人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第六章教案教學(xué)設(shè)計

人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第六章教案教學(xué)設(shè)計第六章平面向量及其應(yīng)用6.1平面向量的概念一、教學(xué)目標(biāo)1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量.2.通過對向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.2.教學(xué)難點(diǎn)：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.難點(diǎn)突破：借助原有的位移、力等物理概念來學(xué)習(xí)向量的概念，結(jié)合圖形實(shí)物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.三、課前準(zhǔn)備1.了解物理學(xué)中的矢量和標(biāo)量；2.了解有向線段的定義四、教學(xué)過程1、情景引入一輛摩托車在公路向東向東快速行駛了一段距離,產(chǎn)生了一段位移,距離和位移一樣嗎？【答案】摩托車行駛的路線實(shí)際上是有方向、有長短的量,距離和位移不一定一樣.m2、探索新知（1）向量的實(shí)際背景與概念問題1：位移與距離這兩個量有什么區(qū)別？【答案】距離只有大小,是標(biāo)量；位移既有大小，又有方向,是矢量，。向量與數(shù)量的定義：只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量(在物理學(xué)中稱為標(biāo)量).既有大小，又有方向的量叫做向量(在物理學(xué)中稱為矢量);注意：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、能比較大?。欢蛄考扔写笮∮钟蟹较?向量是不能比較大小的.練習(xí)：判斷下列量不是向量的選項是（）A.距離B.速度C.力D.密度【答案】選AD（2）向量的表示問題：由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，數(shù)量可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來進(jìn)行表示，那么向量是如何表示呢？有向線段的定義以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，則線段AB具有方向，把這樣具有方向的線段AB叫做有向線段.A(起點(diǎn))A(起點(diǎn))B（終點(diǎn)）a線段AB的長度也叫做有向線段的長度，記作.問題:一條有向線段由哪些要素所確定？【答案】起點(diǎn)、方向、長度.向量的幾何表示A(起點(diǎn))B（終點(diǎn)）（1）幾何表示A(起點(diǎn))B（終點(diǎn)）（2）用字母等表示；①用有向線段字母表示：（A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)）；②用小寫字母表示：、、；（印刷用a，書寫用）注意：用有向線段表示向量時,起點(diǎn)的位置可以是任意的，所以向量與起點(diǎn)無關(guān)，規(guī)定數(shù)學(xué)中的向量具有自由性.4.向量的模向量的大小稱為向量的長度（或模），記作或記作。思考：向量的模的取值范圍?【答案】非負(fù)數(shù)。5.零向量：長度為0的向量叫零向量，記作.思考：與0的含義與書寫區(qū)別.單位向量：長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量.思考：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)在原點(diǎn)的單位向量，它們的終點(diǎn)的軌跡是什么圖形？【答案】以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓注意：（1）零向量的方向是任意的，單位向量的方向具體而定.（2）向量是不能比較大小的,但向量的模（是非負(fù)數(shù)）是可以進(jìn)行大小比較的.（三）.相等向量與共線向量1.平行向量定義：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.思考：若//，//，則//？【答案】若=時，則//不成立2.相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）零向量與零向量相等,但是兩個單位向量不一定相等;（3）向量是否相等只與大小和方向有關(guān)，與起點(diǎn)無關(guān).3.共線向量與平行向量關(guān)系：如圖所示,因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（向量具有自由性，與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)）,所以平行向量就是共線向量.鞏固訓(xùn)練：填空：（對下列選項對的打√錯的×）（1）平行向量一定方向相同（）（2）不相等的向量一定不平行（）（3）與零向量相等的向量必定是零向量？（）（4）與任意向量都平行的向量是零向量？（）（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是平行向量？（）（6）兩個非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)長度相等且方向相同（）（7）共線向量一定在同一直線上（）【答案】（1）×（2）×(3）√（4）√（5）√（6）√（7）×例1.如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，（1）寫出圖中的共線向量；（2）分別寫出圖中與向量、、相等的向量.例2.如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問：（1）與相等的向量共有幾個；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個；分析:根據(jù)共線向量和相等向量的定義、以及模的計算和對正方形的對角線即可．解:由題意可知，因?yàn)槊總€小方格都是單位正方形，所以每個小正方形的對角線的長度為且都與平行，則，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個向量，則與相等的向量共有5個，如圖1；（2）與方向相同且模為的向量共有2個，如圖2．點(diǎn)睛:本題考查共線向量和相等向量的定義，以及向量的模的計算，考查分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合思想．五、課堂小結(jié)1．向量的概念；2．向量的表示：代數(shù)表示、幾何表示；3．研究向量的兩個方面：大?。毫阆蛄?、單位向量；方向：共線向量、平行向量；大小與方向：相等向量、相反向量4．?dāng)?shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合、分類討論（注意對的討論）。六、課后作業(yè)習(xí)題6.12,3題六、課后反思本節(jié)課是“平面向量及其應(yīng)用”的起始課,依據(jù)數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)關(guān)注知識的發(fā)生和發(fā)展過程的理念，因此在向量概念的引入過程中，從物理的角度創(chuàng)設(shè)問題情景，使學(xué)生明白研究向量不僅是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的必然，更是研究客觀世界的需要，從而產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望。最后又通過物理問題如何用數(shù)學(xué)的方式加以解決，為學(xué)生理解向量的數(shù)量積以及向量在實(shí)際問題中的應(yīng)用埋下伏筆。教學(xué)中還需注意以下三個方面:(1)通過平面向量的概念形成,讓學(xué)生體會“平面向量具有集形與數(shù)于一身的特征;(2)引導(dǎo)學(xué)生抓住大小與方向兩個方面，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再由學(xué)生或師生共同完善概念。使學(xué)生感受知識自然形成的過程，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識。第六章平面向量及其應(yīng)用6.2.1向量的加法一、教學(xué)目標(biāo)1．理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義；2．熟練掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，會作已知兩向量的和向量；3．理解向量加法運(yùn)算律，并能熟練地運(yùn)用它們進(jìn)行向量計算。4.通過對向量加法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點(diǎn)1．兩個向量的和的概念及其幾何意義；2．向量加法的運(yùn)算律。三、教學(xué)過程：1、情景引入在大型生產(chǎn)車間里，一重物被天車從A處搬運(yùn)到B處，如圖所示．它的實(shí)際位移，可以看作水平運(yùn)動的分位移與豎直運(yùn)動的分位移的合位移．問題1：根據(jù)物理中位移的合成與分解，你認(rèn)為，，之間有什么關(guān)系？【答案】＝＋.問題2：向量，，之間有什么關(guān)系？【答案】＝＋.2、探索新知（1）向量的加法：求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。表示：．規(guī)定：零向量與任一向量，都有．說明：①共線向量的加法：②不共線向量的加法：如圖（1），已知向量，，求作向量.作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)（如圖（2）），作，，則.（1）（2）（2）．向量加法的法則：三角形法則：根據(jù)向量加法定義得到的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。表示：．【口訣】尾首相接首尾相連。平行四邊形法則：以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個已知向量，為鄰邊作，則則以為起點(diǎn)的對角線就是與的和，這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則?！究谠E】共起點(diǎn)，和為對角線。小組合作探究：問題1：若向量和共線，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？你能否做出向量嗎？【答案】（1）當(dāng)和同向時，；（2）當(dāng)和反向時，。問題2：之間具有什么樣的關(guān)系?！敬鸢浮慨?dāng)和反向或不共線時，；當(dāng)和同向時，。綜上，。問題3：向量的加法能否像數(shù)的加法也滿足交換律和結(jié)合律呢？【答案】如圖所示：在平行四邊形ABCD中，，所以。在圖（2）中，，，所以，。運(yùn)算律：交換律：．結(jié)合律：．4．例題分析：例1.化簡下列各式：(1)＋＋；(2)(＋)＋＋；(3)＋＋＋.解：(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝0；(2)(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝；(3)＋＋＋＝＋＋＝＋＝.

例2.如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)，則下列兩個等式一定成立的是哪個？

①;②.

解：,故①正確；

，故②錯誤

注意：向量求和，注意“首尾順次相連”；向量加法的結(jié)果還是向量.

小雨滴在無風(fēng)時以4m/s的速度勻速下落．一陣風(fēng)吹來，使得小雨滴以3m/s的速度向東移動．那么小雨滴將以多大的速度落地？方向如何？(提示：tan37°＝eq\f(3,4))解：如圖，設(shè)表示小雨滴無風(fēng)時下落的速度，表示風(fēng)的速度，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則就是小雨滴實(shí)際飛行的速度．在Rt△OAC中，||＝4m/s，||＝3m/s，所以||＝5m/s.且tan∠AOC＝eq\f(3,4)，即∠AOC≈37°.所以小雨滴實(shí)際飛行速度為5m/s，方向約為東偏南53°.四、小結(jié)：1．理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義；2．熟練掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則以及向量加法的運(yùn)算律。3.五、作業(yè)：習(xí)題3.16,7,9題第六章平面向量及其應(yīng)用6.2.2向量的減法運(yùn)算課題：平面向量的減法一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握向量減法概念，理解兩個向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)行，2.掌握相反向量，能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量，了解向量方程，并會用幾何法解向量方程.3.通過對向量減法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點(diǎn)：1.向量減法的三角形法則.2.對向量減法定義的理解.三、教學(xué)過程：1.復(fù)習(xí)回顧首先一起回顧一下求解向量和的向量加法的平行四邊形法則與三角形法則,本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)向量的減法.2、探索新知（1）向量減法的定義：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b).求兩個向量差的運(yùn)算，叫向量的減法.說明：①與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量；②零向量的相反向量仍是零向量；③任一向量和它相反向量的和是零向量.（2）作法如圖所示，以平面內(nèi)的一點(diǎn)作為起點(diǎn)作a，b，則兩向量終點(diǎn)的連線段，并指向a終點(diǎn)的向量表示a－b.說明：向量減法可以利用相反向量轉(zhuǎn)化為向量加法，b與a－b尾首相接，首尾相連，得到a－b＝eq\o(CB,\s\up6(→)).例題分析：例1.如圖，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.解：作法：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d.作eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝c－d例2.如圖，是平行四邊形的兩條對角線的交點(diǎn)，則下列等式不正確的是（）A．B．C．D．解:對于，，故錯誤；對于，，故錯誤；對于，，故錯誤。故選:ABC如圖，四邊形是以向量，為邊的平行四邊形，又，，試用、表示解:，，，．．，，．．四、小結(jié)：1．理解向量減法的概念及向量減法的幾何意義；2．熟練掌握向量減法的三角形法則以及向量減法的運(yùn)算。五、作業(yè)：習(xí)題6.2.2.第六章平面向量及其應(yīng)用6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算一、教學(xué)目標(biāo)1.讓學(xué)生理解向量數(shù)乘的含義及向量數(shù)乘的運(yùn)算律；2.讓學(xué)生能由實(shí)數(shù)運(yùn)算律類比向量運(yùn)算律，并且驗(yàn)證強(qiáng)化對知識的形成過程的認(rèn)識，正確表示結(jié)果；3.理解兩向量共線（平行）的充要條件，并會判斷兩個向量是否共線。二、教學(xué)重點(diǎn)1.實(shí)數(shù)與向量積的定義及幾何意義.2．向量共線的充要條件及其應(yīng)用。三、教學(xué)過程：1、情景引入質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)做勻速直線運(yùn)動，若經(jīng)過1的位移對應(yīng)的向量用表示，那么在同方向上經(jīng)過2的位移所對應(yīng)的向量可用2來表示。問題1：這里，2如何表示？-2如何表示？已知非零向量，求作和． 如圖：，．問題2：這里，2是何種運(yùn)算的結(jié)果？2、探索新知引出實(shí)數(shù)與向量的積的定義：一般地，實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）；（2）當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，．（讓學(xué)生自己解釋其幾何意義）實(shí)數(shù)與向量相乘，叫做向量的數(shù)乘問題：通過幾何意義，讓學(xué)生嘗試驗(yàn)證下列實(shí)數(shù)與向量的積的是否滿足下列運(yùn)算定律2．實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：（1）（結(jié)合律）；①（2）（第一分配律）；②（3）（第二分配律）．③例1.已知向量和向量，求作向量和向量2-3。解：如下圖【作法】（1）如圖所示，向量的長度是的長度的2.5倍，方向與相反，即．（2）以Ｏ為起點(diǎn)，分別作＝，＝３，連結(jié)DC，則．例2計算：（1）4(-)-3(+2)；（2）2(2+6-3)-3(-3+4-2)分析：根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的向量的線性運(yùn)算的法則去解題．解：（1）；（2）13.問題：向量數(shù)乘與實(shí)數(shù)乘法有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？生答：（1）向量的數(shù)乘與實(shí)數(shù)的乘法的區(qū)別：相同點(diǎn)：這兩種運(yùn)算都滿足結(jié)合律和分配律．不同點(diǎn)：實(shí)數(shù)的乘法的結(jié)果（積）是一個實(shí)數(shù)，而向量的數(shù)乘的結(jié)果是一個向量．（2）向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個向量，運(yùn)算法則與多項式運(yùn)算類似．例3.判斷下列各題中的向量是否共線：（1），；（2），，且，共線．解：（1）當(dāng)時，則，顯然與共線． 當(dāng)時，，∴與共線．（3）當(dāng)，中至少有一個為零向量時，顯然與共線． 當(dāng)，均不為零向量時，設(shè) ∴， 若時，，，顯然與共線． 若時，， ∴與共線．例4.設(shè)是兩個不共線的向量，已知，，， 若，，三點(diǎn)共線，求的值。解： ∵，，三點(diǎn)共線，∴與共線，即存在實(shí)數(shù)，使得， 即是. 由向量相等的條件，得，∴．四、小結(jié)：實(shí)數(shù)與向量積的定義;2.理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義；3.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律.五、作業(yè)：習(xí)題第六章平面向量及其應(yīng)用6.2.4向量的數(shù)量積一、教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能：通過物理中“功”的實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義，掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì).2、過程與方法：經(jīng)歷從物理背景的分析，抽象概況出概念的過程，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括、類比遷移的能力；經(jīng)歷通過不同的方式探究、發(fā)現(xiàn)平面向量數(shù)量積性質(zhì)的過程，體會從特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.3、情感、態(tài)度、價值觀：通過師生互動，生生互動的教學(xué)活動過程，形成學(xué)生的體驗(yàn)性認(rèn)識，體會各學(xué)科之間的密切聯(lián)系，感受知識的形成過程，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，形成獨(dú)立自主的鉆研精神和合作學(xué)習(xí)的科學(xué)態(tài)度.二、教材分析：重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì).難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn).三、教學(xué)策略：啟發(fā)式和問題探究相結(jié)合。四、教學(xué)過程：（一）創(chuàng)設(shè)情境展示背景如圖小車在力F的作用下移動了一段位移是S，力和位移的夾角為θ，從物理的角度來看其實(shí)質(zhì)是什么？（二）分析背景形成概念群答：力對物體做功，力對物體做功，問題1：圖中力對物體所做的功是多少？（可能學(xué)生回答,引導(dǎo)學(xué)生回答圖中的力對物體所做的功是多少？）這里的θ是什么？生1：力和位移的夾角問題2：影響力對物體所做的功的因素有哪些？群答：力F、位移S、力和位移的夾角θ問題3：像力F、位移S這些量在物理上我們稱做什么量？大家回答看看群答：矢量問題4：很好！類比矢量在數(shù)學(xué)上我們把既有大小又有方向的量稱為什么量？群答：向量問題5：那我們用數(shù)學(xué)的眼光來看這是向量的一種什么運(yùn)算？我們看等式的左邊是什么量？群答：標(biāo)量問題6：在數(shù)學(xué)上我們稱為什么量？群答：數(shù)量從求功的運(yùn)算中，能否抽象出某種數(shù)學(xué)運(yùn)算？(課件展示)生5：問題7：下面大家注意了，像這種向量運(yùn)算前面我們學(xué)習(xí)了好幾種，對不對？有向量的加法、減法、數(shù)乘，這些運(yùn)算的結(jié)果都是什么量？群答：向量這種運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量，跟以往不同。我們今天這節(jié)課就是從力的做功公式出發(fā)來引進(jìn)向量的一種新的運(yùn)算，你能否給這種運(yùn)算起個名稱？大家想想看，取什么名字好！生6：向量的積問題7：太好了，這里的確是向量的積的運(yùn)算。有沒有人對這種運(yùn)算有其他名字?生8：向量的數(shù)量積問題9：太棒了!大家覺得好不好！。。。。從結(jié)果來看是一個數(shù)量。還有嗎？生9:平面向量的數(shù)量積.師:簡直太牛了!(由力對物體做功公式類比得出平面向量的數(shù)量積)師:我們知道功運(yùn)算中除了力和位移，還有一個夾角θ，物理上稱為力和位移的夾角,在數(shù)學(xué)上我們稱為向量的夾角，下面我們來看書本給出的向量夾角的定義:向量的夾角：已知兩個非零向量和，作=，=，則叫做向量與的夾角．問題10：兩個非零向量的夾角的范圍是什么?(課件展示)當(dāng)且僅當(dāng)兩非零向量、同方向時θ=；生10:當(dāng)且僅，反方向時，θ=；生11:以上統(tǒng)稱為當(dāng)θ=，稱與垂直，記作⊥.規(guī)定：C試一試：如圖：正中，求（1）與的夾角；（2）與的夾角。AB答案為：（1），（2）向量的夾角注意點(diǎn)：1.向量要共起點(diǎn)2.角的范圍3.幾個特殊角下面正式給出向量數(shù)量積的定義:已知兩個非零向量和，它們的夾角為，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即．（板演（和不為非零向量）問題11：向量的數(shù)量積定義中和為何要是非零向量？探究：零向量與其他向量有沒有數(shù)量積？應(yīng)如何定義？能否找出其物理模型？（可以從或者零向量與其他向量的交角沒有定義。）規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0，比較探究兩個向量的數(shù)量積與數(shù)乘向量有什么區(qū)別？兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，它的符號由的符號所決定；而數(shù)乘向量是一個向量。2書寫上的區(qū)別：符號“·”在向量運(yùn)算中既不能省略，也不能用“×”代替。（三）概念應(yīng)用探究性質(zhì)例1．已知向量與向量的夾角為，，，分別在下列條件下求（1）；（2）；（3）解：（1）=；當(dāng)向量、同方向時，則=6當(dāng)，反方向時，，則=-6當(dāng)時,,則=0.數(shù)量積的性質(zhì)：小組合作討論：（1），生答：或者或者（2）生答：若，則與同向或者夾角為銳角；若，則與反向或者夾角為鈍角；變式1：已知，，，求生板演：=；=變式2：已知，，求生板演：=；練習(xí)2：答案：（1）9（2）-16（3）-6（四）歸納理解學(xué)以致用反饋練習(xí)1．已知，，，求答案：==32．在中，若，則的形狀為____________答案：鈍角三角形3．已知正的邊長為2，，則答案：-6（五）回顧反思拓展延伸1．本節(jié)課你學(xué)了哪些知識？在思想方法上有哪些收獲？2．哪些問題你最易出錯，現(xiàn)在深有體會嗎？第六章平面向量及其應(yīng)用6.3.1平面向量基本定理一、教學(xué)目標(biāo)1．理解平面向量基本定理及其意義；2．能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá)；3．通過學(xué)習(xí)平面向量基本定理，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點(diǎn)1．平面向量基本定理及其意義；2．平面向量基本定理的理解。三、教學(xué)過程：1、情景引入在物理中，我們學(xué)習(xí)了力的分解，即一個力可以分解為兩個不同方向的力，試想平面內(nèi)的任一向量是否可以分解為其他兩個向量的和？可以如圖，以a為平行四邊形一條對角線作平行四邊形，四邊形確定嗎？不一定能確定小組合作探究：問題1：如圖所示，設(shè)是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，是這一平面內(nèi)與都不共線的向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作將按的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？【答案】如圖，問題2：當(dāng)是零向量時，還能用表示嗎？【答案】可以，取，，則問題3：若向量與共線，那么還能用這種形式表示嗎？【答案】若向量與共線，取，則。若向量與共線時，取，則。問題4.設(shè)是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，則？【答案】假設(shè)，，，唯一。2、探索新知平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)的任意一個向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使。我們把不共線向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；說明：(1)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；(2)由定理可將任一向量在給出基底的條件下進(jìn)行分解；(3)基底給定時，分解形式唯一；例1.如圖，不共線，且，用表示。解：因?yàn)?，所以重要結(jié)論:如果三點(diǎn)共線，點(diǎn)O是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若，則。變式訓(xùn)練:設(shè)分別是的邊上的點(diǎn)，,,若(為實(shí)數(shù))，則的值為.【答案】.【解析】易知====，∴=，=，∴例2.如圖所示，在中，是以為中點(diǎn)的點(diǎn)的對稱點(diǎn)，，和交于點(diǎn)，設(shè)，.（1）用和表示向量、；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由題意知，是線段中點(diǎn)，且.，；（2），由題可得，且，設(shè)，即，則有，解得.因此，.證明:三角形的三條中線交于一點(diǎn).四、小結(jié)1.平面向量基本定理；2.基底；3.掌握平面向量基本定理的簡單應(yīng)用五、作業(yè)習(xí)題6.3.1第六章平面向量及其應(yīng)用6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示一、教學(xué)目標(biāo)1.理解向量的坐標(biāo)表示法,掌握平面向量與一對有序?qū)崝?shù)一一對應(yīng)關(guān)系；2.會用坐標(biāo)表示平面向量；對起點(diǎn)不在原點(diǎn)的平面向量能利用向量相等的關(guān)系轉(zhuǎn)化來用坐標(biāo)表示；3.通過對平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點(diǎn)1．平面向量的正交分解，平面向量的坐標(biāo)表示；2．對平面向量的坐標(biāo)表示的理解。三、教學(xué)過程：1、復(fù)習(xí)回顧平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)的任意一個向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使。我們把不共線向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；說明：(1)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；(2)由定理可將任一向量在給出基底的條件下進(jìn)行分解；(3)基底給定時，分解形式唯一；2、探索新知平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。問題1：在平面直角坐標(biāo)系中，每一個點(diǎn)都可用一對實(shí)數(shù)表示，那么，每一個向量可否也用一對實(shí)數(shù)來表示？答:在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個不共線向量i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y使得a＝xi+yj，則把有序數(shù)對（x，y），叫做向量a的坐標(biāo)．記作a＝（x，y），此式叫做向量的坐標(biāo)表示．作向量，設(shè)，所以。說明：（1）對于，有且僅有一對實(shí)數(shù)與之對應(yīng)；（2）兩向量相等時，坐標(biāo)一樣；（3），，；（4）從原點(diǎn)引出的向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)。例1．如圖，用基底，分別表示向量、、、，并求出它們的坐標(biāo)。解：由圖知：； ； ； ．例2.如果將繞原點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到，則求的坐標(biāo).解:由題意知A是30°角的終邊與以點(diǎn)O為圓心的單位圓的交點(diǎn),B點(diǎn)是將0A繞原點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°終邊與以點(diǎn)O為圓心的單位圓的交點(diǎn)．由三角函數(shù)的定義，設(shè)終邊OA與x軸所形成的角為因?yàn)?，|OA|=|OB|,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.變式訓(xùn)練：已知向量，將繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，則（）A. B. C. D.解：向量（5，12），將繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)B的坐標(biāo)（﹣12，5），如圖：所以．故選：D．四、小結(jié)：1．平面向量的正交分解；2．正確理解平面向量的坐標(biāo)意義；五、作業(yè)：習(xí)題6.3.2第六章平面向量及其應(yīng)用6.3.3平面向量的加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示一、教學(xué)目標(biāo)1．掌握平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示；2．會用坐標(biāo)求兩向量的和、差；3．通過對平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示以及運(yùn)算學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點(diǎn)1．平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示；2．對平面向量的坐標(biāo)表示的理解。三、教學(xué)過程：1、復(fù)習(xí)回顧平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)的任意一個向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使。我們把不共線向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；說明：(1)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；(2)由定理可將任一向量在給出基底的條件下進(jìn)行分解；(3)基底給定時，分解形式唯一；問題1：向量用坐標(biāo)表示的基本原理是什么？設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若a＝xi＋yj，則a＝(x，y).2、探索新知小組活動探究：問題2：若，你可以推導(dǎo)出的坐標(biāo)嗎？生答：即同理可得。 重要結(jié)論：兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。例1.已知的坐標(biāo)。解：=；；問題3：如圖，已知向量，且點(diǎn)，，你能推導(dǎo)出的坐標(biāo)嗎？生答：．重要結(jié)論:（1）一個向量的坐標(biāo)等于表示它的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)；（2）兩個向量相等的充要條件是這二個向量的坐標(biāo)相等。例2：如圖，已知平行四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).解：設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵，，由，得．∴∴∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．變式訓(xùn)練1：已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up8(→))=()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)答案：A變式訓(xùn)練2：已知平行四邊形ABCD中，A(0,0)，B(5,0)，D(2,4)，對角線AC，BD交于點(diǎn)M，則eq\o(DM,\s\up8(→))的坐標(biāo)是(第六章平面向量及其應(yīng)用6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示；2.會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線；；3.通過對平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示，根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線；2.向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示的理解及應(yīng)用向量共線的充要條件證明三點(diǎn)共線和兩直線平行的問題。三、教學(xué)過程：1、復(fù)習(xí)回顧（1）若，則。（2）已知向量，且點(diǎn)，，．2.探索新知問題1.已知，你能推導(dǎo)出的坐標(biāo)嗎？生答：因?yàn)?，所以即。重要結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等用這個實(shí)數(shù)乘以原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).已知的坐標(biāo)。變式訓(xùn)練1：已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為()A．－2,1 B.1，－2C．2，－1 D.－1,2解：由題意得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＋2λ2＝3，,2λ1＋3λ2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－1，,λ2＝2.))故選：D變式訓(xùn)練2：若向量，，，則等于()A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，設(shè)，則有，即，解得，所以，故選：D.問題2.設(shè)，若向量共線（其中），你能推導(dǎo)出這兩個向量的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？生答：向量共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使，用坐標(biāo)表示為即問題3.你能將這兩個等式合并成一個式子嗎？生答：，重要結(jié)論：向量平行（共線）的充要條件的兩種表達(dá)形式：①；②且設(shè)，（）例2.已知向量,，若與共線,則求實(shí)數(shù)的值解：由，，則，因?yàn)榕c共線，所以，解得變式訓(xùn)練：已知，．（1）求證：，不共線；（2）若，求實(shí)數(shù)，的值：（3）若與共線，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）證明：根據(jù)題意，，，有，故，不共線；（2）根據(jù)題意，若，且，不共線；則有，解可得；（3）根據(jù)題意，若與共線，設(shè)，即，則有，則；故答案為:．問題4：設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為，當(dāng)P是線段P1P2的中點(diǎn)時，你能推導(dǎo)點(diǎn)P的坐標(biāo)嗎？生答：重要結(jié)論：中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為，線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則。例3.已知點(diǎn)，，，，向量與平行嗎？直線平行與直線嗎？解：∵，=，又，∴；又，，，∴與不平行，∴、、不共線，與不重合，所以，直線與平行。小結(jié)：1.向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示；2.向量共線的充要條件；3.中點(diǎn)坐標(biāo)公式;五、作業(yè)：習(xí)題6.3.4第六章平面向量及其應(yīng)用6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2.會運(yùn)用兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決有關(guān)長度、角度、垂直等幾何問題；3.通過對平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點(diǎn)1．理解兩個向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過程，能運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算．2．能根據(jù)向量的坐標(biāo)計算向量的模，并推導(dǎo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式．3．能根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的夾角及判定兩個向量垂直．三、教學(xué)過程：1、復(fù)習(xí)回顧平面向量的數(shù)量積以及向量線性坐標(biāo)運(yùn)算2.探索新知問題1.過對平面向量的數(shù)量積以及向量線性坐標(biāo)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，你能否已根據(jù)兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，用a和b的坐標(biāo)表示a·b?生答：記a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2重要結(jié)論：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．問題2.小組合作，請大家利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示推導(dǎo)出向量模的坐標(biāo)表示、兩向量垂直的坐標(biāo)表示以及兩向量夾角的余弦公式？生1答：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)則a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0生2答：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?a·b＝|a||b|cos900＝0生3答：設(shè)θ是a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).重要結(jié)論：平面向量坐標(biāo)表示的幾個公式(1)向量模的坐標(biāo)表示若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2，或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)兩向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(3)兩向量夾角的余弦公式設(shè)a，b是兩個非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).3.數(shù)學(xué)運(yùn)用例1.(1)已知向量，，若，則=________(2)已知向量，，則與的夾角=________解:(1)因?yàn)?，所以，解得：?2)設(shè)與的夾角為，則，又，，即與的夾角是.變式訓(xùn)練：若向量，，則向量與的夾角的余弦值為_________解:，，，則，,，.例2.已知向量，，若與的夾角是銳角，則求實(shí)數(shù)的取值范圍；解:由題意，即，，∴，若，則，解得，綜上的范圍是．變式訓(xùn)練：設(shè)平面向量，，若與的夾角為鈍角，則求的取值范圍.解:因?yàn)榕c的夾角為鈍角，且不反向，，即解得當(dāng)兩向量反向時，存在使即，解得所以的取值范圍.例3.如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，，則求·.解:以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖：因?yàn)橹苯翘菪蜛BCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，所以，，，，所以，，則．小結(jié)：1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2.兩個向量垂直的坐標(biāo)表示；3.運(yùn)用兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決有關(guān)長度、角度、垂直等幾何問題.小結(jié)：1．掌握平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示；3．能用平面向量的坐標(biāo)及其加、減運(yùn)算解決一些實(shí)際問題。五、作業(yè)：習(xí)題6.3.3第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法一、教學(xué)目標(biāo)1.會用向量方法解決簡單的幾何問題；2.體會向量在解決幾何問題中的作用；3.通過對用向量法解決平面幾何問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.用向量方法解決幾何問題的基本方法：向量法解決幾何問題的“三步曲”；2.能夠?qū)缀螁栴}轉(zhuǎn)化為平面向量問題。三、教學(xué)過程：1、復(fù)習(xí)回顧（1）平面兩個向量的數(shù)量積：；（2）向量平行的判定:；（3）向量平行與垂直的判定:；（4）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：（其中，）（5）求模：；；2.探索新知例1.如圖所示，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DP⊥EF.證明法一：設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0<a<1)，則EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq\r(2)a，∴eq\o(DP,\s\up18(→))·eq\o(EF,\s\up18(→))＝(eq\o(DA,\s\up18(→))＋eq\o(AP,\s\up18(→)))·(eq\o(EP,\s\up18(→))＋eq\o(PF,\s\up18(→)))＝eq\o(DA,\s\up18(→))·eq\o(EP,\s\up18(→))＋eq\o(DA,\s\up18(→))·eq\o(PF,\s\up18(→))＋eq\o(AP,\s\up18(→))·eq\o(EP,\s\up18(→))＋eq\o(AP,\s\up18(→))·eq\o(PF,\s\up18(→))＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋eq\r(2)a×a×cos45°＋eq\r(2)a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0．∴eq\o(DP,\s\up18(→))⊥eq\o(EF,\s\up18(→))，即DP⊥EF.法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，x)，則D(0,1)，E(x,0)，F(xiàn)(1，x)，所以eq\o(DP,\s\up18(→))＝(x，x－1)，eq\o(EF,\s\up18(→))＝(1－x，x)，由于eq\o(DP,\s\up18(→))·eq\o(EF,\s\up18(→))＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以eq\o(DP,\s\up18(→))⊥eq\o(EF,\s\up18(→))，即DP⊥EF.思考：運(yùn)用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個步驟？“三步曲”：(1)構(gòu)建平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為平面向量問題；(2)通過平面向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角、模等問題；(3)將平面向量運(yùn)算運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成平面幾何關(guān)系.思考：你能總結(jié)向量的線性運(yùn)算法的四個步驟嗎？生答：①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找相應(yīng)關(guān)系；④把幾何問題向量化．思考：你能總結(jié)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個步驟嗎？生答：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找相應(yīng)關(guān)系；④把幾何問題向量化．變式訓(xùn)練:如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.解：（基底法）設(shè)eq\o(AD,\s\up18(→))＝a，eq\o(AB,\s\up18(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up18(→))＝eq\o(DA,\s\up18(→))＋eq\o(AE,\s\up18(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up18(→))＝eq\o(AB,\s\up18(→))＋eq\o(BF,\s\up18(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up18(→))·eq\o(DE,\s\up18(→))＝(b＋eq\f(a,2))·(－a＋eq\f(b,2))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0．故eq\o(AF,\s\up18(→))⊥eq\o(DE,\s\up18(→))，即AF⊥DE.（坐標(biāo)法）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，所以eq\o(AF,\s\up18(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up18(→))＝(1，－2).因?yàn)閑q\o(AF,\s\up18(→))·eq\o(DE,\s\up18(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up18(→))⊥eq\o(DE,\s\up18(→))，即AF⊥DE.例2.如圖所示，以兩邊為邊向外作正方形和，為的中點(diǎn).求證：.解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)?，所以，所以，?變式訓(xùn)練：在梯形中，，，，，若點(diǎn)在線段上，則求的最小值解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，，，，所以，設(shè)所以，所以，，所以，當(dāng)時，的最小值為，小結(jié)：1.向量方法解決平面幾何問題“三步曲”；2.向量的線性運(yùn)算法（基底法）的四個步驟：①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找相應(yīng)關(guān)系；④把幾何問題向量化．向量的坐標(biāo)運(yùn)算法（坐標(biāo)法）的四個步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找相應(yīng)關(guān)系；④把幾何問題向量化．五、作業(yè)：習(xí)題6.4.1第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例一、教學(xué)目標(biāo)1.會用平面向量知識解決簡單的物理問題的兩種方法-----向量法和坐標(biāo)法；2.體會向量在解決速度、力學(xué)等一些簡單實(shí)際問題中的作用；3.通過對用向量法解決物理問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.用向量方法解決物理問題的基本方法：“四步曲”；2.能夠?qū)⑽锢韱栴}轉(zhuǎn)化為平面向量問題。三、教學(xué)過程：1、預(yù)習(xí)自主完成（1）力與向量的區(qū)別問題1：物理中力是不是就是向量？①相同點(diǎn)：力和向量都既要考慮大小又要考慮方向．②不同點(diǎn)：向量與始點(diǎn)無關(guān)，力和作用點(diǎn)有關(guān)，大小和方向相同的兩個力，如果作用點(diǎn)不同，那么它們是不相等的．（2）向量方法在物理中的應(yīng)用問題2：物理中力、速度、加速度、位移是向量嗎？它們涉及的運(yùn)算與向量的運(yùn)算相符合嗎？①力、速度、加速度、位移都是向量．②力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加、減______運(yùn)算，運(yùn)動的疊加亦用到向量的合成．問題2：物理中還有哪些量對應(yīng)向量的運(yùn)算？③動量mν是向量的數(shù)乘．④功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積.2.探索新知例1.如圖，在重的物體上有兩根繩子，繩子與鉛垂線的夾角分別為，物體平衡時，求兩根繩子拉力的大小.解:作，使.在中，，，，答:兩根繩子拉力的大小分別為.思考：運(yùn)用向量方法解決物理問題可以分哪幾個步驟？“四步曲”：①問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；②建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；③求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等；④回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題．變式訓(xùn)練:如圖所示，把一個物體放在傾斜角為30°的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個力的作用，即重力G，沿著斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的彈力．已知，則G的大小為________，的大小為________．解:如圖，由向量分解的平行四邊形法則，計算可得：.例2.若渡船在靜水中的速度大小為，河寬為，水流的速度大小為，則（1）此船渡過該河所用時間的最小值是多少？（2）此船渡過該河的位移最小時，需要多長時間才能從此岸到達(dá)彼岸？解:（1）當(dāng)船頭方向與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間.（2）當(dāng)合速度的方向垂直于河岸時，此船渡過該河的位移最小，如圖所示，水流的速度為，則，船的速度為，則，合速度為，合速度的大小為，則，設(shè)船速與合速度的夾角為，則，此時.渡河時間為.答：此船渡過該河所用時間的最小值是；此船渡過該河的位移最小時，需要才能從此岸到達(dá)彼岸.變式訓(xùn)練:長江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，如圖所示已知游船在靜水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，設(shè)和所成角為，若游船要從航行到正北方向上位于北岸的碼頭處，則求的值解:由題意知有即所以，答:的值為.小結(jié)：向量方法解決物理問題“四步曲”；①問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；②建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；③求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等；④回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題．五、作業(yè)：習(xí)題6.4.1第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.3第1課時余弦定理一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握證明余弦定理的向量方法，熟記公式；2.掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題；2.掌握余弦定理公式的變式，判別三角形形狀；4.通過對余弦定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程；2.余弦定理在解三角形時如何進(jìn)行邊角互化。三、教學(xué)過程：1、創(chuàng)設(shè)情境：量得島A與島C距離為1338m，量得島A與島B距離為700m，再利用儀器測出島A對島B和島C（即線段BC）的張角，最后通過計算求出島B和島C的長度.問題1：此實(shí)際問題如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題？生答：如圖，已知：邊AB、AC和角Ａ(兩條邊、一個夾角)，求邊BC.問題2:已知三角形兩邊分別為b和c,這兩邊的夾角為A，角A滿足什么條件時較易求出第三邊a？教師就這個問題提出小組探究活動主題2、探索新知探究1.在三角形ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，怎樣用b，c和A表示a？教師：將數(shù)學(xué)問題可以先特殊化，A=900，怎么解決？生答：利用勾股定理。問題3：你能利用向量證明勾股定理嗎？生答：由想到再平方處理得到。問題4：勾股定理指出了直角三角形中的三條邊之間的關(guān)系，如果是斜三角形，三條邊之間的關(guān)系又是如何？學(xué)生小組活動探討解決，投影展示學(xué)生探討活動的成果。利用，兩邊平方得到a2＝b2＋c2－2bccosA，二.建構(gòu)數(shù)學(xué) 余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC探究2：正弦定理結(jié)構(gòu)的最大特點(diǎn)是什么？等式兩邊均為齊次式，結(jié)構(gòu)和諧體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美問題4：正弦定理里面包含了幾個等式？每個等式中有幾個量？生答：3個等式4個量問題5：使用余弦定理解斜三角形？應(yīng)用1：已知兩邊和一個夾角，求第三邊．例1.在中，已知b=60cm，c=34cm，，求（角度精準(zhǔn)到，邊長精確到1cm.）解：由余弦定理，得，所以，變式訓(xùn)練：在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，，則求解：在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，，可得．探究3：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，應(yīng)用余弦定理，我們可以解決已知兩邊和一個夾角，求第三邊，如果知道了三角形的三邊能否確定三角形的角，怎么確定呢？生答：，，例2.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則求。解：由，，，可得，由，可得變式訓(xùn)練：在中，內(nèi)角，，所對的邊長分別為，，，如果，，，那么最大內(nèi)角的余弦值等于A． B． C． D．解：在中，，，，是三角形中的最大角，則，即的最大內(nèi)角的余弦值為．故選：．例3.（1）在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則AB＝（）A．4eq\r(2) B.eq\r(30)C.eq\r(29) D．2eq\r(5)解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB.∴2＝3＋c2－2eq\r(3)·eq\f(\r(2),2)c.即c2－eq\r(6)c＋1＝0.解得c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)或c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)，當(dāng)c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)時，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－3,2×\r(2)×\f(\r(6)＋\r(2),2))＝eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.當(dāng)c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)時，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)))2－3,2×\r(2)×\f(\r(6)－\r(2),2))＝－eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.故c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，A＝60°，C＝75°或c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)，A＝120°，C＝15°.（2）在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，則eq\f(a,b)＝________.解：由余弦定理得bcosC＋ccosB＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(2a2,2a)＝a，所以a＝2b，即eq\f(a,b)＝2.（3）在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lgeq\f(1,b＋c)，則A＝________.解：由題意可知lg(a＋c)(a－c)＝lgb(b＋c)，所以(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)．即b2＋c2－a2＝－bc.所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2).又0°<A<180°，所以A＝120°.（4）在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對應(yīng)邊)，則△ABC的形狀為()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形解：∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC為直角三角形．四、小結(jié)：余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC變形：，，應(yīng)用:（1）已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；（2）已知三角形的三條邊就可以求出其它角。方法:(1)從特殊到一般的方法；(2)向量法證明余弦定理。五、作業(yè)：習(xí)題6.4.3第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.3第2課時正弦定理一、教學(xué)目標(biāo)1.了解正弦定理的多種證明方法，尤其是向量證明法；2.掌握正弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；3.通過對正弦定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.利用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題；2.正弦定理的證明，正弦定理在解三角形時應(yīng)用思路。三、教學(xué)過程：1、創(chuàng)設(shè)情境：某游覽風(fēng)景區(qū)欲在兩山之間架設(shè)一條觀光索道,現(xiàn)要測的兩山之間B、C兩點(diǎn)的距離,如何求得B、C兩點(diǎn)的距離?現(xiàn)在岸邊選定1公里的基線AB,并在A點(diǎn)處測得∠A=600，在C點(diǎn)測得∠C=450,如何求得B.C兩點(diǎn)的距離?學(xué)生活動1探究1：你能把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，寫出已知量和要求的量嗎？CACABbca探究2：在中，如何求邊BC的長呢？回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系?（C為直角）如右圖，中的邊角關(guān)系：________；________；____=1____；∴____c____；____c____；____c____；∴__________________________________那么，上述結(jié)論，如何證明？（學(xué)生小組活動探究）探究3：這個關(guān)系式對任意也成立嗎二.建構(gòu)數(shù)學(xué) 探究4：如何證明這個等式？（教師點(diǎn)撥）(作高法)在ΔABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c，1.在RtΔABC中，∠C=900,csinA=a,csinB=b，即=。2.在銳角ΔABC中，過C做CD⊥AB于D，則|CD|==，即，同理得，故有。3.在鈍角ΔABC中，∠B為鈍角，過C做CD⊥AB交AB的延長線D，則|CD|==，即，故有。（學(xué)生小組活動探究）（向量法）過作單位向量垂直于，由+，兩邊同乘以單位向量得?(+?，則?+??∴||?||cos90+||?||cos(90)=||?||cos(90)∴∴=同理，若過作垂直于得：=∴探究5：還有其它的證明方法嗎？課后嘗試用其它方法來證明!正弦定理：在一個三角形中。各邊和它所對角的正弦比相等，即：==它適合于任何三角形。探究6：正弦定理結(jié)構(gòu)的最大特點(diǎn)是什么？____結(jié)構(gòu)和諧、對稱體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美與對稱美_____________________探究7：正弦定理里面包含了幾個等式？生答：3個，=，每個等式中有幾個量？生答：4個解斜三角形是指由六個元素(三條邊和三個角)中的三個元素(至少有一個是邊)，求其余三個未知元素的過程。學(xué)生活動3如圖下列哪些可以直接使用正弦定理解三角形？歸納使用正弦定理解三角形的條件:_____（1）已知兩角及任一邊，求其他兩邊和一角______________________________________（2）已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）______三.數(shù)學(xué)應(yīng)用例1.某游覽風(fēng)景區(qū)欲在兩山之間架設(shè)一條觀光索道,現(xiàn)要測的兩山之間B、C兩點(diǎn)的距離,如何求得B、C兩點(diǎn)的距離?現(xiàn)在岸邊選定1公里的基線AB,并在A點(diǎn)處測得∠A=600，在C點(diǎn)測得∠C=450,如何求得B.C兩點(diǎn)的距離?解：由正弦定理得，，所以答：變題:在△ABC中，已知b=10,A=60,C=45,求角B,a和c答案：B=1050,a=;c=總結(jié):此問題歸為已知兩角和任一邊求其他兩邊和一角例2.在△ABC中，已知a=16，b=，A=，求角B，C和邊c解：由正弦定理得解得所以變題:在△ABC中，已知a=16，b=，B=45°.求角A，C和邊c解：由正弦定理得解得法一、法二、總結(jié):此問題歸為已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）四、小結(jié)：正弦定理：應(yīng)用:（1）已知兩角及任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）。方法:(1)從特殊到一般的方法；(2)作高法證