，求a∶b的值．(1)證明因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又ABCD為菱形，所以AC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，從而平面PBD⊥平面PAC.(2)解如圖，以A為原點，AD，AP所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系，則P(0，0，b)，D(0，a，0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),8)a，\f(3,8)a，0))，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a，\f(1,4)a，0)).從而eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，a，－b)，eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),8)a，\f(3,8)a，－b))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)a，\f(3,4)a，0)).因為BD⊥平面PAC，所以平面PMO的一個法向量為eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)a，\f(3,4)a，0)).設平面PMD的法向量為n＝(x，y，z)，由eq\o(PD,\s\up6(→))⊥n，eq\o(PM,\s\up6(→))⊥n得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ay－bz＝0，,\f(3\r(3),8)ax＋\f(3,8)ay－bz＝0，))取x＝eq\f(5,3\r(3))b，y＝b，z＝a，即n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3\r(3))b，b，a)).設eq\o(OD,\s\up6(→))與n的夾角為θ，從而|tanθ|＝2eq\r(6)，得|cosθ|＝eq\f(1,5)，|cosθ|＝eq\f(|\o(OD,\s\up6(→))·n|,|\o(OD,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(|－\f(5,12)ab＋\f(3,4)ab|,\f(\r(3),2)a·\r(\f(52,27)b2＋a2))＝eq\f(1,5)，整理得4b＝3a，即a∶b＝4∶3.2．概率統(tǒng)計知識(命題意圖：考查統(tǒng)計知識與概率知識的綜合問題，主要涉及到頻率分布直方圖中的有關知識以及獨立重復事件的概率分布列等．)市一中隨機抽取部分高一學生調查其上學路上所需時間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學路上所需時間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．(1)求直方圖中x的值；(2)如果上學路上所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿，若招生1200名，請估計新生中有多少名學生可以申請住宿；(3)從學校的高一學生中任選4名學生，這4名學生中上學路上所需時間少于20分鐘的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學期望(以直方圖中的頻率作為概率)．解(1)由直方圖可得：20×x＋×20＋065×20＋×2×20＝1，所以x＝125.(2)新生上學所需時間不少于1小時的頻率為：0．003×2×20＝，因為1200×＝144，所以1200名新生中有144名學生可以申請住宿．(3)X的可能取值為0，1，2，3，4.由直方圖可知，每位學生上學所需時間少于20分鐘的概率為eq\f(1,4)，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(4)＝eq\f(81,256)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(27,128)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝eq\f(3,64)，P(X＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,256).所以X的分布列為X01234Peq\f(81,256)eq\f(27,64)eq\f(27,128)eq\f(3,64)eq\f(1,